1.5 三角形全等的判定 同步练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦三角形全等判定，分层设计清晰，从基础定理应用到综合模型探究，强化推理能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一判定定理（SAS/ASA/AAS/HL）|单选题直接考查定理选择，如第3题池塘测距应用SAS| |能力提升|条件补充与简单计算|填空题开放条件（如第6题补充HL条件），结合性质计算（如第7题长度推导）| |综合应用|构造全等与模型探究|解答题设情境探究（如第14题延长中线构造全等），模型迁移（如第15题直角三角形模型应用）|

1.5《三角形全等的判定》同步练习 一、单选题 1.如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是() A.∠B=∠C B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 2.如图，线段AB、CD相交于点O,若OA=OC,为了判定△AOD≌aCOB,则不应该补充的条 件是( A.∠A=∠C B.AB=CD C.AD=BC D.∠D=∠B 3.如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一个点C,从点C不经过 池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使 CB=CB,连接DE,那么量出DE的长就是，8的距离，其理论依据是(） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.∠C=90°，AC=6 B.AB=2,BC=3,∠A=50° C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2 D.AB=2,BC=3,AC=6 5.如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D,再分别以点C,D 为圆心，大于，CD的长为半径画弧，两弧在40B的内部相交于点B作射线OP,连接CP,一 DP,下列结论不一定成立的是(） D D B A.∠AOP=∠BOP B.ZCPO=ZDPO C.OC=CP D.OC=OD 二、填空题 6.如图，四边形ABCD中，AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,要使△ABD≌△CDB,应补充的条件 是 (填一个即可). D 7.如图，在△ABC中，∠ABC=9O°，BE⊥AC于点F,EF=2BF,ED⊥BC交BC的延长线于点 则C D,B=BD.若BF=2cm, cm AN ▣ B D 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,点D是线段AB的中点，将一块锐角为45°的直 角三角板按如图（△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、 CECE与A 交于点F则∠AEC+∠DBE= 0 D 9.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=C,连接BD和CE交于点 P,连接P,则BrC (用含”的代数式表示). 10.如图，在△ABC中，BD⊥AC,垂足为D,E为△ABC外一点，连接BE,CE,且 ∠A+∠E=180°BC 平分∠1CE.若CD=4AD=1,BD=2 ·若 ，则4BCE 心的面积为 E B D 三、解答题 11.如图，∠A=∠B,I=∠2，AE=BE,点D在AC边上，判断ED与EC的数量关系，并说明理 由 12.如图，AB与CD相交于点O,已知点O为AB的中点，AC∥BD (1)求证：AC=BD; (2)若∠C=75°，∠A0C=40°，求∠B的度数. 13.如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，D为垂足，DE交AB边于点E,过点A作 F1B于点A,交DE延长线于点F,且BE=BF,连接C、FB, (1)DC与AF相等吗？为什么？ (2)若∠DCF=50°，求∠ABC的度数. 14.【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合 作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思 考： A D 图① 图② (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分 散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中， 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF.若EF=6,EC=4,求 线段BF的长. 15.【模型探究】 已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线，AD⊥I,垂足为点D,BE⊥I,垂足为 点E 图1 网2 图3 (1)如图1，当点A、点B在直线1的同侧时，AD、BE、DE之间的数量关系为： (2)如图2，当点A、点B在直线1的异侧时，请写出AD、BE、DE之间的数量关系，并说明 理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,又以BC为斜边构造RtABCD,其中CD=3, 求△ACD的面积. 16.(25-26七年级下·广东河源·期末)问题情境：已知射线AB和射线CB相交于点B.且 AB=CB 点D在射线CB上，作射线D,在射线D上取一点E,连接CE,BE,使 CB ∠AEC=∠ABC B E D 图1 图2 图3 (1)如图1，∠A与∠C的数量关系为」 (2)如图2，当点D在CB延长线上，∠AEC=∠ABC=90°时. ①根据要求作图：在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF. ②求∠AEB的度数； (3)如图3，当 ABC=∠ABC=a(S0<a<180）,请直接写出∠1EB的度数（用含“的式子表 示) 参考答案 一、单选题 1.A 解：，AD是△ABC的BC边上的高 ∴.∠ADB=∠ADC=90° AD=AD ∴.若添加条件∠B=∠C, :△1BD21CD(AAS).故A符合题意； 若添加条件∠BAC=90°，无法证明△ABD≌△ACD,故B不符合题意； 若添加条件BD=AC,无法证明△ABD≌△ACD,故C不符合题意； 若添加条件∠B=45°，无法证明△ABD≌△ACD,故D不符合题意. 2.C 解：根据题意得：OA=OC,∠AOD=∠COB, A、添加∠A=∠C,可利用“角边角”证明△AOD≌aCOB,故本选项不符合题意； B、添加AB=CD,可得OD=OB可利用“边角边”证明△AOD≌aCOB,故本选项不符合题意； C、添加AD=BC,满足“边边角”，无法证明△AOD≌aCOB,故本选项符合题意； D、添加∠D=∠B,可利用“角角边”证明△AOD≌△COB,故本选项不符合题意； 3.B 解：在△ABC与△DEC中， CD=CA {∠1=∠2 CE=CB :△HBC≌DEC(SAS) ∴AB=DE, 即量出DE的长就是A,B的距离，其理论依据是SAS, 4.C 解：A选项，只给出∠C=90°和AC=6,缺少其他边或角的条件，不能画出唯一△ABC,不符 合题意； B选项，AB=2,BC=3,∠A=50°属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的 判定定理，不能画出唯一△ABC,不符合题意； C选项，∠A=50°，∠B=60°，AB=2,是两角及其夹边，符合全等三角形的ASA判定定理，能 画出唯一△ABC,符合题意； D选项，AB+BC=2+3=5<AC=6,不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出 三角形，不符合题意. 5.C 解：由作图可知，OC=OD,CP=DP,又OP=OP, :.aOPC≌aOPD(SsS) .∠CPO=∠DPO,∠COP=∠DOP即∠AOP=∠BOP, 故选项A,B,D正确， 1 :以点0为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于2CD的长为半径画弧时 的半径不一定相等， ∴.OC=CP不一定成立，故选项C错误，符合题意. 二、填空题 6.AB=CD(答案不唯一) 解：AB⊥BD于B,CD⊥BD于D, ∴.∠ABD=∠BDC=90°， .△ABD,CDB都是直角三角形， 当AB=CD时， 又BD=DB, ,△ABD≌△CDB(SAS) 故要使△ABD≌△CDB,应补充的条件是AB=CD(答案不唯一)· 7.6 解：∠ABC=90°，BE⊥AC,ED⊥BC, ∴.∠ABC=∠BFC=∠D=90° ∴.∠DBE=90°-∠BCA=∠A, AB=BD, △DBE≌△BAC(ASA) .BE=AC, EF=2BF,BF=2cm, ∴.EF=2BF=4cm, .BE=2+4=6cm, .AC=6cm 8.45 解：AB=2AC,点D是线段AB的中点， 4c-4,0=8m-4, 2 .AC=BD △ADE 45° 是锐角为的直角三角板， .AE=DE∠DAE=∠ADE=45° .·∠BAC=90° ∴.∠CAE=∠BAC+∠DAE=90°+45°=135°∠BDE=180°-∠ADE=180°-45°=135° ∴.∠CAE=∠BDE 在△ACE和△DBE中， 「AE=DE ∠CAE=∠BDE AC=BD :.△ACE≌aDBE(SAS) ∴.∠AEC=∠DEB ∴.∠ADE=∠DEB+∠DBE=∠AEC+∠DBE=45° 9. 解：·∠BAC=∠DAE, .∠BAD=∠CAE 又AB=AC,AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS ∴.∠ACE=∠ABD .·∠AOB=∠COP .180°-∠ACE-∠COP=180°-∠ABP-∠AOB .∴.∠BPC=∠BAC= 10.3 解：如图，过B作BF⊥CE交CE的延长线于F, B A D ,BC平分∠ACE,BD⊥AC,BF⊥CE ∴.∠DCB=∠ECB,∠BDC=LBFC=90°， .BC=BC, ,Rt△BDC≌Rt△BFE(AAS) ∴.CD=CF=4,BD=BF=2, S.urc=S.8DC= =1x4x2=4, ∠A+∠BEC=180°，∠BEF+∠BEC=180° ∴.∠A=∠BEF, :∠ADB=∠BFE=9O°，BD=BF, △ABD≌△EBF(AAS) ∴.AD=EF=1, 1 S.BEF=S4D=2×1x2=1 2 .S.BEC=S.8FC-S.BEF=4-1=3. 三、解答题 11.解：ED与EC的数量关系是：ED=EC, 理由如下： .1=∠2， ..∠I+∠AED=∠2+∠AED, ∴.∠BED=∠AEC, 在△ACE和△BDE中， [∠A=∠B AE=BE ∠AEC=∠BED' :△HCE≌aBDE(ASA) ∴.ED=EC. 12.(1)证明：，点0为AB的中点， ..AO=BO, AC∥BD, ∴.∠C=∠D,∠A=∠B, ∴.△AOC≌aBOD(AAS) ∴.AC=BD (2)解：∠C=75°，∠A0C=40°， .∠A=180°-75°-40°=65°， 根据(1)可得：∠B=∠A=65° 13.(1)AF=DC,理由如下： ,DE是BC边的垂直平分线， ∴.BD=DC,∠BDF=90°， AF⊥AB, .∠FAB=90°， ∠FEA=∠BED ∠FAE=∠BDE 在 和 △AFE△DBE 中 BE=EF △AFE≌△DBE(AAS) .'AF=BD, ∴.AF=DC. (2)解：DE是BC边的垂直平分线， .∠FDB=90°，BF=CF, .∠FBD=∠DCF=50°， ∴.∠BFD=40°， .BE=EF, ∴.∠BFD=∠FBE=40°， ∴.∠ABC=∠FBD-∠FBA=50°-40°=10°， 14.(1)解：AD是BC边上的中线， ∴.CD=BD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE AD=DE .△ADC≌aEDB(SAS): (2)解：AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<10+6, .4<AE<16, 4D-TAE 2 ∴.2<AD<8; (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： 图2 AE=EF,EF=6, ∴.AC=AE+EC=6+4=10, AD是△ABC的中线， .'CD=BD, ,在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM ∴.△ADC≌aMDB(SAS)」 .BM=AC,∠CAD=∠M, AE=EF, .∠CAD=∠AFE, .∠AFE=∠BFD, ∴.∠BFD=∠CAD=∠M, ∴.BF=BM=AC, 即BF=10. 15.(1)解：AD⊥1，BE11, ∴.∠ADC=∠CEB=90° ∴.∠CAD+∠ACD=90° 又：∠ACB=90°， .∠BCE+∠ACD=90° ∴.∠CAD=∠BCE 又AC=CB, ∴.△ADC≌ACEB(AAS) ..AD=CE CD=BE .DE=CD+CE ∴.DE=AD+BE; (2)AD=BE+DE. D B 理由：AD⊥I,BE⊥I, ∴.∠ADC=∠CEB=90° ,∠CAD+∠ACD=90° 又∠ACB=90°， ∴.∠BCE+∠ACD=90° ∴.∠CAD=∠BCE 又：AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS) ∴.AD=CECD=BE ·.CE=CD+DE, .AD=BE+DE ； (3)解：过点A作AG⊥CD于点G, C ∴.∠AGC=∠CDB=90° ∴.∠CAG+∠ACG=90° 又：∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACG=90 ∴.∠CAG=∠BCD 又：AC=CB, ∴.△AGC≌ACDB(AAS) ∴.AG=CD=3 54-xCDxAG=1x3x3=9 1 2 2 2 16.（1)解：如图， O \B D 图1 .∠C+∠ABC+∠BOC=180°，∠A+∠AEC+∠AOE=180°， 又.∠AEC=∠ABC,∠BOC=∠AOE .∠A=∠C; (2)解：①如图A B E D武F 图2 ②由(1)得∠A=∠C,由①得AF=CE, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE' :.△MBF≌CBE(SAS) ∴.BF=BE,∠AFB=∠CEB, ∴.∠BEF=∠BFE, ∴.∠CEB=∠BEF, .∠AEC=∠ABC=90°， .∴.∠CEF=90°， ∠cEB=∠Br=CEF=45r, ∴.∠AEB=∠AEC+∠CEB=90°+45°=135°： (3)解：分以下两种情况： 当点D在线段BC上时，如图，在射线AD上取一点E,使AF=CE,连接BF, B 由(1)知：∠A=∠C, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE' :.△1 BF2ACBE(MS) .BF=BE,∠ABF=∠CBE, :∠ABC=a=∠ABF+∠FBC, .∠CBE+∠FBC=a,即∠FBE=a, :∠AEB=∠EFB=1809-&=90°- 2 2 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF,如图， 图4 由(1)知：∠BAF=∠ECB, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠BAF=∠BCE AF=CE :.△1BF≌aCBE(S4S) ∴.BF=BE,∠ABF=∠CBE, .∠ABC=a=∠BAF+∠AFB, ∴.∠ECB+∠CEB=a,即∠FBE=a, .∠BEF=∠BFE=180°-a 2 :.∠AEB-=180-∠BEF=180°_1809-a-90°+ 2 2 综上所述，∠ABB的度数为0° 1 20或90+20.