1.5.5 三角形全等的判定—HL 课后作业 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦“HL”判定，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三阶，通过判定应用、性质综合、动态探究构建知识巩固路径，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|HL判定直接应用|选择1、填空9、解答13直接验证判定条件，强化概念理解| |综合|HL与角平分线/勾股定理结合|选择3、填空11综合性质解决长度计算，培养逻辑推理| |拓展|动态几何与多情况推理|解答17含动点与分类讨论，发展创新意识与空间观念|

1.5.5 三角形全等的判定—HL 课后作业 一、选择题 1．如图，已知，添加下列条件后不能使的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　） A．1 B．2 C． D． 4．如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（　　） A． B．2 C．3 D． 5．如图，在Rt△ABC中，，，在AC上取一点E，使，过点E作，连接CF，使，若，则AE的长为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．无法计算 6．如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D．5 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 9． 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是　 　． 10．△ABC的角平分线BD与角平分线CE交于点F，连接AF，若∠FBC＝25°，FE=FD，则∠FAD为 　 　度． 11．如图，中，，平分交于点，交的延长线于点，交于点．若，，．则的长为　 　． 12．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交AC于点F，AC=8，BC=12，则BF的长为　 　. 三、解答题 13．如图，已知平分，于点E，于点F，且．求证：． 14．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD. 求证：AD平分∠BAC. 15．如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且.求证： （1）是等腰三角形； （2）点D在的角平分线上. 16．如图，在中，，平分交于点D，作于点E. （1）若，求的度数； （2）若，，求的面积. 17．已知，，点P是射线上的一个动点． （1）如图1，连接，若，，求证：； （2）如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为　 　． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【解答】解：∵，， A、若添加，则可以判定，故A不符合题意； B、若添加，则可以判定，故B不符合题意； C、若添加，不能判定，故C符合题意； D、若添加，则可以判定，故D不符合题意. 故答案为：C. 【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案. 2．【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点， ， ， 当C、P、三点共线，且时，有最小值， 此时， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。 3．【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G， ∵CD⊥AB， ∴EG∥CD， ∴∠BEG=∠CFE， ∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°即AC⊥BC， ∴EG=CE， 在Rt△BCE和Rt△BGE中 ∴Rt△BCE≌Rt△BGE（HL） ∴BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE， ∴CE=CF=EG， 在Rt△ABC中 ， ∴AG=AB-BG=5-1=4， 设CF=x，则AE=3-x， 在Rt△AEG中 AG2+EG2=AE2即12+x2=（3-x）2， 解之：， ∴. 故答案为：C 【分析】过点E作EG⊥AB于点G，易证EG∥CD，利用平行线的性质可得到∠BEG=∠CFE；利用角平分线的性质可推出EG=CE，利用HL可证得Rt△BCE≌Rt△BGE，利用全等三角形的性质可知BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，可推出CE=CF=EG；利用勾股定理求出AB的长，即可得到AG的长；设CF=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CF的长. 4．【答案】D 【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F， ∴∠CFD=90°， ∵∠ABD=∠DBC， ∴DE=DF； 在Rt△DEB和Rt△DFB中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL） ∴BE=BF； 在Rt△ABD中 ； ∵ ∴， 在Rt△BDE中， ∴. 故答案为：D 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用角平分线的性质可证得DE=DF，利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFB，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=BF；利用勾股定理求出BD的长，利用三角形的面积公式求出DF，DE的长；再利用勾股定理求出DF的长，从而可求出CF的长；然后根据BC=BF-CF，代入计算求出BC的长. 5．【答案】B 【知识点】直角三角形全等的判定（HL） 【解析】【解答】解：∵， ∴∠CEF=， 在Rt△ACB和Rt△FEC中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△FEC， ∴AC=，EC=， ∴AE=AC-EC=6cm， 故答案为：B. 【分析】首先利用HL判断Rt△ACB≌Rt△FEC，根据全等三角形的对应边相等得AC=EF=10cm，进而根据AE=AC-EC进行计算即可. 6．【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：于点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 与的和为， 故答案为：C. 【分析】根据垂直的概念可得∠BDF=∠ADC=90°，由已知条件可知BF=AC，DF=DC，利用HL证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF∠2，BD=AD，由等腰三角形的性质可得∠DBA=∠DAB=45°，然后根据∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA进行计算. 7．【答案】B 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理 【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， 设 ，则 ， ， ， ，即 ， 解得 ， 即 ， 故答案为：B. 【分析】过点F作FG⊥AB于点G ，根据角平分线的定义得∠CAF=∠FAD，结合等角的余角相等及对顶角相等得∠CFA=∠AED=∠CEF，根据等角对等边得FC=CE，根据角平分线的性质定理得FC=FG，利用勾股定理算出BC，用HL判断Rt△ACF≌Rt△AGF，根据全等三角形对应边相等得AC=AG=9，设CE=x，则FC=FG=x，BF=12-x，BG=6，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案. 8．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵平分， ∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确. ∵，平分， ∴，且，故②正确. ∵，， ∴， 在和中， ∴≌（HL）， ∴故③正确，， ∴，即，故④正确， 故答案为：D. 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥ BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④. 9．【答案】 【知识点】直角三角形全等的判定（HL） 【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中：∵∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）. 故第1空答案为：HL. 【分析】在两个直角三角形中，斜边对应相等，一条直角边也对应相等，根据HL即可判定两个直角三角形全等。 10．【答案】40 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定 【解析】【解答】解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，FG⊥AB于点G， ∵ △ABC的角平分线BD与角平分线CE交于点F， ∴FN=FM，FM=FG， ∴FG=FN， ∴AF是角BAC的角平分线， 在Rt△FEG与Rt△FND中， ∵FG=FN，EF=FD， ∴Rt△FEG≌Rt△FND（HL）， ∴∠FEG=∠FDN， ∴∠EBF+∠EFB=∠DCF+∠DFC， ∵∠EFB=∠DFC， ∴∠EBF=∠DFC， ∵BD与CE是△ABC的角平分线， ∴∠ABC=2∠FBC=2∠FBE=50°，∠ACB=2∠FCD=2∠FBE=50°， ∴∠BAC=2∠FAD=180°-∠ABC-∠ACB=80°， ∴∠FAD=40°. 故答案为：40. 【分析】过F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，FG⊥AB于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得FN=FM，FM=FG，则FG=FN，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得AF是角BAC的角平分线，然后用HL判断Rt△FEG≌Rt△FND，得∠FEG=∠FDN，结合三角形外角性质及对顶角相等得∠EBF=∠DFC，最后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出∩FAD的度数. 11．【答案】8 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，且DF⊥AB与F，DC⊥AC于C，∴DC=DF=3，又AC=4，∴，又因为BE⊥AD，∴在Rt△BDF和Rt△BDE中，BD=BD，BF=BE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE，∴DE=DF=3，∴AE=AD+DE=5+3=8. 故第1空答案为：8. 【分析】先根据角平分线的性质定理得到DC=DF=3，根据勾股定理，求出AD的长，然后再通过证明Rt△BDF≌Rt△BDE，得出DE=DF=3，最后把AD+DE即可求出AE的长。 12．【答案】10 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：连接AE，过点E作EG⊥AC的延长线于点G，如图所示， ∵ED垂直平分AB， ∴EB=AE. ∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECG=180°， ∴∠BCE=∠ECG， ∵，， ∴EF=EG， ∵EC=EC， ∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL）， ∴CF=CG. ∵BE=AE，，EF=EG， ∴Rt△AGE≌Rt△BFE（HL）， ∴AG=BF. ∴BF=BC-FC=AC+CG=AC+CF， ∴12-FC=8+CF， ∴CF=2. ∴BF=12-2=10. 故答案为：10. 【分析】利用线段垂直平分线的性质推出EB=AE，根据同角的补角相等得∠BCE=∠ECG，根据角平分线的性质推出EF=EG，从而利用HL证Rt△EFC≌Rt△EGC，得CF=CG，根据HL证明Rt△AGE≌Rt△BFE，得AG=BF，从而求出CF的长度，进而求出BF的长度. 13．【答案】证明：∵平分，于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 【知识点】直角三角形全等的判定（HL） 【解析】【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用“HL”证明即可。 14．【答案】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠DEC=∠DFB=90°， 在△BDF与△CDE中， ∴△BDF≌△CDE（AAS）， ∴DF=DE， 在Rt△AFD与Rt△AED中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL） ， ∴∠FAD＝∠EAD， ∴AD平分∠BAC. 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【分析】由题意用角角边可证△BDF≌△CDE，于是DF=DE；在Rt△AFD与Rt△AED中，用HL定理可证Rt△AFD≌Rt△AED，则∠FAD=∠EAD，根据角平分线定义可得AD平分∠BAC. 15．【答案】（1）解：证明：是边上的中点， ， 又，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形 （2）证明：， ， 又，， ∴点D在的角平分线上. 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；角平分线的判定 【解析】【分析】（1）由中点的概念可得DB=DC，由垂直的概念可得∠BFD=∠CED=90°，利用HL证明△BDF≌△CDE，得到∠B=∠C，据此证明； （2）由全等三角形的性质可得DF=DE，据此证明. 16．【答案】（1）解：平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：平分，，， ， ， ， ，， ，，， ， 设， ， ， ， 解得， ， 的面积为： . 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠C，则∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度数； （2）根据角平分线的性质可得DB=DE，利用HL证明△ABD≌△AED，由全等三角形的性质可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，设BD=DE=x，则CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理求出x的值，接下来根据三角形的面积公式进行计算. 17．【答案】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：成立，证明如下： 延长CA，过点B作BR⊥CA的延长线，垂足为R； 延长MD，过点E作ET⊥MD的延长线，垂足为T， 证明：∵， ∴， ∵的延长线，垂足为R，的延长线，垂足为T， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）或 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【解答】解：（3）以点E为圆心，以BC为半径画弧交DM与点P、P'， 显然，和不全等， 由，得， 又∵， ∴， ∵射线QD平分，射线PQ平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【分析】（1）借助HL定理证明三角形全等； （2）利用AAS证明△ABR≌△DET，得出RB=TE，接着利用HL定理证明Rt△RCB≌Rt△TPE，得∠C=∠EPD，然后利用AAS证明△ABC≌△DEP； （3）通过作图，得出有 ∠DQP和∠DQ'P'两种情形，分别计算求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $