专题 1.6 反比例函数与几何综合 讲义- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数与几何综合核心知识点，系统梳理k的几何意义、用坐标表示几何量的通用思想、平行坐标轴矩形等常见几何模型及两点距离等常用公式，构建从基础到综合的递进学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，涵盖8类题型从基础面积定值到压轴存在性问题，通过例题变式强化坐标与几何量转化，培养抽象能力与几何直观。同步检测分选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升推理意识与应用能力。

专题 1.6 反比例函数与几何综合（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 1 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 2 【知识点3】常见几何模型结论 2 模型1 平行坐标轴矩形模型 2 模型2 双曲线上两点面积模型 2 模型3 对称模型 2 【知识点4】几何综合常用公式 2 二.题型精析 2 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 2 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 4 【题型 3】双点割补法求三角形面积（高频解答题） 5 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 6 【题型 5】反比例函数与平移综合 7 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 8 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 10 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 11 三.同步检测 12 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理与解读 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 设点 在双曲线 上： 1. 过点P作x轴、y轴垂线，围成矩形面积： 2. 连接原点，围成直角三角形面积： 核心定值思想：同一双曲线上任意一点，对应的面积恒定，与点位置无关。 符号规则： 可正可负，面积永远为正，计算必须带绝对值。 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 所有反比例几何综合题，只有一个核心：用坐标表示几何量 1. 设双曲线上点：常设 2. 几何条件转化：平行、垂直、等长、面积、直角、等腰 → 转化为坐标方程 3. 反比例独有结论：，整体代换，无需单独求x、y 【知识点3】常见几何模型结论 模型1 平行坐标轴矩形模型 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，是本章最基础、最高频模型。 模型2 双曲线上两点面积模型 若 在同一双曲线 上，则 可通过割补法、铅垂高法快速求解。 模型3 对称模型 双曲线关于原点对称：若 在双曲线上，则对称点 也在双曲线上。 【知识点4】几何综合常用公式 1. 两点距离公式： 2. 铅垂高面积公式（万能）： 3. 垂直判定：直线垂直 （一次函数与双曲线综合垂直必考） 二.题型精析 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 【例题1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【变式2】（2024·云南红河·二模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴于点，若的面积等于3，则的值为（    ）    A．5 B． C． D．6 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）若图中函数的表达式均为，则阴影面积为4的有 _____个．      【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 【例题2】（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积是4，则k的值_______． 【变式2】（24-25八年级下·河南·阶段检测）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （　　） A．9 B． C．6 D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【题型 3】双点割补法求三角形面积（高频解答题） 【例题3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 【例题4】（2026年四川省雅安市中考数学一诊试卷）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【变式2】（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3】（24-25九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【题型 5】反比例函数与平移综合 【例题5】（2023·山东菏泽·模拟预测）如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 【变式1】（24-25九年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式2】（2025·河南周口·一模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标． 【变式3】（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 【例题6】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点” （1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________； （2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________； （3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值． 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 【例题7】（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． （1）求m的值和E的坐标； （2）在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； （3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（   ） ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是________． 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 【例题8】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的关系式与一次函数的关系式； （2）若动点在轴上，求的最小值． 【变式1】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【变式2】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．四边形面积S的最小值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． （1）求的长度； （2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．（2024·广东湛江·二模）如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点，则的面积是（　　）    A． B． C．2 D．3 4．（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，的对角线交于点P，轴，点C的坐标为，的图象经过A，P两点，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，且与y轴平行，连结，过点A作的平行线，分别交y轴和双曲线于C、D两点，若，则（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 8．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上；点的坐标为，连接，将线段平移得到线段，点落在函数的图象上，点落在轴的正半轴上，，则的值为______． 10．（2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂）如图，中，对角线交于点E，双曲线经过A、E两点，若的面积为12，则__．    11．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B是反比例函数图象上两点，过点，作轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接．若，则______________． 12．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为________． 13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 14．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 15．（2026·陕西商洛·一模）如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 16．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． （1）求直线的表达式； （2）求的面积． 18．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点且点的坐标为，点的坐标为． （1）填空：______，______； （2）求的面积． （3）请观察图象，直接写出不等式的解集______． 19．（2026·河南新乡·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的基础上，若点的坐标为，求点的坐标． 20．（2026·河南周口·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）已知轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，连接，．当时，求点的坐标及四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 反比例函数与几何综合（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 1 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 2 【知识点3】常见几何模型结论 2 模型1 平行坐标轴矩形模型 2 模型2 双曲线上两点面积模型 2 模型3 对称模型 2 【知识点4】几何综合常用公式 2 二.题型精析 2 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 2 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 5 【题型 3】双点割补法求三角形面积（高频解答题） 8 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 12 【题型 5】反比例函数与平移综合 15 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 19 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 25 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 31 三.同步检测 38 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 38 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 47 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 55 一.知识梳理与解读 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 设点 在双曲线 上： 1. 过点P作x轴、y轴垂线，围成矩形面积： 2. 连接原点，围成直角三角形面积： 核心定值思想：同一双曲线上任意一点，对应的面积恒定，与点位置无关。 符号规则： 可正可负，面积永远为正，计算必须带绝对值。 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 所有反比例几何综合题，只有一个核心：用坐标表示几何量 1. 设双曲线上点：常设 2. 几何条件转化：平行、垂直、等长、面积、直角、等腰 → 转化为坐标方程 3. 反比例独有结论：，整体代换，无需单独求x、y 【知识点3】常见几何模型结论 模型1 平行坐标轴矩形模型 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，是本章最基础、最高频模型。 模型2 双曲线上两点面积模型 若 在同一双曲线 上，则 可通过割补法、铅垂高法快速求解。 模型3 对称模型 双曲线关于原点对称：若 在双曲线上，则对称点 也在双曲线上。 【知识点4】几何综合常用公式 1. 两点距离公式： 2. 铅垂高面积公式（万能）： 3. 垂直判定：直线垂直 （一次函数与双曲线综合垂直必考） 二.题型精析 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 【例题1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·云南红河·二模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴于点，若的面积等于3，则的值为（    ）    A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值． 解：∵的面积等于3， ∴， 而图象在第二象限，， ∴， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）若图中函数的表达式均为，则阴影面积为4的有 _____个．      【答案】2 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 解：图1中，阴影面积为4； 图2中，阴影面积为； 图3中，阴影面积为； 图4中，阴影面积为； 则阴影面积为4的有2个． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 【例题2】（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积是4，则k的值_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，可得，据此求出k的值是多少即可． 解：∵的面积是4， ∴， ∴， 解得， 又∵双曲线的图象经过第二、四象限， ∴， 即k的值是． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河南·阶段检测）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （　　） A．9 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义， 根据题意，可知，再根据，可得答案． 解：∵点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上， ∴. ∵正方形的面积是9， ∴， 解得． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 【题型 3】双点割补法求三角形面积（高频解答题） 【例题3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 【例题4】（2026年四川省雅安市中考数学一诊试卷）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 解：，且， ，， ，， ． 【变式2】（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 【变式3】（24-25九年级·上海黄浦·自主招生）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 【题型 5】反比例函数与平移综合 【例题5】（2023·山东菏泽·模拟预测）如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 【答案】3 【分析】直接利用平移的性质以及反比例函数图象上点的坐标性质得出D点坐标进而得出答案． 解：设双曲线的函数解析式为：， ∵点在双曲线上， ∴， ∵平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点， ∴D点纵坐标为：1， 过点A作轴，过点D作轴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，正方形的性质；熟练掌握反比例函数解析式的求法，灵活运用正方形的性质是解题的关键．过点作轴过点作轴，可证，，则可求，，确定函数解析式，向左移动个单位后为，进而求的值； 解：在正方形中，， 过点作轴，过点作轴， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 令，解得， ∴，， ， 顶点在反比例函数上， ， ， 同理可证：， ，， ， 向左移动个单位后为， ， ， 故选：A． 【变式2】（2025·河南周口·一模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，求反比例函数解析式，平移的规律等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由矩形的性质结合已知条件可得，然后代入得即可解答； （2）先求出可得点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，然后根据平移规律即可解答． 解：（1）解：∵在矩形中， ， ， ， ， 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点的纵坐标为2， ， ∴．即点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点． 由（1）知点的坐标为， ∴点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点． 【变式3】（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 解：（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 【例题6】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．根据对称性求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论． 解：∵与关于y轴对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为______． 【答案】； 【分析】本题考查了反比例函数的性质、旋转的性质、勾股定理及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，先设出B点坐标，表示出D，E点坐标代入反比例函数即可得到答案； 解：设， ∵点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵绕着点B旋转得到， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点D和点E， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点” （1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________； （2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________； （3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）；；（2）1；（3）或． 【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转180°，根据中心对称即可求得； （2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点”即可求得； （3）根据点是点的“影射点"，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图像上一点，分类讨论①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得，②同①的方法，如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，先求得点的坐标，进而证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得． 解：（1）设的坐标是的坐标是， ，绕点旋转180°， ， ，， ， ；， 故答案为：；， （2）根据定义，是轴上的点，设， 点在一次函数，令，得,则与轴的交点为， 其“影射点”在一次函数，令，得，则与轴的交点为， ， 解得：， 故答案为：1， （3）①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上， ， 解得 或者， ， ， ， ， ②如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 解得：， ， ，， 即， ， 在上， ， 解得 ． 综上所述，或． 【点拨】本题考查了中心对称的性质，中点坐标，一次函数与坐标轴交点问题，反比例函数的定义，三角形全等的性质与判定，求一个数的平方根，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 【例题7】（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． （1）求m的值和E的坐标； （2）在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； （3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 解：（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（   ） ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解． 解：①当时，， 当时，， ， 与两坐标的交点分别为和， 当时，； 当时，； 函数的图象上不存在“近轴点”； ②中，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，， 函数的图象上不存在“近轴点”； ③， 当时，；当时，； 函数的图象上存在“近轴点”； 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或 【分析】（1）根据反比例函数的解析式，确定，再利用待定系数法求一次函数的表达式； （2）根据图象的性质，确定第三象限内的函数值满足，第一象限内的函数值在时，符合题意； （3）根据题意，确定，再根据距离的意义，求解即可． 解：（1）解：把两点代入，得， ， 把代入一次函数表达式，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：根据题意，得或； （3）解：存在， 设直线与轴相交于点， 当时，， ， ， ， ， 或． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是________． 【答案】或或 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，先将点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标；然后结合图象分类讨论以、、、为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的的坐标即可． 解：把点代入得：， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得 ． 则． ①如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ②如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ③如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 即，故． 即，故． 所以． 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或． 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 【例题8】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的关系式与一次函数的关系式； （2）若动点在轴上，求的最小值． 【答案】（1），；（2）10 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，勾股定理，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，把代入，得，再求出点的坐标为，故把，分别代入进行列式计算，得，即可作答． （2）先整理得出则的最小值等于的长，故，所以，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 解：（1）解：点反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，过作轴，过作轴垂线交于，连接交轴于点，则的最小值等于的长， 点， ， 点， ， ，， ， 的最小值为10． 【变式1】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【变式2】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．四边形面积S的最小值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与函数结合的最值问题，通过设点P坐标，分解四边形为多个三角形是解题的关键．将四边形的面积表示为关于点P横坐标的函数，再利用不等式性质求最小值． 解：设点P的坐标为， 轴、轴， ， ， ， ， ， ， ， ， （当且仅当时，取等号） ，即， ， 当，即时，四边形面积S的最小值为24， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． （1）求的长度； （2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】（1）的长度为3；（2）①；②当点坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质，推出，再利用勾股定理求的长； （2）①设，则，利用勾股定理列方程，求出，可得，将点代入反比例函数解析式求解即可； ②先求出直线的解析式，再求反比例函数图象与直线的交点的坐标，延长至点G，使得，利用垂直平分线的性质说明，进一步说明当点P为与的交点时，最小，此时的周长最小，再求出直线，的解析式，联立解方程可得点P的坐标． 解：（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得到， ，，， 由勾股定理得，． 的长度为3． （2）解：①设，则， 又，， 由勾股定理得，， 即，解得， ，即， 将点代入反比例函数，可得， 反比例函数解析式为． ②设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，，， 经检验，，是方程的解， 当时，，故． 如图，延长至点G，使得，连接，， 又， 垂直平分， ， ， 当点P为与的交点时，有最小值时． 的周长等于，的长为定值， 当有最小值时，的周长最小， ， E为的中点， 设，又，， ，解得， ， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得， 直线与的交点坐标为， 当点坐标为时，的周长最小． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，求线段和的最小值问题等相关知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 3．（2024·广东湛江·二模）如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点，则的面积是（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，得出，再利用，，得出，进而求出，即可得出答案． 解：作于E，于F，    ∵双曲线，，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点， ∴矩形的面积为：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：． 故选：A 【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是利用数形结合思想解答． 4．（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，的对角线交于点P，轴，点C的坐标为，的图象经过A，P两点，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了平行四边形的性质，设，则，根据P是的中点即可求解． 解：设 ∵的图象经过A，P两点， ∴ ∵P是的中点， ∴ 解得： ∴ 故选：A 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数性质，正确的运算是解题的关键． 将点坐标代入求得，再利用正方形性质得到得到相关坐标． 解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， 可设， ， 解得，． ， ． 故选： D． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，且与y轴平行，连结，过点A作的平行线，分别交y轴和双曲线于C、D两点，若，则（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由三角形的面积及与坐标轴平行直线上的点的坐标特征得，即可求解． 解：，点A的坐标为， ， 解得：， 与y轴平行， ，， 解得：， ， ， 解得：； 故选：D． 8．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， ∴ 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上；点的坐标为，连接，将线段平移得到线段，点落在函数的图象上，点落在轴的正半轴上，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移确定点坐标，反比例函数解析式．由题意知，B向下平移2个单位，向右平移1个单位到，则，将，分别代入得，，即，可求，进而可求的值． 解：∵， ∴， 由题意知，向下平移2个单位，向右平移1个单位到， ∴向下平移2个单位，向右平移1个单位到，即， 将，分别代入得，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 10．（2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂）如图，中，对角线交于点E，双曲线经过A、E两点，若的面积为12，则__．    【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了平行四边形的性质．过作于，过作于，如图，设，，根据平行四边形的性质得，则可判断为的中位线，于是得到，，，则可表示出，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，然后利用平行四边形的面积公式得到关于的方程，再解方程即可． 解：过作于，过作于，如图，    设，， 四边形为平行四边形， ， 为的中位线， ， ， ， ，， 点在双曲线上， ， ， 平行四边形的面积是12， ， 即， ， ． 故答案为4． 11．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B是反比例函数图象上两点，过点，作轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接．若，则______________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据梯形面积求反比例函数的k值，由得出，由反比例函数k的几何意义得出，进而可得出，设，则， 根据梯形面积得出，代入即可得出进而可得出k的值． 解：∵点A，B是反比例函数图象上两点，， ∴， ， 设，则， 由得， 即 ∴ ∴， 故答案为：6． 12．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中， 得：， 即， 解得：， 故答案为：6． 13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 14．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【答案】3 【分析】设，过A作轴于D，证明是等腰直角三角形，得到，，利用已知条件和勾股定理求得，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可． 解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 15．（2026·陕西商洛·一模）如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 【答案】 【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解． 解：如图，过点作交轴于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，轴，， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为6， ∴点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入解析式得， 解得， ∴点，即，， 在中， ， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 解：设点A的横坐标为m，由图可知， ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． （1）求直线的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 解：（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴． 18．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点且点的坐标为，点的坐标为． （1）填空：______，______； （2）求的面积． （3）请观察图象，直接写出不等式的解集______． 【答案】（1）1；；（2）；（3）或 【分析】（1）把点代入即可求出，再把代入即可求出，即可求解； （2）先求出直线与轴的交点坐标，然后根据割补法求解即可； （3）根据图象即可确定的解集． 解：（1）解：把点代入，得， 解得， ∴一次函数为， 把代入，得； （2）解：设直线与轴交于点， 当时，， ∴， 由（1）知，， ∴ ； （3）解：根据图象可知，不等式的解集是或. 19．（2026·河南新乡·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的基础上，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）过点B作交x轴于点，由同角的余角相等即可得出． （3）根据、轴，可得，进而可得，由此得出． 解：（1）解： 反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）略 （3）解：由作法，得． 轴，， ，轴， ，， ． 点的坐标为， ． 在和中， ， ， 点的坐标为． 20．（2026·河南周口·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）已知轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，连接，．当时，求点的坐标及四边形的面积． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式． （2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可． 解：（1）解：把点代入得， ， 解得：， ∴点坐标为， 把点代入得，， ． （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入，解得． ． 直线中 令，则， 解得， ∴． ∵轴于点， ∴ ∵，． ∴四边形的面积=与面积之和． 中，，， ∴． 中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为， ∴． ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $