专题04 反比例函数k的几何意义（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数k的几何意义核心知识点，系统梳理从基础的过双曲线上点作坐标轴垂线形成的矩形、直角三角形面积与k的关系，到斜三角形、不规则多边形面积拆分、双反比例函数面积差计算等七类问题，构建递进式学习支架。 资料以典例带变式分层设计，通过图形拆分培养几何直观（数学眼光），推导面积与k的联系强化推理意识（数学思维），多结论综合题提升模型应用（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后巩固训练助力学生查漏补缺，提升坐标与图形互化的综合解题能力。

专题04 反比例函数k的几何意义（七类问题） 1.理解反比例函数解析式中比例系数k的几何意义；能利用k的几何意义快速求图形面积； 2.掌握过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形、直角三角形的面积与k的关系；k几何意义变形：斜三角形、不规则多边形面积拆分、双反比例函数面积差计算；区分k>0、k<0时面积取绝对值的规则。 3.通过画图、计算、推导，自主探究面积与k的联系，体会数形结合思想；学会转化不规则图形面积，拆分、补形转化为直角三角形/矩形；提升坐标与图形互化、几何计算的综合解题能力。 4.感受代数与几何的内在联系，培养数形结合思维，提升几何推理的严谨性。 反比例函数中|k|的几何意义 图1 图2 图3 图4 图5 图1-图2 阴影部分的面积：|k|/2； 图3-图4阴影部分的面积：|k|； 图5 阴影部分的面积：2|k|。 图6 图7 图8 图9 解题思路 1）给点坐标求面积：算出 xy，取绝对值除以2得三角形面积； 2）给面积求解析式：先得 |k|=2S，再看象限定k正负； 3）不规则图形：分割成多个以坐标轴为直角边的直角三角形，分别用 k 的几何意义计算再求和/差。 题型01 一点一垂直 【典例】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【详解】解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴，∴轴，∴，又∵，∴， 又∵，∴，∴反比例函数的解析式为． 【变式1】（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点B落在反比例函数的图象上，则k的值为 【答案】 【详解】解：连接，作于点D， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，∴是等边三角形， ∴，，∴点B的坐标为：， ∵反比例函数的图象经过点B，∴，故答案为：． 【变式2】（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上，∴， ∵平行四边形的面积是24，∴，∴， 设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：，∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为，代入，得：，解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为．故答案为： 【变式3】（2025·安徽·校考二模）如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：作轴于D，∵轴，轴，∴， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 题型02 一点两垂直 【典例】（2026·海南·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 【答案】A 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于 ， 点在直线上 ， 设 ，则 ，四边形为正方形 ， ， ， ，， ， 在 和 中， ，， ， ， ， ， ，∵反比例函数的图象在第一三象限，，． 【变式1】（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【答案】6 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是，，． 设，则，，，． 点F为中点，．函数的图象经过点C和点F， ．解得．．故答案为：6； 【变式2】（2025·成都·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 【答案】3 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，是等腰直角三角形，， ，， ，， 四边形和四边形是矩形，，，．故答案为：3． 题型03 两点一垂直 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【答案】16 【详解】解：由题得，轴，，， 把代入和得 ，解得，．故答案为：16． 【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可得：，解得：或，，， 设，设直线为，则，解得：，， 直线为，过A作y轴的平行线交于点Q,则， ，，即， 解得：，．故答案为： ． 【变式2】（2025·成都·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，，，， ，，， 反比例函数图象在第二象限，，故答案为： 【变式3】（2026·陕西西安·三模）如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则的值为__________． 【答案】16 【详解】解：设点的坐标为，其中；点在反比例函数的图象上 轴，点在轴上点的坐标为；为的中点点的坐标为 轴点的横坐标为；点在反比例函数的图象上；点的坐标为 轴，轴；；∴ ；； 题型04 两点两垂直 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【答案】D 【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上， ∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意； B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B， ∴，∴，解得：， ∴，，∴， ∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意； C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H， ∵，∴当时，，当时，， ∴，∴，∴， ∵矩形和矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意； D、由A选项得：，∴，∴，选项错误，符合题意；故选：D 【变式1】（2025·成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点是直线上的两点，是双曲线上的两点，点位于点上方，已知，连接． （1） ；（2）若，则 ． 【答案】 1 4 【详解】解：（1）将点代入直线与双曲线，得，，故答案为：1； （2）如图，延长和分别交轴于点和点． 根据（1）可得与双曲线，则，即和都是等腰直角三角形． 设，则，，同理设，则，， 又 ∵，∴，两边同时平方，得， 即．在中，， 同理， ， 故答案为：4． 【变式2】（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（　　） A．20 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【详解】解：设，∵，∴，∴点的坐标为， ∵轴于点，∴点的纵坐标为，∵点在反比例函数的图象上， ∴，∴点的坐标为，∴， ∵，∴，即，解得． 【变式3】（2026·山西·三模）如图，矩形的两边分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与边交于点，若，四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【详解】解：设点，则由可得点，点，， 四边形的面积为，矩形的面积为，，解得． 题型05 双曲线（k符号相同） 【典例】（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则______． 【答案】 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限，∴， ∵，∴，解得：． 【变式1】（2025·安徽阜阳·三模）如图，反比例函数的图象经过点，轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，交于点，，的面积为． （1）k1的值为 ． （2）若与反比例函数的图象有且只有一个交点，则 ． 【答案】 4 3 【详解】解：（1）设点坐标为， ∵轴于点，轴于点，∴，． ∴，即，∴． 又∵点在反比例函数上，∴， 由图象可知在第一象限，，，∴ ，故答案为：4； （2）∵与反比例函数的图象有且只有一个交点，而所在直线方程为（设， ），联立，消去得，整理为 ． 此方程有且只有一个解，∴ ． 由（1）知 ． 又∵点在上且横坐标为，∴点纵坐标；点纵坐标 ． ∴， ． ∵，且由 ． ∴，，故 ，故答案：3． 【变式2】（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作轴于点D，如图所示： ∵，∴，∴， 设，则，∴， ∵点A在反比例函数的图象上，∴， 解得：，负值舍去，经检验是方程的解，∴，∴， ∵菱形中，∴， ∵顶点落在反比例函数的图象上，∴．故答案为：． 【变式3】（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论：①与可能相等；②与一定不相等；③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：根据题意，设，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为， ∵点B、C在反比例函数上，∴，， ∴，，∴当时，即，解得，符合题意， ∴与可能相等，故①正确； 设直线的表达式为，直线的表达式为， 代入，，，得；，解得；， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， 联立，解得，即，∴， ∴当时，即，整理得，符合题意，∴与可能相等，故②错误； 如图，延长交y轴于点M，延长交x轴于点N，则轴，轴， ∴， ∴，， ∴与的面积一定相等，故③正确； 根据题意可知，由①可知，，∴， ∴， ∴与的面积一定不相等，故④错误；综上，正确的说法是①③． 题型06 双曲线（k符号不相同） 【典例】（2025·成都·一模）已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作轴分别交两个图象于点A， B．连接，，若，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：，轴，，解得 ，解得，故答案为． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连接，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 16 【详解】解：∵，∴，∴由折叠的性质可得， ∵四边形为平行四边形，∴，，，， ∴轴，∴，∵，，∴， 如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ， 则， 由折叠的性质可得，，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，解得：， ∴，∴，故答案为：，． 【变式2】（24-25九年级上·成都·期末）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：设， 轴，且点E在函数上，， ，且点B在函数上，， 轴，点D在函数上，， 的面积为6，. ．故答案为：8． 【变式3】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系内，正方形的边在轴的负半轴上，边与反比例函数的图象交于点．将正方形向右平移至第一象限，点的对应点在反比例函数的图象上，且反比例函数的图象交于点．已知点的坐标分别为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点的坐标分别为，， ， ，，点的坐标为， 点在反比例函数的图象上，，， 点是点向右平移后的对应点，点的纵坐标为4， 点在反比例函数的图象上，点的横坐标为3， 正方形向右平移了个单位长度， 点的横坐标为，点的坐标为，点的横坐标为7， 点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为， 点的纵坐标为4，，． 题型07反比例函数中的多结论综合问题 【典例】（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（   ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等；乙：若，则． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得：， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，故甲说法正确； 由可设，∴，∴， ∴； ∴乙的说法也正确；综上所述：甲乙的结论都是正确的． 【变式1】（25-26九年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C在双曲线上，已知点A坐标．点坐标，点为双曲线上一点，且点的横坐标大于1，轴于点轴于点F，有如下结论：①；②；③；④若，点为轴上一点，当取最小值时，则点坐标为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：①∵四边形是矩形，点A坐标，点坐标，∴点C的坐标为． 又∵点C在双曲线上，所以，结论①正确； ②∵点C的坐标为，∴是固定的大小，∵点为双曲线上一点，不是固定的， ∴的大小也不是固定的，∴与不一定相等，所以结论②错误； ③由①知双曲线表达式为， ∵四边形是矩形，∴， ∵点C和点都是双曲线上的点，∴，∴， ∵ ，结论③正确；④∵，点C的坐标为，设点D的坐标为， ∴，整理得，设， 则原式整理得，解得（舍去），，∴（负值舍去），∴点D的坐标为， 作点C关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点P，此时取最小值． ·设直线的表达式为，将，代入可得，解得， 所以直线的表达式为．令，则，解得，所以点坐标为． ∴结论④正确；综上，①③④正确，故答案为：①③④． 【变式2】（25-26九年级下·北京西城·专题练习）如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（   ） ①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】设反比例函数（是常数且，）上的点，（在左侧，故）， ∵点、在反比例函数图像上，∴，，即，， ∵过、作坐标轴的平行线，得矩形（在左侧），∴矩形顶点坐标为，， ①设直线的解析式为，将代入得，∴，即直线：， 将​代入，得​， ∴点在直线上，∴，，三点共线；故①正确； ②设直线：，代入，得 ，解得，∴直线：， 令，得，令，得，∴， ， ∴，， ∴；故②正确； ③如图，设，交于点， ∵四边形是矩形，∴，对角线互相平分，， ∵，∴，∴， ∵，∴，又，∴， ∵，且，∴；故③正确； ④， ，故④正确； 综上，正确的有①②③④．故选：D． 【变式3】（2026·四川绵阳·一模）如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，轴，轴， 又∵、是反比例函数图象上的动点， ∴， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 由①可得，当与的面积相等时，如图，连接， ∴，即， ∵，∴假设不成立，故②不正确；如图所示， 当、在的同侧时，可能是钝角三角形，故③不正确；如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确；综上所述，正确的结论有2个． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·广东河源·月考）如图，反比例函数的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵，∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同，∴，解得：， ∴，∴. 2.（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，，∵，∴， ∴，∴，解得：．故选：D． 3．（2026·广西南宁·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接，．则四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．3 D．27 【答案】C 【详解】解：设点坐标为，点在反比例函数的图象上，， 轴，轴，四边形为矩形，，，，，， ，，，， ，， ． 4．（2026·安徽池州·二模）如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于点M， ∵轴，即，，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形，∴，点D是的中点， 设，∵，点D是的中点，∴， ∵点D在反比例函数图象上，∴，解得，∴，∴， 在中，，∴． 5.（2025·成都·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为，．故答案为：． 6．（2025·成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形的边长为6，∴，∴，轴， 设，则，∵点D是的中点，∴，即， ∴，解得，∴过点作轴，则：， ∴，∴，∴；故答案为：． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，D为正方形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E．若的面积为，则______． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则，，， ∵点为的中点，∴，， 将代入反比例函数可得，∴，∴反比例函数解析式为， 当时，，∴，∴， ∵的面积为，∴，∴，∴． 8．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 【答案】/ 【详解】解：作轴于，正八边形中，内角的度数为， ，，△是等腰直角三角形，同理△是等腰直角三角形，，，， 点在反比例函数的图象上，．故答案为：． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若________；（2）若的面积为6，则________． 【答案】 6 8 【详解】解：（1）由题可知，，则，将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为，∴当时，，∴； （2）设，则，连接，根据矩形的性质可知三点共线， 将M代入，得，∴反比例函数的解析式为， 当时，，∴， ∴， ∴，∴，∴．故答案为：6；8． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得，， ∵阴影部分面积的和为，∴，∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限，∴，∴，∴反比例函数解析式为， ∵点是两函数图象的交点，∴，，∴， ∴，故答案为：． 11．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为 【答案】6 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，∴， 同理，即．∴， ∵，∴，即． ∵，∴．∴，即． 由图象可知，，∴，∴． 【强化训练】 1．（2025·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是______． 【答案】 【详解】解：如图： ，设，则的中点坐标为， ∵点A关于直线的对称点B在x轴上，∴① ∵，∴② ①②联立可得：，∴反比例函数的解析式为,, ∵菱形，∴,设，则，解得：或，和 当时，与点A重合，不符题意舍弃； 当时，，的中点坐标为,设点C的坐标为， 则有，解得：，∴点C的坐标为； 当或时，点D不在第一象限，不符合题意．故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，正方形的周长为，则k的值为______． 【答案】8 【详解】解：四边形是周长为的正方形，，， ，， ，， 轴，，， ，，，，，， 点在函数的图象上，，解得，故答案为： 3．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，，点，，三点共线．轴， 设点，则，，则设直线解析式为，代入 ∴直线，，设直线解析式为，代入解得： 直线，当时，，，， ，，则，故答案为：． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上，∴， ∵，∴，同理可得：， ∴，，∴． 5．（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：设点坐标为，得到，， 又轴于点，轴于点，则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，，则，， ，， 四边形的面积为，根据题意有，解得． 6．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论：①一定为锐角三角形；②；③当的面积为时，的值可能是；④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：当，时，，， ，有可能是钝角三角形，故①中结论错误； 设点的坐标为，则，，， 当时，可得，点的坐标为，当时，可得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：，解得：，直线的解析式为， 当时，可得：，解得：，点的坐标为， ，，， 四边形是矩形，，，， 在和中，，，故②中结论正确； 由②可知直线的解析式为，当时，可得， ，，，，， ，，故③中结论错误； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，，，，， ， 若与的面积相等，则有，整理得：， ，方程一定有解，与的面积可能相等， 故④的结论正确； 结论正确的有②④． 7．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D，O，M，若的面积为6，则k的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，过点M作于点E，设交于点F， ∵矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上， 又∵点D在线段上，函数的图象经过点D，∴设，则， ∵，∴，∴，∵点M为矩形的对称中心，∴． ∵函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，∴， ，∴，∴， 即，∴，即， ∵的面积为6，∴，∵， ∴，∴． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点的坐标为．已知该反比例函数图象上有一点，连接，，若的面积是菱形面积的，则点的横坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，， 四边形为菱形，，菱形的面积为， ，把代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为，设点， 当点在点右侧时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，，， ，，根据题意可得方程， 解得（负数舍去），经检验，是原方程的解； 当点在点左侧时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，，， ，，根据题意可得方程， 解得（负数舍去），经检验，是原方程的解；综上，点的横坐标为或，故选：D． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，它的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点，轴，垂足为，连接，与相交于点．下列结论： ①；②四边形与面积相等：③若，则； ④若，则直线的函数解析式为．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵正方形的边长为，∴， ∵轴，即，∴四边形为矩形， ∴，∴点F的纵坐标为，∴点，同理可得点， ∴，故①正确； ②∵点E与点F在反比例函数上，∴， ∵，， ∴，即四边形与面积相等，故②正确： ③将绕点O逆时针旋转得到，如图，∴，且， ∵，∴，∴点M，点C，点F三点共线， ∵，，，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，故③错误； ④∵点，点，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，在中，，则， 由勾股定理可知，，即，即，解得， 反比例函数的图象位于第一象限，则，∴点，点， 设直线的函数解析式为，则，解得， ∴直线的函数解析式为，故④正确．则正确结论的序号是①②④． 10．（25-26九年级下·安徽·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（   ） A． B．点C是的中点 C．四边形是平行四边形 D．k的值是2 【答案】B 【详解】解：在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， 在和中，，，故A正确； ∴四边形是平行四边形，故C正确； 延长 交轴于一点，过点作 轴，如图： 轴，∴四边形是矩形， 同理，可证四边形是矩形，四边形是矩形，∴， ∵点在反比例函数的图像上，∴矩形的面积是， ∴，∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点，，故D正确； 若点是的中点，则，由于，则为等边三角形， ∵无法求得，∴故B不正确，符合题意． 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，∵直线与双曲线交于点，∴， ∵轴，∴，设直线的解析式为，过点， ∴，∴，∴直线的解析式为， 联立，∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴，∴，∵轴，∴， ∵轴，交直线于点，设，∴， ∵点在直线：和反比例函数的图象上， ∴，∴，∴， A．∵，，∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B．∵，， 又∵，，∵点、在双曲线上，∴，∴， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C．∵，，，∴， ， ∴，该选项结论错误，故此选项符合题意； D．∵，，，∴，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C． 27 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数k的几何意义（七类问题） 1.理解反比例函数解析式中比例系数k的几何意义；能利用k的几何意义快速求图形面积； 2.掌握过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形、直角三角形的面积与k的关系；k几何意义变形：斜三角形、不规则多边形面积拆分、双反比例函数面积差计算；区分k>0、k<0时面积取绝对值的规则。 3.通过画图、计算、推导，自主探究面积与k的联系，体会数形结合思想；学会转化不规则图形面积，拆分、补形转化为直角三角形/矩形；提升坐标与图形互化、几何计算的综合解题能力。 4.感受代数与几何的内在联系，培养数形结合思维，提升几何推理的严谨性。 反比例函数中|k|的几何意义 图1 图2 图3 图4 图5 图1-图2 阴影部分的面积：|k|/2； 图3-图4阴影部分的面积：|k|； 图5 阴影部分的面积：2|k|。 图6 图7 图8 图9 解题思路 1）给点坐标求面积：算出 xy，取绝对值除以2得三角形面积； 2）给面积求解析式：先得 |k|=2S，再看象限定k正负； 3）不规则图形：分割成多个以坐标轴为直角边的直角三角形，分别用 k 的几何意义计算再求和/差。 题型01 一点一垂直 【典例】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为______． 【变式1】（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点B落在反比例函数的图象上，则k的值为 【变式2】（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【变式3】（2025·安徽·校考二模）如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则 ． 题型02 一点两垂直 【典例】（2026·海南·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 【变式1】（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【变式2】（2025·成都·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 题型03 两点一垂直 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·成都·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为 ． 【变式3】（2026·陕西西安·三模）如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则的值为__________． 题型04 两点两垂直 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　） A．矩形和矩形的面积相等 B．矩形的周长是12 C．矩形的周长大于矩形的周长 D．k的取值范围是 【变式1】（2025·成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点是直线上的两点，是双曲线上的两点，点位于点上方，已知，连接． （1） ；（2）若，则 ． 【变式2】（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（　　） A．20 B．16 C．8 D．4 【变式3】（2026·山西·三模）如图，矩形的两边分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与边交于点，若，四边形的面积为，则的值为______． 题型05 双曲线（k符号相同） 【典例】（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则______． 【变式1】（2025·安徽阜阳·三模）如图，反比例函数的图象经过点，轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，交于点，，的面积为． （1）k1的值为 ． （2）若与反比例函数的图象有且只有一个交点，则 ． 【变式2】（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【变式3】（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论：①与可能相等；②与一定不相等；③与的面积一定相等；④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型06 双曲线（k符号不相同） 【典例】（2025·成都·一模）已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作轴分别交两个图象于点A， B．连接，，若，则k的值为 ． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连接，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·成都·期末）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为 ． 【变式3】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系内，正方形的边在轴的负半轴上，边与反比例函数的图象交于点．将正方形向右平移至第一象限，点的对应点在反比例函数的图象上，且反比例函数的图象交于点．已知点的坐标分别为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型07反比例函数中的多结论综合问题 【典例】（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（   ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等；乙：若，则． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【变式1】（25-26九年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C在双曲线上，已知点A坐标．点坐标，点为双曲线上一点，且点的横坐标大于1，轴于点轴于点F，有如下结论：①；②；③；④若，点为轴上一点，当取最小值时，则点坐标为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式2】（25-26九年级下·北京西城·专题练习）如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（   ） ①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式3】（2026·四川绵阳·一模）如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·广东河源·月考）如图，反比例函数的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 2.（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 3．（2026·广西南宁·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接，．则四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．3 D．27 4．（2026·安徽池州·二模）如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5.（2025·成都·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 6．（2025·成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为 ． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，D为正方形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E．若的面积为，则______． 8．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若________；（2）若的面积为6，则________． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为______． 11．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为 【强化训练】 1．（2025·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是______． 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，正方形的周长为，则k的值为______． 3．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为______． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 5．（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 6．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论：①一定为锐角三角形；②；③当的面积为时，的值可能是；④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D，O，M，若的面积为6，则k的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 8．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点的坐标为．已知该反比例函数图象上有一点，连接，，若的面积是菱形面积的，则点的横坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，它的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点，轴，垂足为，连接，与相交于点．下列结论： ①；②四边形与面积相等：③若，则； ④若，则直线的函数解析式为．其中正确结论的序号是___________． 10．（25-26九年级下·安徽·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（   ） A． B．点C是的中点 C．四边形是平行四边形 D．k的值是2 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $