专题 1.4 反比例函数全章复习 讲义 - 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义系统梳理反比例函数全章知识，从基础概念（定义、三种等价形式、取值范围）到图象性质（双曲线对称性、象限分布、增减性），再到待定系数法（四步标准法）、k的几何意义（矩形与三角形面积）、实际应用（路程、效率等模型）及易错点专项归纳，构建完整学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，基础夯实（概念判定、性质参数等）与巩固提升（一次函数、几何综合）结合例题与变式，培养推理意识和应用意识。易错点归纳助力抽象能力提升，同步检测覆盖选择、填空、解答，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 1.4 反比例函数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】反比例函数基础概念 1 【知识点2】反比例函数的图象与性质 2 【知识点3】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 2 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 2 【知识点5】反比例函数实际应用 3 【知识点6】易错点专项归纳（全章避坑） 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】反比例函数的概念判定 3 【题型 2】根据图象性质判断参数范围 4 【题型 3】反比例函增减性及函数值大小比较（经典易错题） 4 【题型 4】k的几何意义 5 【题型 5】待定系数法求解析式 6 【题型 6】反比例函数实际应用题 7 三.题型精析（巩固提升） 8 【题型 7】反比例函数图象位置与增减性综合 8 【题型 8】反比例函数实际应用 9 【题型 9】反比例函数与一次函数综合 10 【题型 10】反比例函数与几何综合 12 四.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识梳理与解读 【知识点1】反比例函数基础概念 1. 定义：形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。 2. 三种等价形式：、、（核心：与乘积为定值） 3. 取值范围：自变量 ，函数值 4. 判定关键：两个变量积一定成反比，商一定成正比。 【知识点2】反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的对称性： 反比例函数 的图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点中心对称，关于直线 、 轴对称。 2. 反比例函数的图象与性质： 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象的对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三 二、四 函数的变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【要点提示】增减性必须强调在每一象限内，不能说整个定义域内y随x增大而增大或减小。 【知识点3】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 1. 设：设解析式为 ； 2. 代：将图象上已知点坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出 的值； 4. 写：将k回代，写出最终函数解析式。 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 设点 是反比例函数 图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线： 1. 围成的矩形面积： 2. 围成的直角三角形面积： 3. 核心结论：同一反比例函数图象上，任意一点对应的矩形、三角形面积为定值，与点的位置无关。 【知识点5】反比例函数实际应用 1. 建模条件：总量固定，两个变量此增彼减，乘积为定值。 2. 常见模型：路程一定（速度—时间）、总量一定（效率—时间）、总价一定（单价—数量）、压力一定（压强—面积）。 3. 实际范围：，图象只取第一象限分支。 【知识点6】易错点专项归纳（全章避坑） 1：忽略 ，导致函数判定错误。 2：不区分“整个定义域”和“单个象限”，增减性描述错误。 3：求几何面积不带绝对值，出现负面积。 4：实际问题不写 ，图象多选错误象限。 5：将 、 误判为反比例函数。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数的概念判定 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求x的值． 【题型 2】根据图象性质判断参数范围 【例题2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． （1）若，则x的取值范围是__________； （2）若，则x的取值范围是__________； （3）若，且，则x的取值范围是__________． 【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期末）若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． （1）如果这个函数图象经过点，求的值； （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【题型 3】反比例函增减性及函数值大小比较（经典易错题） 【例题3】（25-26九年级下·全国·期中）已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 【变式1】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【变式3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象过点P． （1）求点P的坐标和k的值； （2）若在这个反比例函数的图象上有两个点，且，请比较与的大小． 【题型 4】k的几何意义 【例题4】（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． （1）求值； （2）当时，求函数值的取值范围． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【题型 5】待定系数法求解析式 【例题5】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为______． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【题型 6】反比例函数实际应用题 【例题6】（2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表： （1）根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； （2）当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 【变式1】（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·三模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 【变式3】（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求出这个反比例函数的解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 三.题型精析（巩固提升） 【题型 7】反比例函数图象位置与增减性综合 【例题7】（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【变式2】（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，点、在另一反比例函数（）的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知反比例函数的图象经过点，． （1）求该反比例函数的表达式    （2）若，为（1）中反比例函数图象上的两个不同点，且，求证：． 【题型 8】反比例函数实际应用 【例题8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 （1）根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； （2）汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【变式2】（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【变式3】（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【题型 9】反比例函数与一次函数综合 【例题9】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【变式1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，的值是 ； （3）在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 【题型 10】反比例函数与几何综合 【例题10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式2】25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【变式3】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 3．（2023·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 6．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 7．（23-24九年级上·四川达州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（k为常数，且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 10．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 12．（24-25九年级上·新疆哈密·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 13．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 14．（25-26八年级下·上海崇明·期末）某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 15．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积是4，则k的值_______． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 17．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 18．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）判断点是否在该函数的图象上． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·湖南常德·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知反比例函数． （1）若点在反比例函数的图象上，则的值为______； （2）当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 22．（本小题满分10分）（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2）已知点是轴上一动点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．若，结合图象，直接写出的取值范围． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． （1）请直接写出、、三点的坐标； （2）将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 反比例函数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】反比例函数基础概念 2 【知识点2】反比例函数的图象与性质 2 【知识点3】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 2 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 3 【知识点5】反比例函数实际应用 3 【知识点6】易错点专项归纳（全章避坑） 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】反比例函数的概念判定 3 【题型 2】根据图象性质判断参数范围 6 【题型 3】反比例函增减性及函数值大小比较（经典易错题） 8 【题型 4】k的几何意义 11 【题型 5】待定系数法求解析式 15 【题型 6】反比例函数实际应用题 17 三.题型精析（巩固提升） 20 【题型 7】反比例函数图象位置与增减性综合 20 【题型 8】反比例函数实际应用 22 【题型 9】反比例函数与一次函数综合 26 【题型 10】反比例函数与几何综合 30 四.同步检测 36 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 36 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识梳理与解读 【知识点1】反比例函数基础概念 1. 定义：形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。 2. 三种等价形式：、、（核心：与乘积为定值） 3. 取值范围：自变量 ，函数值 4. 判定关键：两个变量积一定成反比，商一定成正比。 【知识点2】反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的对称性： 反比例函数 的图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点中心对称，关于直线 、 轴对称。 2. 反比例函数的图象与性质： 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象的对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三 二、四 函数的变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【要点提示】增减性必须强调在每一象限内，不能说整个定义域内y随x增大而增大或减小。 【知识点3】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 1. 设：设解析式为 ； 2. 代：将图象上已知点坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出 的值； 4. 写：将k回代，写出最终函数解析式。 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 设点 是反比例函数 图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线： 1. 围成的矩形面积： 2. 围成的直角三角形面积： 3. 核心结论：同一反比例函数图象上，任意一点对应的矩形、三角形面积为定值，与点的位置无关。 【知识点5】反比例函数实际应用 1. 建模条件：总量固定，两个变量此增彼减，乘积为定值。 2. 常见模型：路程一定（速度—时间）、总量一定（效率—时间）、总价一定（单价—数量）、压力一定（压强—面积）。 3. 实际范围：，图象只取第一象限分支。 【知识点6】易错点专项归纳（全章避坑） 1：忽略 ，导致函数判定错误。 2：不区分“整个定义域”和“单个象限”，增减性描述错误。 3：求几何面积不带绝对值，出现负面积。 4：实际问题不写 ，图象多选错误象限。 5：将 、 误判为反比例函数。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数的概念判定 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 解：（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 解：（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 【题型 2】根据图象性质判断参数范围 【例题2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． （1）若，则x的取值范围是__________； （2）若，则x的取值范围是__________； （3）若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】（1）或；（2）；（3）或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 解：（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期末）若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质求解判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点在第三象限内，点在第一象限内， ∴，则， 故选：． 【变式2】（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． （1）如果这个函数图象经过点，求的值； （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 （）运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； （）依据“反比例函数为常数，（为常数，），当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 解：（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 【题型 3】反比例函增减性及函数值大小比较（经典易错题） 【例题3】（25-26九年级下·全国·期中）已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 【答案】 【分析】先根据题意可知反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大，再根据，点在第二象限可得答案． 解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大． ∵，点在第二象限， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 【变式3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象过点P． （1）求点P的坐标和k的值； （2）若在这个反比例函数的图象上有两个点，且，请比较与的大小． 【答案】（1）点P的坐标为；；（2），理由见分析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到点的坐标，根据待定系数法可求的值； （2）由的值大于，得到在每一个象限，随的增大而减小，利用增减性即可判断． 解：（1）解：是边长为的等边三角形， 点P的坐标为． 反比例函数的图象过点P， ， 解得． （2）， ∴在每一象限内，y随着x的增大而减小． ． 【点拨】此题考查了待定系数法确定反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【题型 4】k的几何意义 【例题4】（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． （1）求值； （2）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1）10；（2） 【分析】（1）解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可； （2）先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案． 解：（1）解法一： ∵点在双曲线上，轴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 解法二： 设点的坐标为 ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）∵． ∴双曲线的表达式为． 当时，． 由图象可知，当时，． 【点拨】本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，点B是的中点，连结，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义，先求出的面积，再利用中线均分面积即可得到结果． 解：∵点P在反比例函数的图象上，轴于点A， ∴， ∵点B是的中点， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 解：（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 【题型 5】待定系数法求解析式 【例题5】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 解：（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，反比例函数解析式的求法，理解由平移方式确定点的坐标是解答关键． 根据由平移方式确定点的坐标求出点的坐标，再求出反比例函数解析式． 解：，将线段平移得到线段，点的对应点是， 向左平移了4个单位，向上平移了1个单位， 平移后对应的点, 设反比例函数解析式为， 将点代入得， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数性质，以及求反比例函数表达式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将点代入中求得的值，即得出点A的坐标，再将点A的坐标代入中求解，即可解题． 解：将点代入中得：， 解得：， 则点A的坐标为， 将点代入中得：， ∴反比例函数的表达式为． 【题型 6】反比例函数实际应用题 【例题6】（2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表： （1）根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； （2）当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见分析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设关系式为，代入求出的值，即可得出答案； （2）代入到（1）中的关系式，求出对应的值，即可解答． 解：（1）解：∵小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系， ∴设关系式为， 代入，得， 解得， ∴小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式为； （2）解：不能，理由如下： 当时，则， 解得， ∴当骑行速度为时，小李的骑行时间为， ∵上午从家出发到上午为，且， ∴他不能在上午之前到达目的地． 【变式1】（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·三模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象判断即可． 解：由图象可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R小于时，电流， 故可以是． 【变式3】（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求出这个反比例函数的解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 【答案】（1）；（2）以上的范围内． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 解：（1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即用电器可变电阻应控制在以上的范围内． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 7】反比例函数图象位置与增减性综合 【例题7】（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：函数的图象经过点 将点代入，得， 该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 【变式2】（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，点、在另一反比例函数（）的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求法（待定系数法）及函数值的计算与比较，解题的关键是通过已知点求出常数k的值，再代入点的坐标计算函数值并比较大小． 用点A的坐标求k；确定反比例函数的解析式；分别求两点的函数值并比较． 解：由题意，点在反比例函数上， 代入得：，解得． 则反比例函数为． 点在该函数上，代入得； 点在该函数上，代入得． 因为，所以． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知反比例函数的图象经过点，． （1）求该反比例函数的表达式    （2）若，为（1）中反比例函数图象上的两个不同点，且，求证：． 【答案】（1）该反比例函数的表达式为；（2），在反比例函数的图象上， ，， ∴ ， ， ∴原式，即． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由题意可得，，代入式子左边，结合，计算即可得证． 解：（1）解：把，代入中，得到， 解得， ， 把代入中，得到，即， ∴该反比例函数的表达式为． （2）略． 【题型 8】反比例函数实际应用 【例题8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 （1）根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； （2）汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】（1）反比例，；（2）不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 解：（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 【变式2】（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 【变式3】（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 解：（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点拨】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 【题型 9】反比例函数与一次函数综合 【例题9】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或；（3）点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，的值是 ； （3）在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）12；（3） 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可. 解：（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由图象可知，时，的取值范围为. 【题型 10】反比例函数与几何综合 【例题10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 解：（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 【变式2】25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 【变式3】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和． （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形求面积即可． 解：（1）解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：点 在反比例函数 上， ∴点 的坐标为， 轴，垂足 在 轴上， 点的坐标为， 直线 与 轴交点 ， 令 ，则，解得， ∴ 点的坐标为， ， 四边形的面积为． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 2．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案. 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为，即图象上的点满足. 对各选项验证：A选项：，满足条件，在此函数图象上； B选项：，不满足； C选项：，不满足； D选项：，不满足. 3．（2023·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的图象位于一、三象限可知直线的图象过一、三象限，进而可得答案． 解：双曲线的图象位于一、三象限， 若直线与双曲线有公共点， 则直线的图象过一、三象限， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了正比例函数和双曲线的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项B：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项C：是反比例函数，仅在每个象限内满足随增大而增大，不符合题意； 选项D：中，，随增大而减小，符合题意． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 【答案】A 【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案． 解：点的坐标为， ， 在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为， 将代入函数得， 故选：A． 【点拨】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键． 7．（23-24九年级上·四川达州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（k为常数，且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，一次函数的图象应该经过二、三、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项符合题意； C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：C． 10．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 【答案】 解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 12．（24-25九年级上·新疆哈密·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 【答案】 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 13．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 14．（25-26八年级下·上海崇明·期末）某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，满足要求的函数可以为反比例函数，可设反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可，确定函数类型再求解是解题关键． 解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为， 函数图象经过点， 将代入得， 满足条件的函数表达式可以为 15．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积是4，则k的值_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，可得，据此求出k的值是多少即可． 解：∵的面积是4， ∴， ∴， 解得， 又∵双曲线的图象经过第二、四象限， ∴， 即k的值是． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 17．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 18．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 解：设点A的横坐标为m，由图可知， ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）判断点是否在该函数的图象上． 【答案】（1）；（2）在 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）判断该点的横、纵坐标之积是否等于k值即可． 解：（1）解：将代入，得： 解得； （2）解：， 点在该函数的图象上． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·湖南常德·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 解：（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知反比例函数． （1）若点在反比例函数的图象上，则的值为______； （2）当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 解：（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 22．（本小题满分10分）（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2）已知点是轴上一动点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．若，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）把交点横坐标代入直线解析式求出，得到交点的完整坐标，再代入反比例函数算出； （2）用表示出 、的坐标，进而表示出、，分情况讨论去掉绝对值符号，根据列方程求出，再结合图象求解． 解：（1）解：∵位于直线上， ∴， ∴点的坐标为， 代入， 可得． （2）解：据（1）可知，则函数的解析式为， 对于直线，令，， 对于，令，， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得，， 当，点、位于第一象限， 则，， 当，可得， 解得或（不合题意，舍去）， 如图， 若要，则； 当，点、位于第一象限， 则，， 当，可得，即， 由可知无解，不符合题意； 当，点、位于第三象限， 则，， 当，可得， 解得或（不合题意，舍去）， 如图， 若要，则， 综上 的取值范围为或． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． （1）请直接写出、、三点的坐标； （2）将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 【答案】（1），，；（2）， 【分析】（1）连接交于点，根据菱形的性质得到，，，即可求得点和点； （2）根据平移得到点和，代入反比例函数得到方程组求解即可． 解：（1）解：连接交于点，如图， ∵四边形是菱形，，点在轴上，轴， ∴，，， ∵点在轴上， ∴，； （2）解：∵菱形向右平移个单位得， ∴点、， ∵点、恰好同时落在反比例函数的图像上， ∴，解得， 则反比例函数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 解：（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $