第01讲 反比例函数概念、图象性质、k几何意义（核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业）复习讲义重难点专题训练2026-2027学年九年级数学上册（苏科版）

本讲义聚焦初中数学反比例函数核心内容，系统梳理概念（含三种等价表达式）、图象性质（双曲线分布、增减性、对称性）及k的几何意义（矩形与三角形面积），构建从基础定义到性质应用的递进式学习支架。 资料设计亮点突出，5个易错辨析（如增减性跨象限表述、k值符号判断）强化推理意识，6个典例结合压强、密度等实际问题渗透模型意识，课后分层作业助力学生查漏补缺。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，提升数学思维与应用能力。

第01讲 反比例函数概念、图象性质、k几何意义 （核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】反比例函数核心概念 1. 定义 一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 2. 三种等价表达式（必考） 标准式： 乘积式：（最常用于快速判断函数、求值） 负指数式：（用于辨析函数类型、区分一次函数） 3. 核心概念解读 是反比例函数的必要条件，若，则，为常函数，不是反比例函数。 自变量、函数值均不能为0，因此函数图象与轴、轴无交点。 两个变量的乘积始终为定值，越大则越小，成反比例关系。 【知识点02】反比例函数图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成，且关于原点、直线、直线对称。 1. 分情况核心性质 参数取值 图象分布象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性（核心） 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 图象趋势 双曲线无限靠近坐标轴，永不相交 双曲线无限靠近坐标轴，永不相交 对称性 中心对称（原点）、轴对称（） 中心对称（原点）、轴对称（） 2. 图象关键特征 双曲线的两支永远不重合、不相交，分别位于两个相对的象限； 越大，双曲线的图象越远离坐标轴；越小，图象越靠近坐标轴； 图象经过原点对称点：若点在图象上，则点也在图象上。 【知识点03】k的几何意义（重难点、高频考点） 1. 基础几何意义 过反比例函数图象上任意一点，分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为定值。 公式： 2. 衍生三角形面积（必考） 连接该点与原点，可得坐标轴与垂线、原点连线围成的直角三角形面积为定值。 公式： 3. 核心结论 无论图象上的点如何移动，对应的矩形、三角形面积始终不变，只与有关； 面积为正数，求解值时，需根据图象所在象限判断的正负，避免漏符号。 易错点1：增减性表述错误（最易扣分） 错误说法：当时，随的增大而减小。 正确说法：当时，在每个象限内，随的增大而减小。 辨析：不能跨象限讨论增减性。例如，当时，，但，，与增减性不矛盾，跨象限无增减规律。 易错点2：忽略的隐含条件 判断函数为反比例函数时，必须满足，即，很多解题会遗漏该条件，导致答案出错。 易错点3：k的几何意义漏绝对值、符号判断错误 已知面积求时，，计算出的有正负两种可能，必须根据图象象限判定：一三象限，二四象限，不可直接取正值。 易错点4：混淆自变量取值范围 反比例函数自变量，函数值，因此图象永远不与坐标轴相交，做题时不可出现图象过坐标轴的错误判断。 易错点5：函数类型判断失误 不是反比例函数，分母必须是单独的自变量，而非含的代数式，该函数为分式函数，不属于反比例函数。 【题型一】反比例函数的概念 【例1】．（25-26九年级上·江苏南京·课后作业）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【例2】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【例3】．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【例4】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【变式1】．（24-25九年级·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【变式2】．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）当______时，函数是反比例函数． 【变式3】．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【变式4】．（2024·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【题型二】已知双曲线分布的象限，求参数 【例5】．（24-25九年级上·江苏溧阳·期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6】．（24-25九年级·江苏泰州·阶段检测）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【变式1】．将双曲线与轴、轴之间的区域记为（不包括坐标轴与双曲线），若区域内整点（横坐标与纵坐标均为整数）的个数不少于5，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D． 【变式2】．若反比例函数 的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值）______ ． 【变式3】．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【题型三】反比例函数的增减性（含参数） 【例7】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例8】．反比例函数的图象上有两点，，当时地，有，则m的取值范围是______． 【变式1】．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，若m从1逐渐增大到5，则的长（） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【变式2】．（23-24九年级上·江苏·单元测试）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是____（填序号）． 【变式3】．已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【题型四】比较反比例函数值或自变量的大小 【例9】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若两点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【例10】．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 【变式1】．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，是反比例函数图象上的两点：若，则___________（填“<”、“=”或“>”） 【变式3】．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【题型五】k的几何意义 【例11】．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例12】．（25-26九年级上·江苏溧阳·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【变式1】．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【变式3】．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【题型六】求反比例函数解析式 【例13】．点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【例14】．（2024·江苏·中考真题）若矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为______． 【变式1】．（2025·江苏苏州·一模）已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式是______． 【变式3】．（22-23九年级上·江苏南京）已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为_____________． 1. 一个定义：反比例函数，核心是变量乘积为定值，自变量不为0； 2. 一个定值三大禁忌解题技巧 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 4．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 8．反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 二、填空题 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 11．对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 12．在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 13．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 14．反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围__________． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 三、解答题 16．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． (1)求值； (2)当时，求函数值的取值范围． 18．如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 19．已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 20．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数； (1)当时，；当时，；则 ， ． (2)在（1）的条件下， ①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象； ②若该分段函数图象上有两点，且，则m的取值范围； ③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 反比例函数概念、图象性质、k几何意义 （核心知识+5易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】反比例函数核心概念 1. 定义 一般地，形如 （为常数，）的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。 2. 三种等价表达式（必考） 标准式： 乘积式：（最常用于快速判断函数、求值） 负指数式：（用于辨析函数类型、区分一次函数） 3. 核心概念解读 是反比例函数的必要条件，若，则，为常函数，不是反比例函数。 自变量、函数值均不能为0，因此函数图象与轴、轴无交点。 两个变量的乘积始终为定值，越大则越小，成反比例关系。 【知识点02】反比例函数图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成，且关于原点、直线、直线对称。 1. 分情况核心性质 参数取值 图象分布象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性（核心） 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 图象趋势 双曲线无限靠近坐标轴，永不相交 双曲线无限靠近坐标轴，永不相交 对称性 中心对称（原点）、轴对称（） 中心对称（原点）、轴对称（） 2. 图象关键特征 双曲线的两支永远不重合、不相交，分别位于两个相对的象限； 越大，双曲线的图象越远离坐标轴；越小，图象越靠近坐标轴； 图象经过原点对称点：若点在图象上，则点也在图象上。 【知识点03】k的几何意义（重难点、高频考点） 1. 基础几何意义 过反比例函数图象上任意一点，分别作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为定值。 公式： 2. 衍生三角形面积（必考） 连接该点与原点，可得坐标轴与垂线、原点连线围成的直角三角形面积为定值。 公式： 3. 核心结论 无论图象上的点如何移动，对应的矩形、三角形面积始终不变，只与有关； 面积为正数，求解值时，需根据图象所在象限判断的正负，避免漏符号。 易错点1：增减性表述错误（最易扣分） 错误说法：当时，随的增大而减小。 正确说法：当时，在每个象限内，随的增大而减小。 辨析：不能跨象限讨论增减性。例如，当时，，但，，与增减性不矛盾，跨象限无增减规律。 易错点2：忽略的隐含条件 判断函数为反比例函数时，必须满足，即，很多解题会遗漏该条件，导致答案出错。 易错点3：k的几何意义漏绝对值、符号判断错误 已知面积求时，，计算出的有正负两种可能，必须根据图象象限判定：一三象限，二四象限，不可直接取正值。 易错点4：混淆自变量取值范围 反比例函数自变量，函数值，因此图象永远不与坐标轴相交，做题时不可出现图象过坐标轴的错误判断。 易错点5：函数类型判断失误 不是反比例函数，分母必须是单独的自变量，而非含的代数式，该函数为分式函数，不属于反比例函数。 【题型一】反比例函数的概念 【例1】．（25-26九年级上·江苏南京·课后作业）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 【例2】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 【例3】．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 【例4】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 【变式1】．（24-25九年级·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 【变式2】．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）当______时，函数是反比例函数． 【答案】1 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键． 【变式3】．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 【变式4】．（2024·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 【题型二】已知双曲线分布的象限，求参数 【例5】．（24-25九年级上·江苏溧阳·期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限． 【详解】解：∵比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴． 故选A． 【例6】．（24-25九年级·江苏泰州·阶段检测）若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】．将双曲线与轴、轴之间的区域记为（不包括坐标轴与双曲线），若区域内整点（横坐标与纵坐标均为整数）的个数不少于5，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】先写出5个第一象限内靠近坐标轴的整数点，再进行判断即可． 【详解】解：第一象限内靠近坐标轴的整数点为：，，，，， ∵区域G内整点（横坐标与纵坐标均为整数）的个数不少于5， ∴， ∵四个选项中只有， ∴k的值可以是，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，能根据题意判断出是解题的关键． 【变式2】．若反比例函数 的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值）______ ． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数 的图象位于第一，第三象限求出k的取值范围即可求解． 【详解】解：∵比例函数 的图象位于第一，第三象限， ∴， ∴， ∴k的值可以是3 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式3】．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【题型三】反比例函数的增减性（含参数） 【例7】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 【例8】．反比例函数的图象上有两点，，当时地，有，则m的取值范围是______． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数图象特征，分析得出，当A点位于第二象限，B点位于第四象限时，符合题意，此时反比例函数的k值小于0，即，解得该不等式即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数图象上， 又∵当时，有， ∴反比例函数的k值小于0， 即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象特征，根据题意分析得出反比例函数的k值小于0是解题关键． 【变式1】．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，若m从1逐渐增大到5，则的长（） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数图象性质与完全平方公式的应用，解题关键是通过联立直线和反比例函数求交点，结合完全平方公式确定长的最小值位置，进而判断其变化趋势． 联立直线与反比例函数的方程，求出交点的坐标为．设反比例函数上另一点，由推出，结合与反比例函数性质，得到，即与重合时最小，根据从到，在这个区间内，得出长变化情况． 【详解】解：如图，设直线与反比例函数的图像交于点， 联立方程 解得，， ∴． 设该反比例函数上另一点的坐标为， ， ， ． 由此可得，当点与重合时，的长最小， 此时． ， 的长先减小后增大． 故选：D． 【变式2】．（23-24九年级上·江苏·单元测试）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是____（填序号）． 【答案】②⑥/⑥② 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，根据性质逐个分析即可． 【详解】解：①，∵，∴在每个象限随的增大而增大，故不符合题意； ②，∵，∴随的增大而增大，故符合题意； ③∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ④，∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ⑤，∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ⑥，∵，∴随的增大而增大，故符合题意； 故答案为：②⑥． 【变式3】．已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)2 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 【题型四】比较反比例函数值或自变量的大小 【例9】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若两点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，通过将点A和点B的x坐标代入函数解析式，分别求出和的值，然后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵两点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 【例10】．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 【答案】/ 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小． ∵ ∴． 故答案为：． 【变式1】．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴， 故选：A． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，是反比例函数图象上的两点：若，则___________（填“<”、“=”或“>”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的性质．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，时，在每一个象限，随着的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，是反比例函数图象上的两点： ∴函数图象在第二，四象限，随着的增大而增大， ∴时，； 故答案为：． 【变式3】．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 【题型五】k的几何意义 【例11】．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式，即可求得k的值． 【详解】解：设D的坐标是，则B的坐标是． ∵矩形的面积为，， 把D的坐标代入函数解析式得： ， 故选：D． 【例12】．（25-26九年级上·江苏溧阳·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． 【变式2】．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 【变式3】．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 【题型六】求反比例函数解析式 【例13】．点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解m即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点， ∴ 解得， 故选：C． 【例14】．（2024·江苏·中考真题）若矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据题意列出反比例函数解析式，即可． 【详解】解：∵矩形的面积是，相邻两边的长分别为、， 故， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数解析式，解题的关键是根据矩形的面积公式推得． 【变式1】．（2025·江苏苏州·一模）已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 过点作轴，交反比例函数的图象于点，得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点， ， 点的横坐标为，设点的坐标为， ， 由图可知， ， ， 的值可能为， 故选：D． 【变式2】．一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式是______． 【答案】/ 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】利用待定系数法解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，正确确定k值是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（22-23九年级上·江苏南京）已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为_____________． 【答案】或 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，进而得出时所对应的函数图象为第三象限的部分和第一象限的全部，再结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 又∵， ∴所对应的函数图象为第三象限的部分和第一象限的全部， 又∵， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴的取值范围是：或． 故答案为：或． 1. 一个定义：反比例函数，核心是变量乘积为定值，自变量不为0； 2. 一个定值三大禁忌解题技巧 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．已知反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数随的增大而减小，可得，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小， ， 满足条件， 故选：B． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，由于比例系数，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，解答即可。 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握图象的分布和性质是解题的关键。 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，不在第二、四象限， ∴ B错误； ∵ 当 时，函数处于第三象限，且， ∴ y 随x的增大而减小， ∴ C正确； ∵ 当时，函数处于第一象限，且， ∴ y 随 x 的增大而减小，不是增大， ∴ D错误。 故答案为：C。 4．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 7．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 8．反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据点B、E的位置和坐标求得k值的取值范围，即可解答． 【详解】解：设,则， ∵正方形的面积为11， ∴，即 ∵由图象可知，点在双曲线第二象限的一支的上方， ∴， ∵点的坐标为，且点在双曲线第四象限的一支的上方， ∴， ∴， 则的值可能是， 故选：B． 9．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 二、填空题 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 11．对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据得出函数经过第二、四象限，再结合，即可作答． 【详解】解：∵函数的， ∴函数经过第二、四象限， ∴当时，函数图象位于第二象限． 故答案为：二 12．在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键； 利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于和的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：将点代入得，即， 将点代入得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴令，则； 令，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键． 14．反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围__________． 【答案】 【分析】本题考查根据反比例函数的增减性，求参数的范围，根据题意，易得，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 三、解答题 16．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． (1)求值； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可； （2）先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案． 【详解】（1）解法一： ∵点在双曲线上，轴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 解法二： 设点的坐标为 ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）∵． ∴双曲线的表达式为． 当时，． 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键． 18．如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 19．已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 ()运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； ()依据“反比例函数为常数，(为常数，)，当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 20．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数； (1)当时，；当时，；则 ， ． (2)在（1）的条件下， ①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象； ②若该分段函数图象上有两点，且，则m的取值范围； ③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)3，6 (2)①见解析；②或；③ 【分析】（1）将分别代入函数和得关于a和b的方程，解方程得a和b的值； （2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可； ②由①中函数图象分两种情况可直接得出m的取值范围． ③由①中函数图象可直接得出k的取值范围． 【详解】（1）解：（1）把代入得，， ， 把，代入得，， ； 故答案为：3，6； （2）①∵， 故可作图如下： ②是函数图象上的点，且， ， ， ， 当时， ∵在函数图象上， 当时，由图象知，； 当时，由于，解得：， 由图象知，； 综上，m的取值范围为：或； ③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数与不等式，函数的性质与图象，数形结合是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $