专题 1.3 用反比例函数解决问题 讲义- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦用反比例函数解决实际问题，系统梳理核心原理（两变量乘积为定值）、建模四步法（审清题意等）、自变量取值范围（实际量为正）及核心性质（k>0时y随x增大而减小），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过工程效率、行程等分层题型及杠杆原理等跨学科实例，培养模型意识与推理能力，课中辅助教师教学，课后同步检测助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题 1.3 用反比例函数解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】反比例函数实际应用核心原理 1 【知识点二】实际问题建模四步法（标准解题流程） 1 【知识点三】实际问题自变量取值范围（必考易错点） 2 【知识点四】反比例函数实际问题核心性质 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】工程效率问题（工作总量定值） 2 【题型 2】行程问题（路程定值） 6 【题型 3】销售价格问题（总价定值） 8 【题型 4】反比例函数与跨学科问题 11 【题型 5】反比例函数与其他实际问题 15 三.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 30 一.知识梳理与解读 【知识点一】反比例函数实际应用核心原理 在实际问题中，若两个相关联的变量满足乘积为定值，即 （ 为非零常数），则这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型 求解问题。 常见反比例关系场景：总量固定时，速度与时间、工作效率与工作时间、单价与数量、压强与受力面积、电流与电阻等。 【知识点二】实际问题建模四步法（标准解题流程） 1：审清题意，确定变量：区分自变量、因变量，找准题目中固定不变的总量（即反比例系数），判断变量是否为反比例关系。 2：建立函数模型：设出反比例函数解析式 ，结合实际意义确定自变量取值范围。 3：代入数据求系数：将题目中已知的一组对应变量值代入解析式，求出 ，确定完整函数解析式。 4：利用解析式求解问题：根据所求解析式，代入变量求值、分析变化趋势、求解最值或范围，结合实际作答。 【知识点三】实际问题自变量取值范围（必考易错点） 反比例函数纯数学定义域为 ，但实际问题中变量均为正数： 1. 路程、速度、时间、数量、面积、效率等实际量：； 2. 部分场景需结合题干限制，取正整数、正数区间； 3. 实际函数图象仅取第一象限分支，无第二、四象限图象。 【知识点四】反比例函数实际问题核心性质 当 （实际问题恒成立），在 范围内： 1. 随 的增大而减小； 2. 越大， 越小； 越小， 越大； 3. 总量始终不变，变量此增彼减，符合反比例变化规律。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】工程效率问题（工作总量定值） 核心模型：工作总量=工作效率×工作时间（总量固定，效率与时间成反比） 【例题1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． （1）求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； （2）若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】（1）；（2）乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 解：（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据工作量相同，建立等式解答即可． 本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：∵一个人完成需10天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴． ∴， ∴n是m的反比例函数， ∴选取数对，在坐标系中进行描点，则正确的是C． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·重庆铜梁·开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 ___________吨． 【答案】376 【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨． 解：设甲车每次运吨， 乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨， 乙车每次运（吨，丙车每次运吨， 甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等， 丁车每次运吨， ，，，都是整数， 是6的倍数，最小为6， 设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次， 甲车共运输了120吨， ， ， 根据题意得： ， 当最小时，取最大值， 时，最大为（吨， 这批建筑材料最多有376吨， 故答案为：376． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键． 【变式3】（20-21九年级上·陕西铜川·期末）某地建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米． （1）写出运输公司完成任务所需的时间（单位：天）与平均每天的工作量（单位：万米）之间的函数关系式； （2）当运输公司平均每天的工作量是15万米时，完成任务所需的时间是多少？ 【答案】（1）；（2）24天 【分析】（1）根据题意直接写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式； （2）根据题意把x＝15代入求出答案； 解：（1）运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式为：， 故； （2）当运输公司平均每天的工作量是15万米时， 完成任务所需的时间是：（天）， 答：完成任务所需的时间是24天． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的相关知识解答． 解题技巧：总量固定直接套用 ，无需复杂计算。 【题型 2】行程问题（路程定值） 核心模型：路程=速度×时间（路程固定，速度与时间成反比） 【例题2】（23-24八年级下·江苏南京·阶段检测）甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． （1）写出y关于x的函数表达式； （2）公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； （3）若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【答案】（1）；（2）车到达B地所需的最短时间为；（3）乙车的速度为 【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键． （1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可． 解：（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据的实际意义解答即可． 解：∵汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为， ∴自变量的取值范围是． 故选：A． 【变式2】（17-18九年级下·全国·单元测试）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系；根据路程=速度×时间，利用路程相等列出关系式即可解决问题． 解：由题意， 即， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数在行程问题中的应用： （1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围； （2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 解：（1）解：由题意知， 关于的函数表达式为：， 速度限定为不超过120千米/时， ， ， ； （2）解：到用时小时，到用时小时， 将代入，得：， 将代入，得：， 汽车行驶速度的范围为． 【题型 3】销售价格问题（总价定值） 核心模型：总费用=单价×数量（总费用固定，单价与数量成反比） 【例题3】（专题02反比例函数综合应用（五大题型）（题型专练）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读�题型专练》（苏科版））某商场销售一批运动鞋，每双进价120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表： 销售价格x（元） 250 300 销售数量y（件） 24 20 （1）求出符合表格数据的关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． （1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）设销售价格应定位元，根据利润等于售价减去成本乘以销售数量，由此即可求解； 解：（1） ，， x和y成反比例，且， y关于x的函数关系式是； （2）设销售价格应定位元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：销售价格应定为200元． 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等， ∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方， ∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润． 故选C． 【变式2】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）调查显示，某商场一款小型电器的销售量是售价的反比例函数，（调查获得的部分数据如下表）． 售价x（元/台） 200 250 400 500 销售量y（台） 40 32 20 16 已知该小型电器的进价为180元/台，要使该小型电器每天的销售利润达到3500元，其售价应定为 ________元． 【答案】320 【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，理解利润问题是解题的关键．先求出反比例函数解析式，再根据“该小型电器每天的销售利润达到3500元”列方程求解． 解：设售价为x元， ∵销售量是售价的反比例函数， ∴， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 故答案为：320． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， （1）求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； （2）求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 【题型 4】反比例函数与跨学科问题 【例题4】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】（1）反比例函数，； （2）解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 解：（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 【变式2】（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 【变式3】（2026·宁夏银川·三模）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 （1）__________，__________； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 解：（1）液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把 ，代入得， ， 当 时， ； 当时， ； （2）当时， ， 当时， ， ， 当时，随着的增大而减小， ． 易错警示：图象仅为第一象限双曲线，不可延伸至其他象限，自变量必须大于0。 【题型 5】反比例函数与其他实际问题 【例题5】（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求段反比例函数的解析式； （2）开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【答案】（1）；（2）开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中 【分析】（1）利用待定系数法可求出段反比例函数解析式，进而得出答案； （2）利用待定系数法可求出段一次函数解析式，再把，代入段解析式求出对应的y值，把，代入段解析式求出对应的y值，进行比较大小即可得出结论． 解：（1）解：设段反比例函数解析式为 ， 把点 代入得 ，解得 ， ∴段反比例函数解析式为： ； （2）解： 设段解析式为 ， 把，，代入得 ，解得 ， 即段解析式为 ， 把，代入段解析式得 ， 把，代入段解析式得 ， 因为 ， 因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中． 【变式1】（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． （1）求t与x之间的函数关系式； （2）要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ （3）已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】（1）；（2）12个；（3）此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 解：（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 【变式2】（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求与的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】（1）；（2）5000个 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 解：（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2）解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 【变式3】（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】（1）上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是；（2）本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 解：（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025九年级下·湖南益阳·专题练习）面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 解：的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 3．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 4．（2026·山东聊城·二模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 5．（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 6．（2026·甘肃平凉·二模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．其实我国古代著作《天工开物》中记载的三千多年前古人利用桔槔在井上汲水就是利用了“杠杆原理”（如图1）．如图2，是古人利用桔槔在井上汲水的示意图，已知在处的力为，长为，则处的动力与动力臂（的长）的关系可以表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得. 解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴， ∴. 7．（2026·湖北随州·一模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】先利用待定系数法得，根据函数的性质并结合端点求出的范围，再逐项判断即可． 解：设，由图象可知过， ，则， 在第一象限内，随v的增大而减小， 当时，，当时，， ， ． 8．（2026·广东深圳·一模）如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据初始水温与升温速度，求出加热阶段的一次函数，代入算出停止加热的时间为分钟；再设降温阶段的反比例函数，代入点求出，确定降温函数；最后代入算出水温回到的时间为分钟，得出从通电加热到首次自动加热的总时长为分钟． 解：由图可得：初始水温为（通电时间时，），水温每分钟上升， ∴加热阶段的一次函数为， ∵当水温达到停止加热， ∴代入得：， 解得， 即停止加热时，通电时间为， ∴得到反比例阶段经过的点， 降温阶段与成反比例，设反比例函数为， 代入点得， 即反比例函数为， 当水温降到时，饮水机开始首次自动再次加热， 代入得：， 解得， 因此从通电加热到首次自动加热所经历的时间为． 9．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 10．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】C 【分析】设反比例函数的表达式为，可得．求解，，进一步可得答案． 解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为． 设反比例函数的表达式为， ， ． ， ∴， ∵轴． ∴， ∵当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等， ∴，即， ∴， ∴他距离点的水平距离为． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 12．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 13．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 14．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 15．（24-25九年级上·云南·阶段检测）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 【答案】2 【分析】根据题意设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出比例系数，确定函数解析式，再将代入解析式求出的值即可． 解：设与的函数关系式为． 由图象可知，函数图象经过点． 将代入，得． 解得． 函数关系式为． 当时，． 解得． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：） 1 1.5 2 2.5 3 p（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 p与V之间的函数关系式可能是________． 【答案】 【分析】通过计算表格中对应变量的乘积，可判断与的函数关系． 解：根据表格中的对应数据计算得：，， 可得， 变形得． 17．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 18．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      【答案】 【分析】根据“阻力阻力臂动力动力臂”列式求解． 解：由题意得：， ∴， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 【答案】反比例函数的表达式为，当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设反比例函数的表达式为将代入求出解析式，再将代入求解即可． 解：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天． 20．（25-26九年级上·山东泰安·期末）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】（1）；（2）不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 解：（1）解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：； （2）解：当时，．     钢瓶的容积要求不低于200升． 21．（25-26八年级下·河南周口·期中）某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． （1）求与之间的关系式； （2）当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 【答案】（1）；（2）当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 【分析】（1）设与之间的关系式为，由函数图象可知点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）把代入反比例函数的解析式即可求出，由反比例函数的性质可知当时，随的增大而减小，可得的最大值为． 解：（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 22．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． （1）求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 【答案】（1）；（2）每小时平均排水量是． 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可． 解：（1）解：依题意可设， 当排水总时间为时，每小时平均排水量为，则有 （2）当时 答：每小时平均排水量是 23．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． （1）求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； （2）该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【答案】（1）；（2）至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 解：（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 24．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： （1）写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； （2）当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为；（2）；（3）该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 用反比例函数解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】反比例函数实际应用核心原理 1 【知识点二】实际问题建模四步法（标准解题流程） 1 【知识点三】实际问题自变量取值范围（必考易错点） 2 【知识点四】反比例函数实际问题核心性质 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】工程效率问题（工作总量定值） 2 【题型 2】行程问题（路程定值） 3 【题型 3】销售价格问题（总价定值） 4 【题型 4】反比例函数与跨学科问题 5 【题型 5】反比例函数与其他实际问题 7 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】反比例函数实际应用核心原理 在实际问题中，若两个相关联的变量满足乘积为定值，即 （ 为非零常数），则这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型 求解问题。 常见反比例关系场景：总量固定时，速度与时间、工作效率与工作时间、单价与数量、压强与受力面积、电流与电阻等。 【知识点二】实际问题建模四步法（标准解题流程） 1：审清题意，确定变量：区分自变量、因变量，找准题目中固定不变的总量（即反比例系数），判断变量是否为反比例关系。 2：建立函数模型：设出反比例函数解析式 ，结合实际意义确定自变量取值范围。 3：代入数据求系数：将题目中已知的一组对应变量值代入解析式，求出 ，确定完整函数解析式。 4：利用解析式求解问题：根据所求解析式，代入变量求值、分析变化趋势、求解最值或范围，结合实际作答。 【知识点三】实际问题自变量取值范围（必考易错点） 反比例函数纯数学定义域为 ，但实际问题中变量均为正数： 1. 路程、速度、时间、数量、面积、效率等实际量：； 2. 部分场景需结合题干限制，取正整数、正数区间； 3. 实际函数图象仅取第一象限分支，无第二、四象限图象。 【知识点四】反比例函数实际问题核心性质 当 （实际问题恒成立），在 范围内： 1. 随 的增大而减小； 2. 越大， 越小； 越小， 越大； 3. 总量始终不变，变量此增彼减，符合反比例变化规律。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】工程效率问题（工作总量定值） 核心模型：工作总量=工作效率×工作时间（总量固定，效率与时间成反比） 【例题1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． （1）求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； （2）若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆铜梁·开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 ___________吨． 【变式3】（20-21九年级上·陕西铜川·期末）某地建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米． （1）写出运输公司完成任务所需的时间（单位：天）与平均每天的工作量（单位：万米）之间的函数关系式； （2）当运输公司平均每天的工作量是15万米时，完成任务所需的时间是多少？ 解题技巧：总量固定直接套用 ，无需复杂计算。 【题型 2】行程问题（路程定值） 核心模型：路程=速度×时间（路程固定，速度与时间成反比） 【例题2】（23-24八年级下·江苏南京·阶段检测）甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． （1）写出y关于x的函数表达式； （2）公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； （3）若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（17-18九年级下·全国·单元测试）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 【变式3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【题型 3】销售价格问题（总价定值） 核心模型：总费用=单价×数量（总费用固定，单价与数量成反比） 【例题3】（专题02反比例函数综合应用（五大题型）（题型专练）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读�题型专练》（苏科版））某商场销售一批运动鞋，每双进价120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表： 销售价格x（元） 250 300 销售数量y（件） 24 20 （1）求出符合表格数据的关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为多少元？ 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）调查显示，某商场一款小型电器的销售量是售价的反比例函数，（调查获得的部分数据如下表）． 售价x（元/台） 200 250 400 500 销售量y（台） 40 32 20 16 已知该小型电器的进价为180元/台，要使该小型电器每天的销售利润达到3500元，其售价应定为 ________元． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， （1）求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； （2）求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【题型 4】反比例函数与跨学科问题 【例题4】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【变式2】（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【变式3】（2026·宁夏银川·三模）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 （1）__________，__________； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 易错警示：图象仅为第一象限双曲线，不可延伸至其他象限，自变量必须大于0。 【题型 5】反比例函数与其他实际问题 【例题5】（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求段反比例函数的解析式； （2）开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【变式1】（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． （1）求t与x之间的函数关系式； （2）要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ （3）已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【变式2】（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求与的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【变式3】（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025九年级下·湖南益阳·专题练习）面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 3．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·二模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃平凉·二模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．其实我国古代著作《天工开物》中记载的三千多年前古人利用桔槔在井上汲水就是利用了“杠杆原理”（如图1）．如图2，是古人利用桔槔在井上汲水的示意图，已知在处的力为，长为，则处的动力与动力臂（的长）的关系可以表示为（     ）． A． B． C． D． 7．（2026·湖北随州·一模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 8．（2026·广东深圳·一模）如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 12．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 13．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 14．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 15．（24-25九年级上·云南·阶段检测）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气体压强为时，的值是___________． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：） 1 1.5 2 2.5 3 p（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 p与V之间的函数关系式可能是________． 17．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 18．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 20．（25-26九年级上·山东泰安·期末）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 21．（25-26八年级下·河南周口·期中）某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． （1）求与之间的关系式； （2）当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 22．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． （1）求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 23．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． （1）求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； （2）该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 24．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： （1）写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； （2）当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $