专题 1.2 反比例函数的图象与性质 讲义- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数的图象与性质核心知识点，通过知识回顾梳理反比例函数定义、待定系数法，衔接新知的图象对称性、象限分布、增减性及k的几何意义，构建从旧知到新知的学习支架。 资料采用基础夯实与巩固提升分层题型设计，结合中考真题与模拟题，通过例题变式训练培养学生推理能力与模型意识。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 1.2 反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识回顾】 1 【知识点1】反比例函数的定义 2 【知识点2】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 2 【新知梳理】 2 【知识点3】反比例函数的图象与性质 2 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】反比例函数的对称性 3 【题型 2】判断反比例函数所在的象限 4 【题型 3】反比例函数的增减性 4 【题型 4】反比例函数K值的几何意义 5 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】反比例函数图象与性质综合 6 【题型 6】已知反比例函数K值求面积 7 【题型 7】已知面积求反比例函数解析式 9 【题型 8】反比例函数与几何综合 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.知识梳理与解读 【知识回顾】 【知识点1】反比例函数的定义 1. 一般形式：形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。 2. 常见变形：（乘积定值）、（幂函数形式） 3. 自变量取值范围：，函数值范围： 关键特征：、 乘积始终为定值 ，两个变量成反比例关系。 【知识点2】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 1. 设：设解析式为 ； 2. 代：将图象上已知点坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出 的值； 4. 写：将k回代，写出最终函数解析式。 【新知梳理】 【知识点3】反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的对称性： 反比例函数 的图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点中心对称，关于直线 、 轴对称。 2. 反比例函数的图象与性质： 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象的对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三 二、四 函数的变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【要点提示】增减性必须强调在每一象限内，不能说整个定义域内y随x增大而增大或减小。 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 设点 是反比例函数 图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线： 1. 围成的矩形面积： 2. 围成的直角三角形面积： 3. 核心结论：同一反比例函数图象上，任意一点对应的矩形、三角形面积为定值，与点的位置无关。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数的对称性 【例题1】（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【题型 2】判断反比例函数所在的象限 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期末）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【变式1】（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【变式2】（2026·云南德宏·一模）反比例函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【题型 3】反比例函数的增减性 【例题3】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【变式2】（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接） 【题型 4】反比例函数K值的几何意义 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，且的面积为1．求和的值． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值． （2）若点B在x轴上，且，则的面积为______． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】反比例函数图象与性质综合 【例题5】（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． （1）求和的值； （2）判断反比例函数的图像位于哪些象限？ （3）在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期末）点在函数图像上，下列说法中正确的是（   ） A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图象不经过第二象限    ④图象不经过第四象限 【变式3】（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： （1）图象的另一支位于__________象限，写出k的取值范围__________．在每个象限内y随x的增大而__________． （2）若点，，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________． （3）若点，在这个函数的图象上，则__________，直线解析式为__________．面积为__________．写出时，x的取值范围__________． 【题型 6】已知反比例函数K值求面积 【例题6】（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【变式1】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（2024·辽宁锦州·二模）如图，B、C两点分别在函数（）和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为______． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． （1）求m，n的值； （2）若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【题型 7】已知面积求反比例函数解析式 【例题7】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·重庆开州·开学考试）如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【变式3】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． （1）求的值； （2）若，，求k的值． 【题型 8】反比例函数与几何综合 【例题8】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为3，则的值是___________ 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）已知反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 5．（11.3用反比例函数解决问题（1）八年级数学下册苏教版）某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 6．（2026·湖南永州·二模）若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 10．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·上海青浦·期末）如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 12．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 13．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 14．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，分别在轴，轴上，且四边形为正方形，若一个反比例函数的图象与正方形有交点，则这个反比例函数的表达式可以为______．（写出一个即可） 15．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 _____（填“<”“＝”或“>”）． 16．（2025·广东深圳·二模）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 17．（24-25九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1）______； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为______ 18．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与，轴相交于点，，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，且．    （1）________; （2）在正半轴上取点，作轴交反比例函数图象于点，以为边向上作正方形，若该反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． （1）如果这个函数图象经过点，求的值； （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·湖南常德·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·河南郑州·开学考试）如图，点，在反比例函数的图象上，点在内部，连接，，，且轴，轴． （1）求反比例函数的解析式； （2）若的面积为，求点的坐标及的面积． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江苏常州·学业考试模拟）如图，反比例函数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，并分别交线段、于D、点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，连接、．试猜想四边形的形状，并证明． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 反比例函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识回顾】 1 【知识点1】反比例函数的定义 2 【知识点2】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 2 【新知梳理】 2 【知识点3】反比例函数的图象与性质 2 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】反比例函数的对称性 3 【题型 2】判断反比例函数所在的象限 5 【题型 3】反比例函数的增减性 7 【题型 4】反比例函数K值的几何意义 9 三.题型精析（巩固提升） 12 【题型 5】反比例函数图象与性质综合 12 【题型 6】已知反比例函数K值求面积 16 【题型 7】已知面积求反比例函数解析式 20 【题型 8】反比例函数与几何综合 24 四.同步检测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理与解读 【知识回顾】 【知识点1】反比例函数的定义 1. 一般形式：形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。 2. 常见变形：（乘积定值）、（幂函数形式） 3. 自变量取值范围：，函数值范围： 关键特征：、 乘积始终为定值 ，两个变量成反比例关系。 【知识点2】待定系数法求反比例函数解析式（四步标准法） 1. 设：设解析式为 ； 2. 代：将图象上已知点坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出 的值； 4. 写：将k回代，写出最终函数解析式。 【新知梳理】 【知识点3】反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的对称性： 反比例函数 的图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点中心对称，关于直线 、 轴对称。 2. 反比例函数的图象与性质： 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象的对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三 二、四 函数的变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【要点提示】增减性必须强调在每一象限内，不能说整个定义域内y随x增大而增大或减小。 【知识点4】反比例函数k的几何意义（高频考点） 设点 是反比例函数 图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线： 1. 围成的矩形面积： 2. 围成的直角三角形面积： 3. 核心结论：同一反比例函数图象上，任意一点对应的矩形、三角形面积为定值，与点的位置无关。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数的对称性 【例题1】（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，得到交点坐标的关系，再结合反比例函数图象上点的坐标特征计算即可． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两函数的交点，关于原点对称， 可得，， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， 将，代入得： ． 【变式3】（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 【题型 2】判断反比例函数所在的象限 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期末）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 【变式1】（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 【变式2】（2026·云南德宏·一模）反比例函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像性质，当时，图像位于第一、三象限；当 时，图像位于第二、四象限解答即可． 解：∵ 反比例函数 中，， ∴ 该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意． 【变式3】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 【题型 3】反比例函数的增减性 【例题3】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 【变式1】（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的比例系数时，在每一象限内随的增大而减小，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 解：∵反比例函数在每一象限内，函数值随的增大而减小， 解得． 【变式2】（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象位置与增减性，再根据各点横坐标比较函数值大小． 解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，， ∴． 【题型 4】反比例函数K值的几何意义 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，且的面积为1．求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了反比例中的几何意义，解题的关键是利用的面积为1，求出，再将点的坐标代入解析式即可求解． 解：点的坐标为轴， ， 的面积为1， ， 解：， 点的坐标为． 把代， 得， ． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，且在函数的图象上，点是线段上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质得到的面积，再根据反比例函数的几何意义求解即可． 解：∵， ∴是的中线， ∵的面积为， ∴， ∵轴， ∴根据反比例函数的几何意义可知：， ∵函数的图象在第一象限， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值． （2）若点B在x轴上，且，则的面积为______． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 解：（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴ ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 【点拨】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】反比例函数图象与性质综合 【例题5】（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． （1）求和的值； （2）判断反比例函数的图像位于哪些象限？ （3）在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；；（2）第一、三象限；（3） 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据反比例函数的性质即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 解：（1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上， ∴， 解得； ， 解得； （2）由（1）可得， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限； （3）根据题意得：， 解得． ∴所有这样的点的横坐标的取值范围是． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期末）点在函数图像上，下列说法中正确的是（   ） A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 解：∵点在函数的图像上 ∴， 解得， 即函数解析式为， ∵， ∴它的图象分布在二、四象限，故A错误； 当时，的值随的增大而增大，故B正确； 当时，的值随的增大而增大，故C错误； 当时，，故它的图象不过点，故D错误． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图象不经过第二象限    ④图象不经过第四象限 【答案】① 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，据此判断即可． 解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小， 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故①说法正确；②③④的说法错误； 故答案为：①． 【变式3】（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： （1）图象的另一支位于__________象限，写出k的取值范围__________．在每个象限内y随x的增大而__________． （2）若点，，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________． （3）若点，在这个函数的图象上，则__________，直线解析式为__________．面积为__________．写出时，x的取值范围__________． 【答案】（1）四，，增大；（2）；（3），，，或 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性、比较反比例函数的函数值、求反比例函数解析式、求自变量的取值范围等知识点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象的一支在第二象限，可知，另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大； （2）根据反比例函数图象的增减性即可解答； （3）将代入求得k的值，进而确定反比例函数解析式，再将代入解析式即可求得n的值，然后运用待定系数法求出直线CD解析式；然后画出图象，根据图象计算的面积以及确定时x的取值范围． 解：（1）解：由反比例函数的图象的一支在第二象限， ∴，解得：， 由反比例函数的图象和性质可知，图象的另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 故答案为：四，，增大． （2）解：由（1）知反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， 如果，则． 故答案为：． （3）解：将代入，得：，解得：， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， 设直线解析式为， 则有，解得：， ∴直线解析式为， 如图：设直线与x轴的交点为E，则，即， ∴面积为； 由函数图象可得：当时，或． 综上可知，，，，或． 【题型 6】已知反比例函数K值求面积 【例题6】（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 解：（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 【变式2】（2024·辽宁锦州·二模）如图，B、C两点分别在函数（）和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为______． 【答案】3 【分析】设，则，结合轴，得到，计算，根据平行线间的距离处处相等，得到的面积为计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：设，根据题意，得， ∵轴， ∴， ∴， 根据平行线间的距离处处相等，得到的面积为， 故答案为：3． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． （1）求m，n的值； （2）若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【答案】（1），；（2）的面积不变． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先把代入反比例函数求出，再将代入反比例函数解析式即可得解； （2）根据反比例函数的的几何意义即可得解． 解：（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； （2）解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． 【题型 7】已知面积求反比例函数解析式 【例题7】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． （1）根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； （2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 【答案】（1）>；（2） 【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数，求出，，再根据比较大小； （2）先证得四边形是矩形，再说明，，然后根据四边形的面积为20，得出点A的坐标，求出k的值． 解：（1）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得出，利用同高三角形面积比等于底边比，求出的面积，再根据的几何意义求解即可； 解：， ， ， ∵的面积为， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， 图象在第二象限， ， ． 【变式2】（24-25九年级下·重庆开州·开学考试）如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得，再根据四边形的面积为求出，直接根据反比例函数“”的几何意义求解即可． 解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 【变式3】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． （1）求的值； （2）若，，求k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了梯形的面积，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论； （2）由（1）知；求得，过点C作于H，则四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）解：设点， 轴，轴， 四边形的面积为，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知； ， ， 过点C作于H，则四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 【题型 8】反比例函数与几何综合 【例题8】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 解：（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为3，则的值是___________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得答案． 解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，． ∵的面积为，， ∴，即． ∴． 故答案为：． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项B：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项C：是反比例函数，仅在每个象限内满足随增大而增大，不符合题意； 选项D：中，，随增大而减小，符合题意． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）已知反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数随的增大而减小，可得，即可得到答案． 解：反比例函数，在图象的每一支上，随的增大而减小， ， 满足条件， 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的三角形面积，结合图象解答是解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 解：连接， 是双曲线上关于原点对称的任意两点， 经过原点， 轴，轴， ， 假设点坐标为， 则点坐标为， 则， ，， 四边形面积， 故选：B ． 4．（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图象解不等式，理解若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 解：过点作轴的平行线，如图所示： 若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，则为， 故选：C． 5．（11.3用反比例函数解决问题（1）八年级数学下册苏教版）某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 6．（2026·湖南永州·二模）若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，将各点横坐标代入函数解析式求出对应y值，再比较大小即可． 解：∵点，，都在的图像上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形． 解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 10．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·上海青浦·期末）如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 12．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 13．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和解不等式，根据反比例函数的性质可得，解不等式即可． 解：∵反比例函数，在每个象限内随的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，分别在轴，轴上，且四边形为正方形，若一个反比例函数的图象与正方形有交点，则这个反比例函数的表达式可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式，根据点B的坐标，代入解析式求出即可求解． 解：∵在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，， 把点B的坐标代入中得 ∴， ∴反比例函数的表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 _____（填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 16．（2025·广东深圳·二模）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点拨】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 17．（24-25九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1）______； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为______ 【答案】 5 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由点，，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可得知， ，， （2）结合轴，，，，则，分别然后代值求解得出的值，根据待定系数法求出直线的解析式，根据直线与反比例函数有交点求出的取值范围，即可求解． 解：（1）∵点，，在函数的图象上， ∴，，，， 得， ，， ∴， 故答案为：5 （2）连接，如图所示： 由（1）得， ，， ∵轴，，，． ∴ ∵反比例函数与有交点, ∴，则； ∴，则； ∴，则； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵有交点， ∴， ∴， 的取值范围为， 故答案为：. 18．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与，轴相交于点，，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，且．    （1）________; （2）在正半轴上取点，作轴交反比例函数图象于点，以为边向上作正方形，若该反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为________． 【答案】 8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）先求出点、坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，继而求出值； （2）设点坐标为，则， ，，利用中点坐标求出点坐标，代入反比例函数解析式求出值，最后计算线段长即可． 解：（1）在一次函数中，令，则；令，则， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ； 故答案为：8． （2）由（1）可知反比例函数解析式为：； 设点坐标为，则， ，， 是的中点， ， 点在反比例函数图象上， ， 解得或（舍去）， ， ， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数． （1）如果这个函数图象经过点，求的值； （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 （）运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； （）依据“反比例函数为常数，（为常数，），当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 解：（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·湖南常德·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 解：（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据点在上确定点A的坐标，再确定反比例函数解析式，计算即可． （2）根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，整理得，解答即可． 本题考查了图象的交点，解方程，待定系数法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 解：（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∴，解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得， 整理得， 解得，（舍去）； 故点Q的坐标为：． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·河南郑州·开学考试）如图，点，在反比例函数的图象上，点在内部，连接，，，且轴，轴． （1）求反比例函数的解析式； （2）若的面积为，求点的坐标及的面积． 【答案】（1）；（2）点的坐标为，的面积为 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）由的面积为可计算出，从而得到点的坐标为．利用反比例函数的解析式可求得点的坐标为，则，最后计算出的面积即可． 解：（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江苏常州·学业考试模拟）如图，反比例函数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，并分别交线段、于D、点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，连接、．试猜想四边形的形状，并证明． 【答案】（1）； （2） （3）四边形是菱形， 证明：如图，与交于点， 垂直平分， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据垂直平分线的作法作图即可； （3）与交于点，根据垂直平分线的性质得出，，再证明，进而得出，即可得出四边形是菱形． 解：（1）解： 反比例函数的图象经过点， ， ， ； （2）解：略 （3）解：略 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别令、，得出，，根据的面积为得出，根据点在轴的正半轴上求出，即可得出一次函数的表达式； （2）过点作轴于，过点作，交延长线于，可得，，，根据旋转的性质得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，得出，，，，把代入，解方程可求出的值，进而可得出双曲线的表达式． 解：（1）解：∵一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴，，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴一次函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ∵点，在双曲线上， ∴，，，， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点恰好落在直线上，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴该双曲线的表达式为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $