专题 1.1 反比例函数的概念 讲义- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数概念核心知识点，系统梳理定义（形如y=k/x,k≠0）、三种等价表达式（标准分式型、乘积型、负指数型）及待定系数法求解析式，构建从概念理解到表达式转化再到解析式求解的递进式学习支架。 该资料以“知识梳理+分层题型+同步检测”为特色，基础题型（如反比例函数识别）培养抽象能力（数学眼光），巩固题型（如待定系数法求解析式）提升推理能力（数学思维），实际问题列表达式强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 1.1 反比例函数的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】反比例函数定义 1 【知识点二】反比例函数的三种等价表达式（必考） 1 【知识点三】待定系数法求反比例函数解析式 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】反比例函数的识别 2 【题型 2】利用反比例函数定义求参数 4 【题型 3】列反比例函数表达式 5 三.题型精析（巩固提升） 7 【题型 4】待定系数法求反比例函数解析式 7 【题型 5】求反比例函数值 10 【题型 6】利用反比例函数值求自变量取值范围 13 四.同步检测 17 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 23 一.知识梳理与解读 【知识点一】反比例函数定义 定义：一般地，形如（ 为常数，且）的函数，叫做反比例函数。 【要点提示】（1）自变量取值范围： 的全体实数；（2）函数值取值范围： 的全体实数。（3）核心本质：两个变量的商为定值，变量 与变量 成反比例关系。 【知识点二】反比例函数的三种等价表达式（必考） 在解题中，三种形式可灵活互换，是判断反比例函数的核心依据： 1：标准分式型：； 2：乘积型：（快速判断变量反比例关系）； 3：负指数型：（多用于求参数、求值题型）。 【要点提示】（1） 是反比例函数的必备条件，若 ，函数变为 ，不是反比例函数；（2） 不是 的反比例函数，自变量必须是单独的 ，不能为多项式；（3）反比例函数中， 的次数必须严格为 ，且系数不为0。 【知识点三】待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数的基本解析式为 ，仅含一个待定系数 ，只需一组对应 值即可求解，具体步骤如下： 1：设解析式：设所求反比例函数解析式为 。必须标注 ， 时函数无意义，不是反比例函数。 2：代入已知坐标：将函数图象上已知点的坐标 代入所设解析式，得到关于待定系数 的一元一次方程。 3：求解系数k：对所列方程进行变形计算，求出常数 的具体数值。由 可推导出核心计算公式：。 4：回代写解析式：将求出的 值代入最初设的解析式，化简后得到最终的反比例函数解析式。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数的识别 【例题1】（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 【变式1】（2025九年级上·福建厦门·专题练习）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 解：①变形为，含有常数项，不符合反比例函数形式； ②是二次函数，不符合反比例函数形式； ③可化为，其中，符合反比例函数形式； ④可化为，其中，符合反比例函数形式； ⑤分母是而非，不符合反比例函数形式； 综上分析可知：是的反比例函数的是③④． 故答案为：③④． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）下列函数属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解反比例函数的定义是解题的关键． 反比例函数的形式为 ，据此回答即可． 解：∵ 反比例函数的一般形式为 ， 选项A: ，是正比例函数； 选项B: ，符合 形式； 选项C: ，不是反比例函数； 选项D: ，是一次函数. ∴ 属于反比例函数的是B． 故选：B． 【变式3】（23-24九年级下·全国·期中）已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是_____（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数；直接根据反比例函数的定义求解即可． 解：下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是，， 故答案为：②③． 【题型 2】利用反比例函数定义求参数 【例题2】（25-26九年级上·北京·课后作业）若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y（k为常数，）或（k为常数，）． 利用反比例函数定义进行解答即可． 解：由题意得：，且， 解得：， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即或，只需令且即可求解． 解：由题意得：且； 解得， 故选：C． 【变式3】（23-24九年级上·四川成都·期末）若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为______． 【答案】3 【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 解：∵反比例函数，且函数是反比例函数， ∴，且， ∴，且或， ∴， 故答案为：3． 【题型 3】列反比例函数表达式 【例题3】（2024·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 【变式1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解． 解：由题意得： ． 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系． 【变式2】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． （1）设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【答案】（1），是反比例函数，比例系数为60；（2）这个矩形与之相邻的另一边长为12cm 【分析】（1）根据矩形的面积及反比例函数的定义即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式求解即可． 解：（1）解：设矩形的面积为，则， 即，， 即关于的函数解析式是，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）解：当时，， 故这个矩形与之相邻的另一边长为12cm． 【点拨】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】待定系数法求反比例函数解析式 【例题3】（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 【答案】（1）；（2）是 【分析】（1）把点代入已知函数解析式，通过解方程即可求得k的值； （2）只要把点的横坐标代入函数解析式，判断的值是否为，若是，即该点在函数图象上． 解：（1）解：把代入得：， 解得：， 所以，反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，点在该函数图象上． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点，若点B在该图象上，则________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征，利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，得到函数解析式，再将点的坐标代入解析式求解的值． 解：反比例函数的图象过点， 将代入解析式得， ∴反比例函数的解析式为， 点在该反比例函数图象上， 将代入解析式得 解得． 【变式3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知矩形的顶点，C都在反比例函数的图象上，，求： （1）反比例函数的解析式； （2）矩形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把代入即可得到结论； （2）先求出点的纵坐标，代入解析式后求出横坐标，即可得到点坐标，进而求出，通过矩形的面积求解即可． 解：（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：由题意可知，， ∴点的纵坐标为， 代入，可得， ∴点C的坐标为， ． 故． 【题型 5】求反比例函数值 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 解：（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 【变式1】（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 【变式2】（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知反比例函数的图像经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析，第四象限内，y随x的增大而增大；（3）点不在这个函数的图像上，理由见分析 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数的图象，以及判断反比例函数的增减性，熟知用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）直接把点代入，求出k的值即可； （2）用描点法画出函数图象，根据图象判断增减性即可； （3）把代入解析式，求出函数值即可判断． 解：（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：列表， x … 1 2 4 … y … … 函数图像如下： 在第四象限内，y随x的增大而增大； （3）解：将代入中，可得， ∴点不在这个函数的图像上． 【题型 6】利用反比例函数值求自变量取值范围 【例题6】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】（1），补充其函数图象如下： （2）或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 解：（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 【变式2】（2024浙江温州·二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可求出压强与气体的体积的关系式为，为了不让气球爆炸，则需要，结合图象可知：若，则． 解：由图可知函数为反比例函数，且过， 设气球内气体的压强与气体的体积的关系为， 则，即， 为了不让气球爆炸，则需要， 当时，，如图： 结合图象可知：若，则， 故选：D． 【点拨】本题考查反比例函数，解题的关键是结合函数图象求出压强与气体的体积的关系，并根据的取值求出的取值． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 解：反比例函数的值是． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 4．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴把代入得，解得， 把代入得， 把代入得， ∵， ∴． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率和反比例函数的性质，利用列举法即可求解． 解：从1，2，3，4中任选两个数，记为a和b，则点的所有可能组合有： ， 共12种等可能结果， 若点在函数图象上，则， 以上各点满足的有：，共2种， 故点在函数图象上的概率是， 故选：D． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用已知点A的坐标求出反比例函数的比例系数k，再分别求出和的值，比较大小即可得到结果． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入解析式得，解得， 将代入解析式得，解得， ∵， ∴． 7．（2024·重庆·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．设反比例函数的解析式为把点代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值． 解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得，， 故此反比例函数的解析式为， 当，， 故选：A． 8．（2026·内蒙古通辽·二模）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数存在的的值：_____． 【答案】3（答案不唯一） 解：∵函数存在， ∴， 解得， 故的值可为3． 10．（2024·陕西西安·二模）已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 【答案】 解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 12．（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 解：将代入，得 13．（2026·江苏南京·三模）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，横纵坐标乘积等于即可） 【分析】先根据点在双曲线上求出的值，再根据反比例函数中为定值的性质，找出一组满足条件的横纵坐标，即可得到点B的坐标． 解：点在双曲线上， ， 解得， ∴双曲线的解析式为， ∴在双曲线上的点的横纵坐标的乘积为， 点的坐标可以是． 15．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，点、在另一反比例函数（）的图象上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求法（待定系数法）及函数值的计算与比较，解题的关键是通过已知点求出常数k的值，再代入点的坐标计算函数值并比较大小． 用点A的坐标求k；确定反比例函数的解析式；分别求两点的函数值并比较． 解：由题意，点在反比例函数上， 代入得：，解得． 则反比例函数为． 点在该函数上，代入得； 点在该函数上，代入得． 因为，所以． 故答案为：． 16．（2025·浙江绍兴·二模）已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移、反比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．先求出点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点的坐标，然后根据平移后的点仍在这个反比例函数图象上，得出，求出m的值，再求出k的值即可． 解：把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位后的点的坐标为， ∵点A和点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：6． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 解：（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点在反比例函数的图象上 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质． （1）根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 解：（1）解：设反比例函数的关系式为（）， 由表可知，， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：当时，， 点在反比例函数的图象上． 19．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数性质，以及求反比例函数表达式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将点代入中求得的值，即得出点A的坐标，再将点A的坐标代入中求解，即可解题． 解：将点代入中得：， 解得：， 则点A的坐标为， 将点代入中得：， ∴反比例函数的表达式为． 20．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． （1）求k的值． （2）连接，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 解：（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 反比例函数的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】反比例函数定义 1 【知识点二】反比例函数的三种等价表达式（必考） 1 【知识点三】待定系数法求反比例函数解析式 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】反比例函数的识别 2 【题型 2】利用反比例函数定义求参数 3 【题型 3】列反比例函数表达式 3 三.题型精析（巩固提升） 4 【题型 4】待定系数法求反比例函数解析式 4 【题型 5】求反比例函数值 5 【题型 6】利用反比例函数值求自变量取值范围 6 四.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与解读 【知识点一】反比例函数定义 定义：一般地，形如（ 为常数，且）的函数，叫做反比例函数。 【要点提示】（1）自变量取值范围： 的全体实数；（2）函数值取值范围： 的全体实数。（3）核心本质：两个变量的商为定值，变量 与变量 成反比例关系。 【知识点二】反比例函数的三种等价表达式（必考） 在解题中，三种形式可灵活互换，是判断反比例函数的核心依据： 1：标准分式型：； 2：乘积型：（快速判断变量反比例关系）； 3：负指数型：（多用于求参数、求值题型）。 【要点提示】（1） 是反比例函数的必备条件，若 ，函数变为 ，不是反比例函数；（2） 不是 的反比例函数，自变量必须是单独的 ，不能为多项式；（3）反比例函数中， 的次数必须严格为 ，且系数不为0。 【知识点三】待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数的基本解析式为 ，仅含一个待定系数 ，只需一组对应 值即可求解，具体步骤如下： 1：设解析式：设所求反比例函数解析式为 。必须标注 ， 时函数无意义，不是反比例函数。 2：代入已知坐标：将函数图象上已知点的坐标 代入所设解析式，得到关于待定系数 的一元一次方程。 3：求解系数k：对所列方程进行变形计算，求出常数 的具体数值。由 可推导出核心计算公式：。 4：回代写解析式：将求出的 值代入最初设的解析式，化简后得到最终的反比例函数解析式。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】反比例函数的识别 【例题1】（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级上·福建厦门·专题练习）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）下列函数属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级下·全国·期中）已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是_____（填序号）． 【题型 2】利用反比例函数定义求参数 【例题2】（25-26九年级上·北京·课后作业）若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·四川成都·期末）若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为______． 【题型 3】列反比例函数表达式 【例题3】（2024·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． （1）设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】待定系数法求反比例函数解析式 【例题3】（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数的图象经过点． （1）求该函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点，若点B在该图象上，则________． 【变式3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，已知矩形的顶点，C都在反比例函数的图象上，，求： （1）反比例函数的解析式； （2）矩形的面积． 【题型 5】求反比例函数值 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 【变式1】（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知反比例函数的图像经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【题型 6】利用反比例函数值求自变量取值范围 【例题6】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时，自变量的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【变式2】（2024浙江温州·二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 7．（2024·重庆·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·内蒙古通辽·二模）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数存在的的值：_____． 10．（2024·陕西西安·二模）已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____． 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 12．（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数，当时，那么的值为________． 13．（2026·江苏南京·三模）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是________（写出一个即可）． 15．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，点、在另一反比例函数（）的图象上，则______．（填“”“”或“”） 16．（2025·浙江绍兴·二模）已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求x的值． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 19．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 20．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． （1）求k的值． （2）连接，，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $