暑期预习讲义（第9讲）——相似三角形的性质及其应用 - 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第9讲）——相似三角形的性质及其应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 1 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）相似三角形全套性质（必背） 2 （二）核心易错清单（考试高频丢分点） 2 （三）相似三大实际应用模型 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】基础比例换算（边长、周长、面积互求） 3 【题型 2】由面积比反求边长、周长 5 【题型 3】AX字型相似面积计算（高频几何题） 7 【题型 4】相似三角形实际应用（测高问题） 10 【题型 5】相似三角形性质与判定综合（基础） 14 四.经典题型精析（巩固提升） 17 【题型 6】相似三角形性质与判定综合（综合） 17 【题型 7】相似三角形性质判定与图形变换（综合） 21 【题型 8】相似三角形性质判定与动点问题（综合） 26 五.同步自测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 一.预习目标与填空 预习目标 1. 熟练掌握相似三角形的对应边、对应角、对应线段、周长、面积五大核心性质。 2. 牢记“面积比等于相似比的平方”这一高频易错考点，熟练区分各类比例关系。 3. 掌握相似三角形在几何计算、图形缩放、实际测量（测高、测距）中的经典应用。 4. 能结合A字、8字、射影模型，综合运用性质解题。 预习重难点 重点：相似三角形对应线段、周长、面积的比例性质，性质的综合计算。 难点：面积比与相似比的转换、复杂图形中多级相似求值、实际应用题建模。 课本原文预习填空 结合课本自主完成填空，熟记所有性质，扫除基础漏洞 1. 相似三角形的对应角__________，对应边__________。 2. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于__________。 3. 相似三角形周长的比等于__________。 4. 相似三角形面积的比等于__________。 5. 若两个相似三角形的相似比为，则周长比为__________，面积比为__________。 6. 相似三角形实际测量高度、距离有三种常见方法：______、_______、_______，核心原理均为构造相似三角形，利用比例求解未知量。 7. 相似多边形的周长比等于__________，面积比等于__________。 预习填空参考答案 1. 相等、成比例 2. 相似比 3. 相似比 4. 相似比的平方 5. 、 6. 影子测高法、标杆测高法、镜面反射测距法 7. 相似比、相似比的平方 二.教材知识梳理解读 （一）相似三角形全套性质（必背） 设两相似三角形的相似比（对应边之比）为 1. 基础边角性质 对应角相等，对应边成比例（相似定义，所有题目的前提）。 2. 对应线段性质（高、中线、角平分线） 所有对应特殊线段的比值 = 相似比。 3. 周长性质 周长之比 = 相似比 。 4. 面积性质（重中之重、超级易错） 面积之比 = 相似比的平方。 （二）核心易错清单（考试高频丢分点） 1. 线段、周长找一次方；面积一定找平方。 2. 由面积比求相似比，必须开平方，不能直接用。 3. 所有性质必须满足对应，乱找边、乱找高直接出错。 4. 相似比有顺序，，反过来为。 （三）相似三大实际应用模型 1. 影子测高模型：同一时刻太阳光平行，物高与影长成正比例。 2. 标杆测量模型：利用标杆、人眼、物体顶端三点共线构造A字相似。 3. 镜面反射模型：利用反射角等于入射角构造等角，AA相似测距。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】基础比例换算（边长、周长、面积互求） 【例题1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为12，求的周长． 【答案】的周长为9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比、周长比等于相似比），熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比），通过已知的中线比和的周长，计算的周长． 解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为12， ∴的周长， ∴的周长. 【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 【变式3】（第4章图形的相似易错疑难集训5）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积． 【答案】较大三角形的面积为 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 设较大三角形的面积是，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得到求解即可． 解：设较大三角形的面积是，则较小三角形的面积为． 由题意可得：，解得：． 答：较大三角形的面积为． 思路总结：线、周同比，面积平方，直接套公式，秒解基础题。 【题型 2】由面积比反求边长、周长 【例题2】（【北师大版课时练习】九年级数学上册第三章图形的相似复习题）如果两个相似三角形面积的比为4：9，那么这两个相似三角形对应边的比是多少？ 【答案】2：3． 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论． 解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方． ∴两个相似三角形的面积之比为4：9时， 这两个相似三角形的对应边之比是2：3． 故答案为：2：3． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期中）如果两个相似三角形的面积比是，则它们对应边上的中线之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高线（中线，角平分线）的比等于相似比是解题关键． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求出相似比，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比即可解答． 解：两个相似三角形的面积之比为 相似比为 对应边上的中线的比为． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·山西大同·阶段检测）已知中，，，，，点在上（与、不重合），点在上．若的面积是四边形面积的时，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质， 先得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出的长 解：∵， ∴， ∵的面积是四边形面积的， ∴与的面积比为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2 【变式3】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，点F在边上，连接． （1）若的面积为1，求四边形的面积； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）8；（2） 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 解：（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 思路总结：面积求比必开方，周长求比直接用，逆向计算必考。 【题型 3】AX字型相似面积计算（高频几何题） 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，，，．求： （1）的长． （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形周长和面积的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行判定角相等则可判定三角形相似，根据相似比即可求得的长； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可以得到三角形的面积比，进而可求得三角形面积． 解：（1）解：， ，， ， ． ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ， ， ． 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． 利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，的面积为． （1）证明 （2）求四边形的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由直接判定即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴； （2）解∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 思路总结：平行证相似→找相似比→平方得面积比→代入求值。 【题型 4】相似三角形实际应用（测高问题） 【例题4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（  ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，找出图中的相似三角形是解题的关键． 通过证明，得到，再代入数据即可求解． 解：由题意得，， ∵ ∴， ∴，即， 解得米， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．过点A作于点M，交于点，证明，得到，求出的长，即可得出城楼的高度． 解：如图，过点A作于点M，交于点， 由题意，得，，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 答：城楼的高度为． 思路总结：平行光线→直角三角形相似→物高与影长成正比例，直接列方程。 【题型 5】相似三角形性质与判定综合（基础） 【例题2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合夹角相等即可证明； （2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案． 解：（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，，得，得，代入数据即可求出，即可作答． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知在中，，，点分别在边上，，，那么的长为____________． 【答案】/3.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角．解题的关键是证明三角形相似． 证明，列出比例式进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再由，即可求解． 解：（1）证明：是斜边上的高， ， ∵，． ∴． ∴， ∴， ∴； （2）解：在直角中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】相似三角形性质与判定综合（综合） 【例题6】（2025·上海·模拟预测）已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． （1）求证： （2）延长交于点M，求证：． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后利用即可证明； （2）证明，再等量代换求证即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式2】（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 解：（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【题型 7】相似三角形性质判定与图形变换（综合） 【例题7】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知是等腰直角三角形，，，点为线段上一点．以点为圆心作扇形，．当扇形绕点旋转时，线段与边交于点，线段与直线交于点． （1）当点为的中点时，若，则的长为________； （2）若点为的三等分点，且，连接，则的长为________． 【答案】 4 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可；（2）根据题意分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． ∵是的三等分点， ∴或， ∴或． ∵， ∴无论或，的值不变，即， ∴， ∵，， ∴， 即的长为． 【变式1】（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 【题型 8】相似三角形性质判定与动点问题（综合） 【例题8】（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： （1）用含t的代数式表示的面积S； （2）当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 解：（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止，点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示，当恰好平分时t的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像可知，到是4秒，到是4秒，得到，进而算出每个角的度数，可知，根据相似三角形的性质，可算出每段长，最后可得答案． 本题考查了动点问题，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，证明相似三角形是解题关键． 解：如图，作的平分线， 由图2可知，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 【答案】2或/2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 【变式3】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在等边三角形中，点P是边上一动点（P点不与端点重合），作，交边于点E，交边于点D． （1）写出一对相似三角形，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1），理由见分析；（2）的长是 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形外角性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得． 解：（1）解：，理由： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵等边三角形，， ∴ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长是． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据线段之间的关系求出的长度． 解：， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可． 解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，从而代入数值求出的值． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【答案】B 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 解：四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度． 解：由题意可知：，，，， ∴， ∴，即， 解得：． 9．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为____________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可求出相似比，再根据周长比等于相似比，即可得到周长之比． 解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴相似比为， ∴周长比为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，与的相似比为．若，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质；根据相似三角形的性质，对应边成比例，由相似比为和，可求的长． 解：∵，相似比为， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 13．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为，求得，再根据相似三角形的对应角相等，即可求解． 解：，， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，则，再根据平行四边形的性质求解即可得． 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．点C为直线上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】由推出，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 解：由题意得，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的坐标，代数式求值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作轴，过点作轴，过点作轴，先证，得出再根据点、、的坐标即可求出答案． 解：如图，过点作轴，过点作轴，过点作轴， ， 根据入射角等于反射角得， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 故答案为：2． 17．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4或 【分析】求解，证明，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，进一步结合相似三角形求解即可． 解：∵，，， ∴． ∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4或． 18．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    【答案】 【分析】连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 解：连接，如图所示，    由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 解：（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 解：（1）证明：， ， ， 又， ， 又， ； （2）解：∵， ∴，即， ． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 解：（1）证明：， ， 、， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）为测量校园内某一棵树的高度，数学应用实践小组决定采用如下方案进行测量：如图，选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部． 根据测量方案回答下列问题： （1）_____（填“>”、“<”或“=”）； （2）求证：； （3）测得数据，，，求树的高度． 【答案】（1）=；（2）由题意可知：，， ， （3）米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）根据光的反射定律可知，反射光线与入射光线与法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角 ，再由等角的余角相等即可得出结论； （2）由两角对应相等的两个三角形相似即可证明， （3）由相似三角形的对应边成比例，代入数据计算即可． 解：（1）解：如图，是法线，， 由光的反射定律可知 ：， 又∵， ∴． 故答案为：=． （2）略 （3）∵， ， 又∵，，， ， ， 答：树的高度为米． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ． （2） 【分析】（1）利用平行四边形对角相等、垂直得直角相等，两角对应相等证三角形相似． （2）根据平行四边形的性质结合等角的余角相等等量代换证明，再由推出，进而证明，得到比例，代入数值计算． 解：（1）略 （2）解：已知四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ，即， ， ，即， ． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，的顶点D在边的延长线上，，，连接，若，试探究与之间有怎样的数量关系，并求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，王伯伯准备在空地周围开垦一片菜园，其中，米，外的空地可利用，在边上取点D，以为边，在上方开垦正方形菜园，点O为正方形菜园的对称中心，在点O处设置浇水喷头，以保障菜园的供水充足，沿铺设水管向点O处引水，已知米，、是两条人行小道，求正方形菜园的面积．    【答案】（1）；；（2）136平方米 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，中心对称，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键： （1）先证明，得到，，再证明，得到，，即可； （2）连接，根据正方形的性质，推出，得到，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出，即可． 解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，． （2）如图，连接，    ∵点O为正方形的对称中心， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 又∵米， ∴（米）， 又∵，米， ∴， ∴正方形菜园的面积为136平方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——相似三角形的性质及其应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 2 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）相似三角形全套性质（必背） 2 （二）核心易错清单（考试高频丢分点） 3 （三）相似三大实际应用模型 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】基础比例换算（边长、周长、面积互求） 3 【题型 2】由面积比反求边长、周长 4 【题型 3】AX字型相似面积计算（高频几何题） 4 【题型 4】相似三角形实际应用（测高问题） 6 【题型 5】相似三角形性质与判定综合（基础） 7 四.经典题型精析（巩固提升） 8 【题型 6】相似三角形性质与判定综合（综合） 8 【题型 7】相似三角形性质判定与图形变换（综合） 9 【题型 8】相似三角形性质判定与动点问题（综合） 11 五.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.预习目标与填空 预习目标 1. 熟练掌握相似三角形的对应边、对应角、对应线段、周长、面积五大核心性质。 2. 牢记“面积比等于相似比的平方”这一高频易错考点，熟练区分各类比例关系。 3. 掌握相似三角形在几何计算、图形缩放、实际测量（测高、测距）中的经典应用。 4. 能结合A字、8字、射影模型，综合运用性质解题。 预习重难点 重点：相似三角形对应线段、周长、面积的比例性质，性质的综合计算。 难点：面积比与相似比的转换、复杂图形中多级相似求值、实际应用题建模。 课本原文预习填空 结合课本自主完成填空，熟记所有性质，扫除基础漏洞 1. 相似三角形的对应角__________，对应边__________。 2. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于__________。 3. 相似三角形周长的比等于__________。 4. 相似三角形面积的比等于__________。 5. 若两个相似三角形的相似比为，则周长比为__________，面积比为__________。 6. 相似三角形实际测量高度、距离有三种常见方法：______、_______、_______，核心原理均为构造相似三角形，利用比例求解未知量。 7. 相似多边形的周长比等于__________，面积比等于__________。 预习填空参考答案 1. 相等、成比例 2. 相似比 3. 相似比 4. 相似比的平方 5. 、 6. 影子测高法、标杆测高法、镜面反射测距法 7. 相似比、相似比的平方 二.教材知识梳理解读 （一）相似三角形全套性质（必背） 设两相似三角形的相似比（对应边之比）为 1. 基础边角性质 对应角相等，对应边成比例（相似定义，所有题目的前提）。 2. 对应线段性质（高、中线、角平分线） 所有对应特殊线段的比值 = 相似比。 3. 周长性质 周长之比 = 相似比 。 4. 面积性质（重中之重、超级易错） 面积之比 = 相似比的平方。 （二）核心易错清单（考试高频丢分点） 1. 线段、周长找一次方；面积一定找平方。 2. 由面积比求相似比，必须开平方，不能直接用。 3. 所有性质必须满足对应，乱找边、乱找高直接出错。 4. 相似比有顺序，，反过来为。 （三）相似三大实际应用模型 1. 影子测高模型：同一时刻太阳光平行，物高与影长成正比例。 2. 标杆测量模型：利用标杆、人眼、物体顶端三点共线构造A字相似。 3. 镜面反射模型：利用反射角等于入射角构造等角，AA相似测距。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】基础比例换算（边长、周长、面积互求） 【例题1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为12，求的周长． 【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【变式3】（第4章图形的相似易错疑难集训5）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积． 思路总结：线、周同比，面积平方，直接套公式，秒解基础题。 【题型 2】由面积比反求边长、周长 【例题2】（【北师大版课时练习】九年级数学上册第三章图形的相似复习题）如果两个相似三角形面积的比为4：9，那么这两个相似三角形对应边的比是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期中）如果两个相似三角形的面积比是，则它们对应边上的中线之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山西大同·阶段检测）已知中，，，，，点在上（与、不重合），点在上．若的面积是四边形面积的时，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，点F在边上，连接． （1）若的面积为1，求四边形的面积； （2）若，，求的长度． 思路总结：面积求比必开方，周长求比直接用，逆向计算必考。 【题型 3】AX字型相似面积计算（高频几何题） 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，，，．求： （1）的长． （2）的面积． 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．若的面积为，则的面积为__________． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，的面积为． （1）证明 （2）求四边形的面积． 思路总结：平行证相似→找相似比→平方得面积比→代入求值。 【题型 4】相似三角形实际应用（测高问题） 【例题4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（  ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【变式2】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 思路总结：平行光线→直角三角形相似→物高与影长成正比例，直接列方程。 【题型 5】相似三角形性质与判定综合（基础） 【例题2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知在中，，，点分别在边上，，，那么的长为____________． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】相似三角形性质与判定综合（综合） 【例题6】（2025·上海·模拟预测）已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． （1）求证： （2）延长交于点M，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【题型 7】相似三角形性质判定与图形变换（综合） 【例题7】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知是等腰直角三角形，，，点为线段上一点．以点为圆心作扇形，．当扇形绕点旋转时，线段与边交于点，线段与直线交于点． （1）当点为的中点时，若，则的长为________； （2）若点为的三等分点，且，连接，则的长为________． 【变式1】（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【题型 8】相似三角形性质判定与动点问题（综合） 【例题8】（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： （1）用含t的代数式表示的面积S； （2）当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止，点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示，当恰好平分时t的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 【变式3】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在等边三角形中，点P是边上一动点（P点不与端点重合），作，交边于点E，交边于点D． （1）写出一对相似三角形，并说明理由； （2）若，求的长． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．20 D．3.2 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为____________． 12．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，与的相似比为．若，则的长为_______． 13．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____． 15．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．点C为直线上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点，若，则的值为________． 16．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是_________． 17．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 18．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）为测量校园内某一棵树的高度，数学应用实践小组决定采用如下方案进行测量：如图，选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部． 根据测量方案回答下列问题： （1）_____（填“>”、“<”或“=”）； （2）求证：； （3）测得数据，，，求树的高度． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，的顶点D在边的延长线上，，，连接，若，试探究与之间有怎样的数量关系，并求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，王伯伯准备在空地周围开垦一片菜园，其中，米，外的空地可利用，在边上取点D，以为边，在上方开垦正方形菜园，点O为正方形菜园的对称中心，在点O处设置浇水喷头，以保障菜园的供水充足，沿铺设水管向点O处引水，已知米，、是两条人行小道，求正方形菜园的面积．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $