专题09图形的位似暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版九年级数学上册

专题09图形的位似暑假预习讲义 · 概念区分：理解位似图形、位似中心、位似比的定义，分清相似图形与位似图形的关系：位似一定相似，相似不一定位似；掌握两个图形成为位似图形必须同时满足的两个条件。 · 识别识图能力：能在图形中快速找出位似中心，判断一组相似图形是否为位似图形；区分位似中心在图形内部、外部、边上、顶点上的不同情况。 · 熟记位似核心性质：掌握位似图形对应点连线经过位似中心、对应边互相平行（或共线）、对应点到位似中心的距离之比等于位似比三条核心性质，会用几何语言描述。 · 平面直角坐标系位似规律：预习坐标系中以原点为位似中心放大 / 缩小图形的坐标变化规律，能根据位似比写出变换后点的坐标，区分同向、反向位似坐标符号差异。 · 作图实操能力：看懂课本位似图形作图步骤，能按指定位似中心、位似比，手动画出原图形的位似图形，规范保留作图辅助线。 · 知识综合串联：联系前面相似多边形、相似三角形知识，梳理位似、相似、全等三者的包含关系；能结合位似比完成线段长度、图形周长、面积计算（周长比 = 位似比，面积比 = 位似比的平方）。 · 辨析易错疑点：自主标记易混淆点：①相似≠位似；②坐标系中位似有两组坐标结果；③作图时对应射线方向容易画反；带着疑问课堂重点突破。 预习必备 知识梳理 1.位似图形相关概念 2.位似图形的性质 3.位似图形的判定方法 4.位似图形的作图步骤 5.平面直角坐标系中的位似 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.位似图形相关概念辨析 2.位似图形的识别 3.判断位似中心 4.求两个位似图形的相似比 5.作已知图形缩放n倍的位似图形 6.求位似图形的对应坐标 7.坐标系位似图形比值计算 8.在坐标系中画位似图形 9.在坐标系中画位似中心 10.坐标与图形综合 强化题型 解答题5题 知识点01：位似图形相关基础概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 两个位似图形的相似比也叫做位似比。 2. 两个必备条件（缺一不可） （1）图形必须相似； （2）所有对应顶点连线交于一点，对应边平行 / 共线。 3. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形（缺少 “对应顶点共点、对应边平行” 条件）； 位似是一种特殊的相似，是具备位置关系的相似。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点06：本节高频易错点汇总 误区 1：认为 “相似图形就是位似图形”，忽略对应顶点共点、对应边平行的条件； 误区 2：坐标系原点位似只算一种坐标，漏掉反向位似的另一组解； 误区 3：作图时不通过位似中心连射线，随意画图形； 误区 4：混淆面积比，计算面积时忘记将位似比平方； 误区 5：位似中心在图形外侧时，不会反向延长射线作反向位似图形； 误区 6：位似比颠倒，原图与新图的距离比值写反。 题型1.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 【跟踪专练1】如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【答案】9 【分析】根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：，与位似， ， ． 的面积为4， ． 【跟踪专练3】平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明△△，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：正方形和正方形是位似图形， ， △△， ， ， 故选：A． 题型2.位似图形的识别 【典例】如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【跟踪专练1】如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． ∴C符合题意． 【跟踪专练2】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【跟踪专练3】从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 题型3.判断位似中心 【典例】在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键． 题型4.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 【跟踪专练1】如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 题型5.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的放大，三角形放大时，各角的度数不变，各边的长度变大，则周长和面积也变大，据此可得答案． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 【跟踪专练2】已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为______． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 __________ ．    【答案】． 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可． 【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3）， ∴点A1的坐标是：， 即A1． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 题型6.求位似图形的对应坐标 【典例】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘以或，结合题目中在第一象限的条件，即可求出对应点坐标． 【详解】解：∵的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内， ∴点的对应点的坐标为，即． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 【跟踪专练2】已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图作轴，轴，根据点坐标可得，，根据相似三角形的判定可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵的横坐标为，平行于轴， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即相似比等于位似比， ∴点是的中点， ∵轴，轴， ∴，而， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，则， ∴． 题型7.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【答案】 【分析】由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，得，然后根据相似三角形的相似比等于位似比可进行求解． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ， 的坐标为，点的坐标为， ， ． 【跟踪专练1】如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形， 若， 四边形和的相似比为， 相似多边形的周长之比等于相似比， 四边形和的周长比为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，则与的面积比为______． 【答案】/ 【分析】先根据对应点坐标求出相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：以原点为位似中心放大得到， ， 点和对应点的坐标分别为， 与的相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为 ． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 题型8.在坐标系中画位似图形 【典例】平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 【跟踪专练1】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 题型9.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为， ． 【跟踪专练1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，求一次函数解析式，根据点B和点E的坐标可得直线即为直线，利用待定系数法求出直线解析式，再根据位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴直线即为直线， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心， ∴点H即为直线和直线的交点， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．， B．， C．，2 D．， 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：D． 题型10.坐标与图形综合 【典例】经过点且与x轴垂直的直线可以表示为_______． 【答案】直线 【分析】根据与x轴垂直的直线，横坐标相等解答即可． 【详解】解：经过点且与x轴垂直的直线可以表示为直线． 【跟踪专练1】如图，平面直角坐标系中，等腰的底边轴．若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，坐标与几何，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三线合一可得，再结合点的坐标求解即可． 【详解】设与轴交于点，如图所示， ∵等腰的底边轴． ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标是． 【跟踪专练2】如图，有一种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域（含正方形边界），其中，，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可知当直线经过时b的值最小，即，当直线过时，b最大，即，则能够求出使黑色区域变白的b的取值范围. 【详解】解：由题意可知当直线经过时b的值最小， 即， 解得； 当直线过时，b最大， 即， 解得， 故能够使黑色区域变白的b的取值范围为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是（     ） A．，为任意实数 B．，为任意实数 C．为任意实数， D．为任意实数， 【答案】A 【分析】四边形是以为边的平行四边形，可知，根据的面积为、，可知边与的距离为，从而可以确定． 【详解】解：四边形是以为边的平行四边形， ， ， 边与的距离为， 点的坐标为， ， 的面积为， 故A选项符合题意； 四边形是以为边的平行四边形， ， ， 边与的距离为， 点的坐标为， ， 的面积为， 故B选项不符合题意； 为任意实数，， 无法确定边上的高， 的面积无法确定， 故C选项不符合题意； 为任意实数，， 无法确定边上的高， 的面积无法确定， 故D选项不符合题意． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1) 所作如图所示： (2)是，如图画出， M的坐标为 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 2．【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形． 【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k． 【实验初探】 （1）如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为_____． 【实验制作】 （2）如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点． ①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H； ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长． 【答案】（1）16（2）①见解析② 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的判定和性质． （1）根据位似图形的性质即可解答； （2）①结合题干中的作法，画出另一个顶点H即可； ②过点A作于点，交于点J，根据相似三角形的性质，得到，列方程即可解答． 【详解】（1）解：点是的中点， 两个图形的相似比为， 笔尖Q点经过的路径长为， 故答案为：； （2）解：如图，取一个格点正方形，以点C为位似中心，连接并延长交于点H，点H即为所求作正方形的一个顶点， （3）解：如图，过点A作于点，交于点J， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴. 设边长为x，则，， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 3．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧作，使它与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为，，； (2)与的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，相似的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：与的相似比为， 与的面积比为， 即与的面积比为． 故答案为：． 5．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09图形的位似暑假预习讲义 · 概念区分：理解位似图形、位似中心、位似比的定义，分清相似图形与位似图形的关系：位似一定相似，相似不一定位似；掌握两个图形成为位似图形必须同时满足的两个条件。 · 识别识图能力：能在图形中快速找出位似中心，判断一组相似图形是否为位似图形；区分位似中心在图形内部、外部、边上、顶点上的不同情况。 · 熟记位似核心性质：掌握位似图形对应点连线经过位似中心、对应边互相平行（或共线）、对应点到位似中心的距离之比等于位似比三条核心性质，会用几何语言描述。 · 平面直角坐标系位似规律：预习坐标系中以原点为位似中心放大 / 缩小图形的坐标变化规律，能根据位似比写出变换后点的坐标，区分同向、反向位似坐标符号差异。 · 作图实操能力：看懂课本位似图形作图步骤，能按指定位似中心、位似比，手动画出原图形的位似图形，规范保留作图辅助线。 · 知识综合串联：联系前面相似多边形、相似三角形知识，梳理位似、相似、全等三者的包含关系；能结合位似比完成线段长度、图形周长、面积计算（周长比 = 位似比，面积比 = 位似比的平方）。 · 辨析易错疑点：自主标记易混淆点：①相似≠位似；②坐标系中位似有两组坐标结果；③作图时对应射线方向容易画反；带着疑问课堂重点突破。 预习必备 知识梳理 1.位似图形相关概念 2.位似图形的性质 3.位似图形的判定方法 4.位似图形的作图步骤 5.平面直角坐标系中的位似 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.位似图形相关概念辨析 2.位似图形的识别 3.判断位似中心 4.求两个位似图形的相似比 5.作已知图形缩放n倍的位似图形 6.求位似图形的对应坐标 7.坐标系位似图形比值计算 8.在坐标系中画位似图形 9.在坐标系中画位似中心 10.坐标与图形综合 强化题型 解答题5题 知识点01：位似图形相关基础概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 两个位似图形的相似比也叫做位似比。 2. 两个必备条件（缺一不可） （1）图形必须相似； （2）所有对应顶点连线交于一点，对应边平行 / 共线。 3. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形（缺少 “对应顶点共点、对应边平行” 条件）； 位似是一种特殊的相似，是具备位置关系的相似。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点02:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点03:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点04:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点05：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点06：本节高频易错点汇总 误区 1：认为 “相似图形就是位似图形”，忽略对应顶点共点、对应边平行的条件； 误区 2：坐标系原点位似只算一种坐标，漏掉反向位似的另一组解； 误区 3：作图时不通过位似中心连射线，随意画图形； 误区 4：混淆面积比，计算面积时忘记将位似比平方； 误区 5：位似中心在图形外侧时，不会反向延长射线作反向位似图形； 误区 6：位似比颠倒，原图与新图的距离比值写反。 题型1.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    【跟踪专练1】如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【跟踪专练2】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【跟踪专练3】平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型2.位似图形的识别 【典例】如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【跟踪专练1】如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 【跟踪专练2】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【跟踪专练3】从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 题型3.判断位似中心 【典例】在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【跟踪专练2】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【跟踪专练3】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 题型4.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型5.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 __________ ．    题型6.求位似图形的对应坐标 【典例】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型7.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【跟踪专练1】如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，则与的面积比为______． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 题型8.在坐标系中画位似图形 【典例】平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【跟踪专练1】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型9.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 【跟踪专练1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．， B．， C．，2 D．， 题型10.坐标与图形综合 【典例】经过点且与x轴垂直的直线可以表示为_______． 【跟踪专练1】如图，平面直角坐标系中，等腰的底边轴．若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，有一种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域（含正方形边界），其中，，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的的取值范围是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是（     ） A．，为任意实数 B．，为任意实数 C．为任意实数， D．为任意实数， 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 2．【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形． 【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k． 【实验初探】 （1）如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为_____． 【实验制作】 （2）如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点． ①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H； ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长． 3．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧作，使它与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为，，； (2)与的面积比为______． 5．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $