专题14平行线的证明暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题14平行线的证明暑假预习讲义 1. 熟记判定定理：掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补推出两直线平行三大判定，能够结合图形进行推理。 2. 掌握性质定理：理解两直线平行，可以推出同位角、内错角相等，同旁内角互补，分清平行线判定与性质的因果关系。 3. 区分性质与判定：明确判定：由角的关系→平行；性质：由平行→角的关系，避免二者推理方向混淆。 4. 规范书写证明：看懂几何推理格式，每一步推导能够标注对应的定理依据，学会简单几何证明的步骤表达。 5. 综合角度计算：结合平行线性质、对顶角、余角补角知识，完成复杂图形中的角度求解与说理。 6. 认识平行公理：掌握平行公理及其推论，会利用推论证明多条直线互相平行。 7. 规避易错点：性质、判定混用；推理缺少条件、凭空下结论；复杂折线型平行线模型不会拆分角度分析。 8. 逻辑素养：建立严谨的几何推理思维，形成“看图—找条件—有理有据推导”的解题习惯，夯实几何证明基础。 预习必备 知识梳理 1.平行线的定义与画法 2.三线八角 3.平行线的判定 4.平行公理 5.平行线的性质 6.平行线证明通用解题步骤 7.几何证明完整书写规范 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同位角相等两直线平行 2.内错角相等两直线平行 3.同旁内角互补两直线平行 4.垂直于同直线的两直线平行 5.平行公理的应用 6.平行公理推论的应用 7.两直线平行同位角相等 8.两直线平行内错角相等 9.两直线平行同旁内角互补 10.平行线判定与性质证明 强化题型 解答题7题 知识点 01 平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线定义的三要素：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 都是直线． 2.表示方法：用 “” 表示平行，直线AB与CD是平行线，记作 “(AB CD)” 或 “(CDAB)”，读作 “AB平行于CD” 或 “CD平行于AB”． 3.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画：沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线． 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 关键提醒：判断三类角只看位置，与角的大小无关；只有两条直线被同一条截线截取，才存在这三类角。 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04.平行公理 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 平行线证明通用解题步骤 1.标记图形：在图中标注已知相等、互补的角，找准截线，区分三类角； 2.明确解题目标 ① 目标：证两直线平行 → 寻找同位 / 内错相等、同旁内角互补，选用判定； ② 目标：求角度、证等角 → 利用已知平行，选用性质； 3.等量过渡：条件不足时，借助对顶角、邻补角做等量代换，搭建推理条件； 4.规范书写：分步书写∵∴，每一步末尾括号标注公理、定理、定义； 5.辅助线规范：需要作平行线辅助线时，必须文字说明，例：过点P作PQAB。 知识点 07 几何证明完整书写规范（阅卷标准） 1.必须成对使用∵（因为）、∴（所以），不可单独写结论； 2.每一步推导后标注对应依据（对顶角相等、平行线判定 / 性质等），不能省略； 3.添加辅助线：文字说明画法，图形用虚线画出； 4.文字类几何命题四步流程：画图→写已知→写求证→完整证明； 5.禁止仅凭肉眼观察图形直接下结论，所有结论必须有角度等量关系支撑。 知识点 08 本章高频易错点 1.遗忘平行线定义的 “同一平面内” 前提； 2.判定、性质因果颠倒，推理依据名称写反，直接扣分； 3.找错截线，误判同位角、内错角、同旁内角； 4.概念混淆：同旁内角是互补（和为 180°），不是相等； 5.无前提直接写 “同位角相等”，缺少 “两直线平行” 条件； 6.作辅助线不写文字说明； 7.证明过程大量跳步，省略等量代换，不标注推理依据； 8.混淆线段平行与直线平行的定义。 题型1.同位角相等两直线平行 【典例】2026年4月25日，“龙牌中国红杯”木工技能大赛在郑州圣达物流园隆重举行．如图是木工师傅常用的用角尺画平行线的方法，其中的原理是（     ） A．垂线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【跟踪专练1】如图，直线a，b被c，d所截，要使直线，需要添加的一个条件为______． 【跟踪专练2】如图，能画出的是__________．（填写序号即可） 【跟踪专练3】下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 题型2.内错角相等两直线平行 【典例】小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 【跟踪专练1】如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图， ，，则_______． 【跟踪专练3】如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3.同旁内角互补两直线平行 【典例】如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有___________．（填序号） 【跟踪专练1】如图，下列能判断的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图所示，在下列四组条件中，能判断的是（     ） A． B． C． D． 题型4.垂直于同直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【跟踪专练1】同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【跟踪专练2】如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【跟踪专练3】在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 题型5.平行公理的应用 【典例】在同一平面内，如果，，那么可得________，其依据是________________． 【跟踪专练1】农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即可．如图2，插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧苗与第①行秧苗也平行．这种做法的依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【跟踪专练2】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【跟踪专练3】下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 题型6.平行公理推论的应用 【典例】若，，则与的位置关系是__． 【跟踪专练1】已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【跟踪专练2】如图，若，平分，平分，，则________． 【跟踪专练3】山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型7.两直线平行同位角相等 【典例】如图，平行线a，b被直线c所截，a与c相交于点O，于点O，，则的度数为__________． 【跟踪专练1】汉字是世界上最古老的文字之一．将“上”字抽象成如图所示的图形，，点C、E分别在、上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，、在上，且点在点的右侧，连接、，，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号为________． 【跟踪专练3】如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 题型8.两直线平行内错角相等 【典例】如图，两条公路经过两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角，第二次拐的角___________． 【跟踪专练1】杆秤是传统的计重工具．杆秤称重物时如图所示，，，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则______． 【跟踪专练3】如图，直线，的平分线交直线于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型9.两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，已知，，则__________度． 【跟踪专练1】如图，直线与直线，分别交于点，，，若，则的度数为________． 【跟踪专练2】图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 __________． 【跟踪专练3】将一张两边互相平行的纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型10.平行线判定与性质证明 【典例】如图所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，则与的数量关系是______； 【跟踪专练1】如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，经测量得，，则与的位置关系是______________________． 【跟踪专练3】如图，A，B，M三点在一条直线上，下列推理过程正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 解答题 1．如图，已知，平分． (1)求证：． (2)求的度数． 2．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 3．已知：如图，，． 求证：． 补全下面的证明过程，括号内填推理的依据． 证明：， ____________________（__________）． ， ____________________（__________）． （           ） 4．推理论证 如图，已知，，D、F为垂足，G是上一点，且．求证：． 5．如图，在中，点D，点F在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 6．如图，，连接，，，交于点E，且平分． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 7．已知：点、、不在同一条直线上，， (1)如图，当，时，求的度数； (2)如图，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14平行线的证明暑假预习讲义 1. 熟记判定定理：掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补推出两直线平行三大判定，能够结合图形进行推理。 2. 掌握性质定理：理解两直线平行，可以推出同位角、内错角相等，同旁内角互补，分清平行线判定与性质的因果关系。 3. 区分性质与判定：明确判定：由角的关系→平行；性质：由平行→角的关系，避免二者推理方向混淆。 4. 规范书写证明：看懂几何推理格式，每一步推导能够标注对应的定理依据，学会简单几何证明的步骤表达。 5. 综合角度计算：结合平行线性质、对顶角、余角补角知识，完成复杂图形中的角度求解与说理。 6. 认识平行公理：掌握平行公理及其推论，会利用推论证明多条直线互相平行。 7. 规避易错点：性质、判定混用；推理缺少条件、凭空下结论；复杂折线型平行线模型不会拆分角度分析。 8. 逻辑素养：建立严谨的几何推理思维，形成“看图—找条件—有理有据推导”的解题习惯，夯实几何证明基础。 预习必备 知识梳理 1.平行线的定义与画法 2.三线八角 3.平行线的判定 4.平行公理 5.平行线的性质 6.平行线证明通用解题步骤 7.几何证明完整书写规范 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同位角相等两直线平行 2.内错角相等两直线平行 3.同旁内角互补两直线平行 4.垂直于同直线的两直线平行 5.平行公理的应用 6.平行公理推论的应用 7.两直线平行同位角相等 8.两直线平行内错角相等 9.两直线平行同旁内角互补 10.平行线判定与性质证明 强化题型 解答题7题 知识点 01 平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线定义的三要素：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 都是直线． 2.表示方法：用 “” 表示平行，直线AB与CD是平行线，记作 “(AB CD)” 或 “(CDAB)”，读作 “AB平行于CD” 或 “CD平行于AB”． 3.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画：沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线． 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 关键提醒：判断三类角只看位置，与角的大小无关；只有两条直线被同一条截线截取，才存在这三类角。 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04.平行公理 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 平行线证明通用解题步骤 1.标记图形：在图中标注已知相等、互补的角，找准截线，区分三类角； 2.明确解题目标 ① 目标：证两直线平行 → 寻找同位 / 内错相等、同旁内角互补，选用判定； ② 目标：求角度、证等角 → 利用已知平行，选用性质； 3.等量过渡：条件不足时，借助对顶角、邻补角做等量代换，搭建推理条件； 4.规范书写：分步书写∵∴，每一步末尾括号标注公理、定理、定义； 5.辅助线规范：需要作平行线辅助线时，必须文字说明，例：过点P作PQAB。 知识点 07 几何证明完整书写规范（阅卷标准） 1.必须成对使用∵（因为）、∴（所以），不可单独写结论； 2.每一步推导后标注对应依据（对顶角相等、平行线判定 / 性质等），不能省略； 3.添加辅助线：文字说明画法，图形用虚线画出； 4.文字类几何命题四步流程：画图→写已知→写求证→完整证明； 5.禁止仅凭肉眼观察图形直接下结论，所有结论必须有角度等量关系支撑。 知识点 08 本章高频易错点 1.遗忘平行线定义的 “同一平面内” 前提； 2.判定、性质因果颠倒，推理依据名称写反，直接扣分； 3.找错截线，误判同位角、内错角、同旁内角； 4.概念混淆：同旁内角是互补（和为 180°），不是相等； 5.无前提直接写 “同位角相等”，缺少 “两直线平行” 条件； 6.作辅助线不写文字说明； 7.证明过程大量跳步，省略等量代换，不标注推理依据； 8.混淆线段平行与直线平行的定义。 题型1.同位角相等两直线平行 【典例】2026年4月25日，“龙牌中国红杯”木工技能大赛在郑州圣达物流园隆重举行．如图是木工师傅常用的用角尺画平行线的方法，其中的原理是（     ） A．垂线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∴， 故其中的原理是同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，直线a，b被c，d所截，要使直线，需要添加的一个条件为______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：可以添加条件：或或（答案不唯一） ∴． 【跟踪专练2】如图，能画出的是__________．（填写序号即可） 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定定理依次分析判断 【详解】解：①由，可得； ②由，可得； ③由，可得； ④由，可得； 【跟踪专练3】下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项，与是直线、被直线所截形成的内错角，由可得，不能得到，故A不符合题意； B项，与不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，无法判定，故B不符合题意； C项，的对顶角与处于同位角的位置，由及对顶角相等可得同位角相等，进而得到，故C符合题意； D项，与是直线和被直线所截形成的同旁内角，由无法判定，故D不符合题意. 题型2.内错角相等两直线平行 【典例】小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】解：根据题意可知，小亮画平行线a，b的作法的依据是内错角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”能判断，故本选项符合题意； B、，根据“内错角相等，两直线平行”能判断，故本选项不符合题意； C、，根据“内错角相等，两直线平行”能判断，故本选项不符合题意； D、，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判断，故本选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图， ，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，由得出，再根据平行线的性质即可得解．解题的关键是掌握：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 题型3.同旁内角互补两直线平行 【典例】如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有___________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 逐一判断条件是否能得到即可． 【详解】解：，，故①不符合题意； ，，故②符合题意； ，得不出任何平行，故③不符合题意； ，，故④符合题意； 故答案为：②④． 【跟踪专练1】如图，下列能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，逐一分析选项即可 【详解】解：选项A：，不符合平行线判定的条件，无法推出，不符合题意； 选项B：，内错角的相等，，符合题意； 选项C：，根据同位角相等，两直线平行，证得，不符合题意； 选项D：，利用对顶角相等可得同旁内角互补，证得，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，，，，则的度数为______． 【答案】110° 【分析】根据平行线的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵EF∥AD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3 ∴DG∥AB， ∴∠BAC+∠AGD=180°， ∴∠AGD=110° 故答案为：110°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型． 【跟踪专练3】如图所示，在下列四组条件中，能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线判定定理逐项判断即可． 【详解】解：选项A，，可得，但不能得到，故选项A不符合题意； 选项B，，可得，但不能得到，故选项B不符合题意； 选项C，，可得，但不能得到，故选项C不符合题意； 选项D，，由内错角相等两直线平行，可得，故选项D符合题意． 题型4.垂直于同直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”解答即可得． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 【跟踪专练1】同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此可得答案． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【详解】解：∵， ∴当补充时，即可得出． 【跟踪专练3】在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 题型5.平行公理的应用 【典例】在同一平面内，如果，，那么可得________，其依据是________________． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】两条直线都平行于同一条直线，据此推出两条直线的位置关系，再写出对应理论依据即可． 【详解】解：∵，， ∴，其依据是：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【跟踪专练1】农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即可．如图2，插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧苗与第①行秧苗也平行．这种做法的依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：这种做法的依据是平行于同一条直线的两条直线平行． 【跟踪专练2】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【跟踪专练3】下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】需注意“同一平面内”的前提及平行公理中点的位置，逐一判断各说法． 【详解】解：（1）（5）均未限定“同一平面内”的前提，表述错误； （2）同一平面内，平行直线没有交点，表述错误； （3）只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，表述错误； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行，表述正确； 综上，正确的说法共个． 题型6.平行公理推论的应用 【典例】若，，则与的位置关系是__． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 【跟踪专练1】已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，若，平分，平分，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ， ∴，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【跟踪专练3】山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 题型7.两直线平行同位角相等 【典例】如图，平行线a，b被直线c所截，a与c相交于点O，于点O，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求出相关角的度数，再根据垂直的定义，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，设直线上方、直线右侧的角为 ， ， ． 【跟踪专练1】汉字是世界上最古老的文字之一．将“上”字抽象成如图所示的图形，，点C、E分别在、上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，、在上，且点在点的右侧，连接、，，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号为________． 【答案】①②/②① 【分析】对于①和②，利用平行线的性质即可判断；对于③，由平分，平分，再作差即可判断． 【详解】解：设， ∵， ∴，，故①正确， ∵， ∴平分，故②正确， ∵， 又∵为的平分线， ∴， ∴，故③错误， 综上，正确的结论为①②． 【跟踪专练3】如图，直线，直线交于点，交于点，过点的直线交于点．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用两直线平行同旁内角互补，结合题意得到，再通过平角定义求出，最后依据平行线性质推出的度数． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型8.两直线平行内错角相等 【典例】如图，两条公路经过两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角，第二次拐的角___________． 【答案】 【分析】根据题意“和原来的方向相同”可得，再根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解： 公路经过两次拐弯后和原来的方向相同，即． （两直线平行，内错角相等）． ， ． 【跟踪专练1】杆秤是传统的计重工具．杆秤称重物时如图所示，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． 【跟踪专练2】把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则______． 【答案】/98度 【分析】利用长方形对边平行的性质，结合折叠的角度相等关系，先求出的度数，再通过平行线性质得到的度数． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ， ， ∵， ∴， 【跟踪专练3】如图，直线，的平分线交直线于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义求出的度数，再利用邻补角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 题型9.两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，已知，，则__________度． 【答案】 【详解】， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，直线与直线，分别交于点，，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 【跟踪专练2】图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 __________． 【答案】/度 【分析】首先利用对顶角相等求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴． 【跟踪专练3】将一张两边互相平行的纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据平行线的性质得，再还原纸条可得，进而求得． 【详解】解：如图，设， ∵纸条两边互相平行， ∴， 如图，还原该纸条， 可得， 解得， ∴， 题型10.平行线判定与性质证明 【典例】如图所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，则与的数量关系是______； 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点向右作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，然后根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：过点向右作， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意得，，所以四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【跟踪专练2】如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，经测量得，，则与的位置关系是______________________． 【答案】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行证明，利用平行线的性质求出的度数，再结合已知的度数，利用内错角相等判定． 【详解】解：，平台边框和均与支架垂直， ， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，A，B，M三点在一条直线上，下列推理过程正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】B 【分析】根据平行线的判定及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以，不能判定，故本选项错误； B、因为，所以，故本选项正确； C、因为，所以，无法得到，故本选项错误； D、因为，所以，无法得到，故本选项错误． 解答题 1．如图，已知，平分． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据对顶角相等及同位角相等，两直线平行即可得证； （2）根据角平分线及平角的定义得，再根据两直线平行，内错角相等可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等式的性质可得出，然后根据证明； （2）根据（1）中得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 3．已知：如图，，． 求证：． 补全下面的证明过程，括号内填推理的依据． 证明：， ____________________（__________）． ， ____________________（__________）． （           ） 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【分析】根据同旁内角互补证，再根据同位角相等证，最后利用平行的传递性推出，并填写每一步对应的推理依据． 【详解】证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 4．推理论证 如图，已知，，D、F为垂足，G是上一点，且．求证：． 【答案】证明：，， ，                      ，                                              ， ，                          ，                                                    ． 【分析】根据垂直得出平行线，然后利用平行线的判定和性质进行证明． 【详解】证明：略． 5．如图，在中，点D，点F在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先根据两直线平行，同旁内角互补以及同角的补角相等，推出，从而证明，即可得证； （2）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可得， ∴． 6．如图，，连接，，，交于点E，且平分． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵平分， ， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先根据角平分线定义得到，再由两直线平行内错角相等得到，等量代换即可证明两角相等； （2）先由垂直定义求出，算出的度数，再利用两直线平行同旁内角互补求出，接着结合角平分线算出，最后结合（1）的结论等量代换得到的度数． 【详解】（1）略． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．已知：点、、不在同一条直线上，， (1)如图，当，时，求的度数； (2)如图，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理推论得，继而得到，最后得到，再代入数据可得答案； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理推论推出，根据角平分线的定义得，，继而得到，再结合（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别为、的平分线所在直线， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $