专题13证明的必要性与基本认识暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题13证明的必要性与基本认识暑假预习讲义 1. 认知必要性：感受观察、实验、直觉、特例存在局限性，理解仅仅依靠直观判断不可靠，体会逻辑证明的重要意义。 2. 概念区分：了解命题组成，分清命题的条件与结论；能够辨别真命题、假命题，明白举出反例即可证明一个命题是假命题。 3. 术语识记：理解公理、定理、定义、证明等基础概念，理清四者之间联系与区别。 4. 证明规范：初步认识几何证明的基本格式，学会有理有据进行推理，每一步推导能够写出对应的依据。 5. 简单推理：能够完成简单代数、几何情境下的推理论证，规范书写推理过程。 6. 反例运用：根据命题内容，自主构造合适反例，推翻错误结论。 7. 易错规避：仅凭视觉、经验直接下结论；推理步骤缺少依据；混淆条件和结论；不会构造反例。 8. 核心素养：初步建立严谨的逻辑推理意识，摆脱直观猜想的思维习惯，为后续几何证明大题打好基础。 预习必备 知识梳理 1.五种不可靠的推理方式 2.反例的核心作用 3.核心基础概念 4.命题 5.公理.定理.证明 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.观察与试验 2.归纳与类比 3.猜想与证明 4.命题的识别 5.写出命题的题设与结论 6.判断命题真假 7.举例说明假(真)命题 8.举反例 9.定理与证明 10.写出命题已知.求证及证明过程 11.代数与几何背景下的推理论证 12.逻辑推论与论证 强化题型 解答题7题 知识点 01 五种不可靠的推理方式（易错直观误区） 依靠观察、测量、经验、特例、猜想得出的结论不一定正确，不能作为数学严谨依据，分五类： 1.直观观察（视觉误差） 肉眼观察图形长短、曲直、平行容易产生视觉错觉，眼见不一定为实。 例：等长线段画不同方向，看起来一长一短。 2.度量测量（工具误差） 直尺、量角器有精度限制，测量存在微小误差，无法精准证明普遍结论。 3.有限特例归纳（不完全归纳） 只举几个例子成立，不能说明所有情况都成立。 例：几个质数是奇数，不能推出所有质数都是奇数（2 是反例）。 4.个人经验、直觉判断 主观感受不具备数学严谨性，容易受生活常识干扰。 5.猜想假设无推导 凭空猜测，没有逻辑推导支撑，结论可能存在反例。 知识点 02 反例的核心作用 1.反例定义：满足命题条件，但不满足命题结论的例子。 2.唯一功能：只需举出 1 个反例，就能直接证明一个命题是假命题。 3.区分： 证明命题为真：必须严谨逻辑推理； 证明命题为假：只需1 个反例。 知识点03:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点04:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点05:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点 06 几何证明标准书写格式（固定模板） 1.已知：题目给出的全部条件； 2.求证：题目需要证明的结论； 3.证明：分步书写推理过程，每一步后括号标注推理依据（公理 / 定理 / 定义 / 等量代换）。 书写规范要求 1 推理每一步必须有理有据，不能跳关键步骤； 2 禁止只看图凭直观写结论； 3 等量、等角转换标注 “等量代换”； 4 平行、垂直判定标注对应判定定理。 知识点 07常用基础推理依据汇总 · 定义类：角平分线定义、垂直定义、中点定义、平行线定义； · 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； · 等式性质：等式两边同时加 / 减 / 乘 / 除同一个数，等式仍成立； · 不等式性质（少量证明用到）； · 公理、平行线判定 / 性质、三角形相关定理。 知识点08：高频易错点 1.混淆命题：疑问句、作图指令误判为命题； 2.改写命题 “如果那么” 时，拆分条件、结论出错； 3.证明跳步，不写每一步推理依据； 4.依靠视觉、度量代替逻辑推理； 5.认为举多个例子就能证明命题为真（只有反例可证假命题）； 6.公理、定理、定义混用，依据写错； 7.文字命题不画图、不写已知求证直接证明。 题型1.观察与试验 【典例】睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【跟踪专练1】一个由不同数字组成的六位数含有数字2和7．将数字2和7的位置交换，得到的新六位数恰好是原六位数的3倍，那么原六位数是_______． 【跟踪专练2】生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【跟踪专练2】用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 题型2.归纳与类比 【典例】哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 【跟踪专练1】数形结合是一种广泛适用的解决问题的策略，学习过程中，下面用到数形结合的方法的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ 【跟踪专练2】请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 【跟踪专练3】图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 题型3.猜想与证明 【典例】检验数学结论是否正确的常用方法有________、________和________． 【跟踪专练1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【跟踪专练2】南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【跟踪专练3】数学课上，老师给同学们布置了一个探究任务： 第一组数据 ； ； ； ； ； 第二组数据 ； ； ； ； ； 第三组数据 ； ； ； ； ． 请你观察各组数据的特征，算一算，结合三组数据的变化规律，提出一个合理的猜想：________ 4.命题的识别 【典例】判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【跟踪专练1】下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【跟踪专练2】下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 题型5.写出命题的题设与结论 【典例】命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【跟踪专练1】把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【跟踪专练2】命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【跟踪专练3】小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是(    ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 题型6.判断命题真假 【典例】下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 【跟踪专练1】命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 【跟踪专练2】下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 题型7.举例说明假(真)命题 【典例】说明命题“若，则”是假命题，写出一个的值，它可以是______． 【跟踪专练1】要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 【跟踪专练3】对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型8.举反例 【典例】写出能说明命题“若，则．”是假命题的实数a的一个值是_______． 【跟踪专练1】对于命题“如果，那么”能说明该命题为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【跟踪专练3】已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 题型9.定理与证明 【典例】下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【跟踪专练1】下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 题型10.写出命题已知.求证及证明过程 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【跟踪专练2】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 题型11.代数与几何背景下的推理论证 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【跟踪专练1】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【跟踪专练2】“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 题型12.逻辑推论与论证 【典例】校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【跟踪专练1】A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17    乙：4    丙：12    丁：9    戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 【跟踪专练3】如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 解答题 1．同学们，大家一定很熟悉月历吧！如图：是某月的月历． (1)带阴影的方框中的4个数，对角两数之和有什么关系？ (2)不改变阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 2．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 3．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 4．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 5．命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 6．已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 7．某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13证明的必要性与基本认识暑假预习讲义 1. 认知必要性：感受观察、实验、直觉、特例存在局限性，理解仅仅依靠直观判断不可靠，体会逻辑证明的重要意义。 2. 概念区分：了解命题组成，分清命题的条件与结论；能够辨别真命题、假命题，明白举出反例即可证明一个命题是假命题。 3. 术语识记：理解公理、定理、定义、证明等基础概念，理清四者之间联系与区别。 4. 证明规范：初步认识几何证明的基本格式，学会有理有据进行推理，每一步推导能够写出对应的依据。 5. 简单推理：能够完成简单代数、几何情境下的推理论证，规范书写推理过程。 6. 反例运用：根据命题内容，自主构造合适反例，推翻错误结论。 7. 易错规避：仅凭视觉、经验直接下结论；推理步骤缺少依据；混淆条件和结论；不会构造反例。 8. 核心素养：初步建立严谨的逻辑推理意识，摆脱直观猜想的思维习惯，为后续几何证明大题打好基础。 预习必备 知识梳理 1.五种不可靠的推理方式 2.反例的核心作用 3.核心基础概念 4.命题 5.公理.定理.证明 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.观察与试验 2.归纳与类比 3.猜想与证明 4.命题的识别 5.写出命题的题设与结论 6.判断命题真假 7.举例说明假(真)命题 8.举反例 9.定理与证明 10.写出命题已知.求证及证明过程 11.代数与几何背景下的推理论证 12.逻辑推论与论证 强化题型 解答题7题 知识点 01 五种不可靠的推理方式（易错直观误区） 依靠观察、测量、经验、特例、猜想得出的结论不一定正确，不能作为数学严谨依据，分五类： 1.直观观察（视觉误差） 肉眼观察图形长短、曲直、平行容易产生视觉错觉，眼见不一定为实。 例：等长线段画不同方向，看起来一长一短。 2.度量测量（工具误差） 直尺、量角器有精度限制，测量存在微小误差，无法精准证明普遍结论。 3.有限特例归纳（不完全归纳） 只举几个例子成立，不能说明所有情况都成立。 例：几个质数是奇数，不能推出所有质数都是奇数（2 是反例）。 4.个人经验、直觉判断 主观感受不具备数学严谨性，容易受生活常识干扰。 5.猜想假设无推导 凭空猜测，没有逻辑推导支撑，结论可能存在反例。 知识点 02 反例的核心作用 1.反例定义：满足命题条件，但不满足命题结论的例子。 2.唯一功能：只需举出 1 个反例，就能直接证明一个命题是假命题。 3.区分： 证明命题为真：必须严谨逻辑推理； 证明命题为假：只需1 个反例。 知识点03:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点04:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点05:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点 06 几何证明标准书写格式（固定模板） 1.已知：题目给出的全部条件； 2.求证：题目需要证明的结论； 3.证明：分步书写推理过程，每一步后括号标注推理依据（公理 / 定理 / 定义 / 等量代换）。 书写规范要求 1 推理每一步必须有理有据，不能跳关键步骤； 2 禁止只看图凭直观写结论； 3 等量、等角转换标注 “等量代换”； 4 平行、垂直判定标注对应判定定理。 知识点 07常用基础推理依据汇总 · 定义类：角平分线定义、垂直定义、中点定义、平行线定义； · 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； · 等式性质：等式两边同时加 / 减 / 乘 / 除同一个数，等式仍成立； · 不等式性质（少量证明用到）； · 公理、平行线判定 / 性质、三角形相关定理。 知识点08：高频易错点 1.混淆命题：疑问句、作图指令误判为命题； 2.改写命题 “如果那么” 时，拆分条件、结论出错； 3.证明跳步，不写每一步推理依据； 4.依靠视觉、度量代替逻辑推理； 5.认为举多个例子就能证明命题为真（只有反例可证假命题）； 6.公理、定理、定义混用，依据写错； 7.文字命题不画图、不写已知求证直接证明。 题型1.观察与试验 【典例】睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】本题考查日期的计算，解题的关键思路是分别计算出去年和今年睡鼠冬眠的天数，然后将二者相加，即可求解． 【详解】解：去年10月共有31天，睡鼠从10月21日开始冬眠， ∴10月冬眠的天数为（天）． 11月有30天，12月有31天， ∴去年冬眠的总天数为（天）． 今年1月有31天， ∵， ∴是闰年，闰年2月有29天， 3月有31天，4月睡鼠到3日才出冬眠， ∴4月冬眠了2天， 那么今年冬眠的总天数为（天）， 将去年和今年冬眠的天数相加，可得（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 【跟踪专练1】一个由不同数字组成的六位数含有数字2和7．将数字2和7的位置交换，得到的新六位数恰好是原六位数的3倍，那么原六位数是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是位值原则的应用，熟练掌握位值原则是解题的关键． 根据位值原则，找出符合要求的新六位数，然后找出原来六位数． 【详解】解：设原六位数为N，则新六位数为， ∴，即 根据题意可知，原六位数N的首位数字只能是1或2， 若首位为1，则的首位为3或4，与题中“交换2和7”条件不符， ∴原六位数N的首位必为2， 则交换后的首位为7， ∵2在最高位，则设7在较低位，为位，且， 又∵， ∴， 解得， ∵N为整数， ∴必须为偶数，故， ∴j的所有可能取值为1，2，3，4， ∵要求各数字不同， ∴可知，当时，， 经检验，j取1，3，4时会导致数字重复， 综上，该六位数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 【跟踪专练2】用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 题型2.归纳与类比 【典例】哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 【答案】 质数 【分析】本题考查归纳与类比． 根据题干通过多个偶数分解为两个质数之和的例子，即可归纳出哥德巴赫猜想的内容． 【详解】解：根据题干所给例子，如，，，，，，，，，， 这些偶数均被分解为两个质数的和， ∴“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和． 故答案为：质数． 【跟踪专练1】数形结合是一种广泛适用的解决问题的策略，学习过程中，下面用到数形结合的方法的是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ 【答案】C 【分析】根据数形结合思想的意义解答即可． 本题考查了数形结合思想，熟练掌握思想的实质是解题的关键． 【详解】解：①只有数，没有形，不符合题意；②只有形，没有数，不符合题意；③④都体现了数形结合思想， 故选：C． 【跟踪专练2】请用“归纳”策略解答问题： 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪10刀，绳子变为________段． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列代数式的相关知识，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，根据图形，找出规律，每剪1次，绳子数量增加4段，依此规律，将代入其中求值即可． 【详解】解：因为剪开次数（刀）为1，则绳子数量（段）为5， 剪开次数（刀）为2，则绳子数量（段）为9， 所以每剪1次，绳子数量增加4段， 所以剪开次数（刀）为3，则绳子数量（段）为， 剪开次数（刀）为4，则绳子数量（段）为， ， 所以剪开次数（刀）为，则绳子数量（段）为， 当时，， 故答案为：． 【跟踪专练3】图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查杨辉三角的递推规律，能根据项的指数确定其位置是解题关键． 先确定对应杨辉三角第行，为从左向右第项，再根据递推规律，用第行第个数的系数与第个数的系数相加求出项的系数． 【详解】解：根据图可知，“杨辉三角”的规律为： 每行首尾都是，中间每个数等于它上方左右两个数的和， 第六行的数，从左到右的系数分别为： 根据图可知，第行第个数的系数为，第个数的系数为， 对应“杨辉三角”第行，展开式中对应第行的第项， 的系数等于第行第个数的系数与第个数的系数之和：． 故选：． 题型3.猜想与证明 【典例】检验数学结论是否正确的常用方法有________、________和________． 【答案】 实验验证 举出反例 推理论证 【分析】此题考查了检验数学结论是否正确的常用方法，根据检验数学结论是否正确的常用方法有实验验证，举出反例，推理论证求解即可． 【详解】检验数学结论是否正确的常用方法有实验验证，举出反例，推理论证． 故答案为：实验验证，举出反例，推理论证． 【跟踪专练1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【详解】解：通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【跟踪专练2】南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 【跟踪专练3】数学课上，老师给同学们布置了一个探究任务： 第一组数据 ； ； ； ； ； 第二组数据 ； ； ； ； ； 第三组数据 ； ； ； ； ． 请你观察各组数据的特征，算一算，结合三组数据的变化规律，提出一个合理的猜想：________ 【答案】当两数和相等时，两数的差越小，其乘积越大 【分析】分别根据加减乘法计算三组数据，进而找到规律，提出猜想即可 【详解】解：计算如下表， 第一组数据 =10； =10； =10； =10； =10； 第二组数据 =8； =6； =4； =2； =0； 第三组数据 =9； =16； =21； =24； =25． 猜想，当两数和相等时，两数的差越小，其乘积越大，（两数的差越大，其乘积越小） 故答案为：当两数和相等时，两数的差越小，其乘积越大 【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘法运算，解题的关键是根据运算结果找到规律． 4.命题的识别 【典例】判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 【跟踪专练1】下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 【跟踪专练2】下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 题型5.写出命题的题设与结论 【典例】命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 【跟踪专练1】把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【跟踪专练2】命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 【跟踪专练3】小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是(    ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的小数部分，平方运算，反例的举法，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，小数部分为精确值，∴第（1）题错误． ∵命题“同位角相等”的形式为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，条件确是“两个角是同位角”，∴第（2）题正确． ∵，则，∴第（3）题正确． ∵命题“是负数”不是总成立，当时，不是负数，反例正确，∴第（4）题正确． ∴共答对题，得分分． 故选：C． 题型6.判断命题真假 【典例】下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】通过举反例的方法来判断命题的真假即可． 【详解】解： A、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行， ，，，本命题是真命题； B、举反例：两个位置不相对的直角，角度相等但不是对顶角，因此本命题是假命题； C、举反例：，，满足，但，，因此本命题是假命题； D、举反例：和都是锐角，和为仍是锐角，不是钝角，因此本命题是假命题． 【跟踪专练1】命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】运用有理数乘方的知识，通过举反例即可判断该命题的真假． 【详解】解：取，计算得，满足的条件， 但此时，不满足的结论， 因此原命题是假命题． 【跟踪专练2】下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】根据对顶角、同位角的概念，垂线段最短，两点之间线段最短的性质进行判断． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，可能是同位角，也可能是内错角等其他位置关系，该命题是假命题，故A选项不符合题意； B、只有当两直线平行时，同位角才相等，该命题是假命题，故B选项不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题表述不严谨，该命题是假命题，故C选项不符合题意； D、两点之间线段最短，是真命题，故D选项符合题意． 题型7.举例说明假(真)命题 【典例】说明命题“若，则”是假命题，写出一个的值，它可以是______． 【答案】（答案不唯一，任意小于的数均可） 【详解】解：时，，而， 则命题“若，则”是假命题， 故的值可以是（答案不唯一，任意小于的数均可）． 【跟踪专练1】要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 【跟踪专练2】可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，即找到一个正数，使它的算术平方根不大于它的立方根． 【详解】解：当时，的算术平方根为，的立方根为，此时的算术平方根等于它的立方根，不满足原命题的结论，因此可以说明原命题是假命题．故这个值可以是． 【跟踪专练3】对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 题型8.举反例 【典例】写出能说明命题“若，则．”是假命题的实数a的一个值是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足，不满足的实数即可． 【详解】解：命题“若，则”是假命题，即存在满足，且； 由可得或， 因此只要取中的任意实数即可，例如取． 故实数a的一个值可以为（答案不唯一）． 【跟踪专练1】对于命题“如果，那么”能说明该命题为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假判断，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，找出符合要求的选项即可，解题关键是掌握分式有意义的条件与不等式的计算. 【详解】解：A.时，无意义，不符合要求，故排除； B.，，满足，且，满足命题结论，不能作为反例，故排除； C.，，，不满足的条件，不符合要求，故排除； D.，，满足，且，，此时，即，不满足命题的结论，符合反例要求. 【跟踪专练2】举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 【跟踪专练3】已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 【答案】D 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】解：A、16是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； B、15不是偶数，也不是8的倍数，既不满足命题的题设，也不满足结论，故不能作为反例，不符合题意； C、24是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； D、42是偶数，但42不是8的倍数，满足命题的题设，但不满足命题的结论，故能作为反例，符合题意． 故选：D． 题型9.定理与证明 【典例】下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 【跟踪专练1】下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据定理的含义可知只有④是定理. 【详解】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理. 故选A. 【点睛】本题考查了定理的含义，演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 【跟踪专练2】有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 题型10.写出命题已知.求证及证明过程 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【跟踪专练2】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 题型11.代数与几何背景下的推理论证 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 【跟踪专练1】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 【跟踪专练2】“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 题型12.逻辑推论与论证 【典例】校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【答案】小振 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 【跟踪专练1】A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查代数推理，根据单循环赛制，每人最多赛5盘．通过逐步分析各选手的对阵情况，确定F的已赛场数． 【详解】1．A赛过5盘，在6人单循环赛中，说明A与其余所有人（B、C、D、E、F）都赛了一盘． 2．E赛过1盘，由第1点可知，E的这一盘对手必然是A．因此，E没有与B、C、D、F比赛． 3．B赛过4盘，已知B与A赛过一盘，且B没有与E比赛，所以B的另外三盘是与C、D、F赛的． 4．D赛过2盘，已知D与A赛过一盘，且D没有与E比赛．由第3点可知，B与D赛过一盘，因此D的2盘对手分别是A和B． 5．C赛过3盘，已知C与A赛过（由第1点），与B赛过（由第3点），且C没有与E、D比赛（由第2、4点），因此C的第三盘对手是F． 综上，F的对手有：A（来自第1点）、B（来自第3点）、C（来自第5点）．所以F一共赛了3盘． 故选：C． 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17    乙：4    丙：12    丁：9    戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 【答案】72 【分析】先确定乙的两张卡片上的数字为，根据甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，得到甲同学手里两张卡片上的数字组合只能是或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，两个不同的正整数的和为4的只有， 故乙手中的两张卡片数字为和， ∵， ∴甲手中的两张卡片上的数字只有8和9或10和7两种情况， 当甲手中的两张卡片上的数字为8和9时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，7，10， 其中和为13的只有和，故戊手中的两张卡片上的数字为和； 和为12的为10和2，和为9的为4和5，即丙手中的两张卡片上的数字为10和2，丁手中的两张卡片上的数字为4和5，符合题意； 故甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为； 当甲手中的两张卡片上的数字为10和7时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，8，9， 其中和为12的只有4和8，和为9的只有4和5， 数字4只有一张，不符合题意； 综上：甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为． 【跟踪专练3】如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 【答案】D 【分析】题目要求确定在45名学生中，“潜力之星”的最大可能人数．根据定义，若某学生不亚于其他44人（即其语文或英语至少有一门高于对方），则该学生为“潜力之星”．通过构造两组学生，分别以语文和英语成绩为主导，确保每组学生在各自优势科目上高于另一组，且组内学生互相满足不亚于的条件，即可实现所有学生均为“潜力之星”． 【详解】1. 分组构造：将学生分为语文组和英语组， - 语文组：每个学生的语文成绩均高于英语组所有学生的语文成绩，且组内语文成绩递减，英语成绩递增， - 英语组：每个学生的英语成绩均高于语文组所有学生的英语成绩，且组内英语成绩递减，语文成绩递增； 2. 组间关系：    - 语文组学生在语文科目上高于所有英语组学生，因此语文组学生不亚于英语组学生，    - 英语组学生在英语科目上高于所有语文组学生，因此英语组学生不亚于语文组学生； 3. 组内关系：    - 语文组内，学生甲的语文成绩高于学生乙，则甲不亚于乙；乙的英语成绩高于甲，则乙也不亚于甲，    - 英语组内同理，学生间通过语文或英语成绩互相不亚于对方； 4. 结论：通过合理分配语文组和英语组人数（如22人和23人），所有45名学生均可满足“不亚于其他44人”的条件，因此“潜力之星”最多可能有45人． 故选：D． 解答题 1．同学们，大家一定很熟悉月历吧！如图：是某月的月历． (1)带阴影的方框中的4个数，对角两数之和有什么关系？ (2)不改变阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】(1)对角两数之和相等 (2)移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等。证明见解析 【分析】本题考查了月历中数字的排列规律及用字母表示数的运算，解题的关键是通过观察月历中相邻数字的关系（横向差1，纵向差 7），用字母表示方框中的数，进而通过整式运算验证规律． （1）计算阴影方框中两组对角数字的和，对比结果得出关系； （2）移动方框后重复计算，猜想结论；设方框中左上角数字为字母，分别表示出其他三个数，通过整式运算证明对角之和相等． 【详解】（1）解：以阴影方框 、、、 为例， 对角两数之和分别为：，； 以阴影方框 、、、 为例， 对角两数之和分别为：，． 答：带阴影的方框中，对角两数之和相等． （2）解：结论：不改变方框大小，移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等． 证明：设方框中左上角的数为 ∵月历中同一行相邻两数相差1，同一列相邻两数相差7， ∴方框中其他三个数分别为（右上角）、（左下角）、（右下角）． 则左上角与右下角两数之和为： 右上角与左下角两数之和为：． ∵ ∴方框中对角两数之和相等． 答：移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等． 2．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 3．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】(1)数对是异差数对． (2)见解析． (3)该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 4．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一） (2)是有理数，但不是正数（答案不唯一） (3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题． 所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍； （2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题． 所以反例为：是有理数，但不是正数； （3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题． 所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角． 5．命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 【答案】和分别平分和，，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由可证，进而得出，可证． 【详解】已知：如图，，和分别平分和， 求证：． 证明：， ． 分别是和的角平分线， ， ． 在和中， ， ， ． 故答案为：和分别平分和，. 6．已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【答案】 【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为：． 7．某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 【答案】9个 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理与论证，假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾，则老实人最多有9人，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，那么只要满足第k个人报的数只要大于k且小于，就可推出第k个人没有说谎，据此可得答案． 【详解】解：假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾， ∴老实人最多有9人， 理由如下：在第一轮报数中，前面9个人都是老实人，最后一人为骗子，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，故第k个人报的数只要大于k且小于，那么他们就没有说谎，而最后一人说谎； 综上所述，这些人中最多有9个老实人 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $