专题12数据的分析暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题12数据的分析暑假预习讲义 1. 平均数计算：掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，理解“权”的含义，能结合评分、统计场景求解加权平均数。 2. 集中趋势统计量：熟练求解一组数据的中位数、众数；明确计算中位数需要先排序，知晓众数可以不唯一。 3. 统计量辨析：区分平均数、中位数、众数的特点，了解平均数易受极端值影响，能够根据实际情境选取合适统计量描述数据集中趋势。 4. 离散程度认知：理解方差的意义，熟记方差计算公式；掌握规律：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据越稳定。 5. 方差变化规律：了解一组数据同加、同减常数后方差不变的性质，会利用性质简化运算。 6. 图表数据分析：能从表格、条形统计图中提取数据，计算平均数、中位数、众数与方差。 7. 统计简单应用：依托统计结果进行评判、方案选择，利用样本统计量简单估计总体特征。 8. 规避高频易错点：求中位数忘记排序；混淆加权平均数与算术平均数；误判方差大小与稳定性的关系；找众数错统计数据出现次数。 9. 核心素养：建立数据分析观念，学会用统计量定量描述数据特征，感受统计知识在生活中的应用价值。 预习必备 知识梳理 1.平均数 2.中位数 3.众数 4.极差 5.方差 6.标准差 常考题型 精讲精练 1.求众数 2.用众数求未知数据的值 3.运用众数做决策 4.求一组数据的平均数 5.由平均数求未知数据的值 6.由平均数求新数据的平均数 7.利用平均数做决策 8.求加权平均数 9.由加权平均数求未知数据的值 10加权平均数做决策 11.求方差 12.利用方差求未知数据的值 13.由方差判断稳定性 14.运用方差做决策 15.求标准差 16.求离差平方和 17.离差平方和应用 18.样本平均数估计总体平均数 19.求中位数 20.中位数求未知数据的值 21.用中位数做决策 22.求四分位数与画箱线图 强化题型 解答题10题 知识点01:平均数 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据的总个数，所得结果即为算术平均数。 公式 设有n个数据x1,x2,....,xn，则 =​ 特点：用到全部数据信息，易受极端值影响。 2. 加权平均数 定义：实际问题中各数据重要程度不同，用权表示数据的重要性，结合权计算得到的平均数叫做加权平均数。 权的形式：整数、比值、百分数。 公式 数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 特点：权越大，对应数据对结果影响越大，同样易受极端值影响。 补充：算术平均数是加权平均数的特殊形式（所有数据的权相等）。 3.核心区分表格 类型 特点 计算公式 典型考题 算术平均数 所有数据权重相等 总和 ÷ 个数 简单一组数据求平均 加权平均数 各数据权重不同 加权总和 ÷ 权重和 考试评分、商品单价、分层统计 易错点 权重和不能漏除；权重为比例时，可直接用比例代替总数计算。 4.组中值加权平均数（频数分布表专用） 分组统计无原始数据时，每组中间数值为组中值，本组频数作为权重，计算整组平均数。 步骤：①求每组组中值；②组中值 × 本组频数；③全部相加 ÷ 总频数。 知识点 02 中位数 1. 定义 将一组数据从小到大（或从大到小）有序排列后，位于正中间的数值。 2. 分两类计算规则 数据总个数n 中位数计算方法 举例 n为奇数 排序后第个数据 7 个数，中位数是第 4 个 n为偶数 排序后中间两个数据的算术平均数 6 个数，中位数 = 第 3、4 个数的平均值 3. 核心特点 （1）只和数据中间位置有关，不受极端偏大、偏小值影响； （2）一组数据中位数唯一； （3）反映数据中间水平，适合存在极端值的统计场景（工资、房价）。 知识点 03 众数 1. 定义 一组数据中出现次数最多的数据。 2. 三种情况 只有一个数据出现次数最多：唯一众数； 两个数据出现次数并列最多：两个众数； 所有数据出现次数相同：无众数。 3. 核心特点 （1）反映数据中最普遍、最常见的数值； （2）不唯一，不受极端值影响； （3）多用于销售、尺码、投票类统计（服装尺码、商品销量）。 4. 集中趋势三统计量对比表 统计量 计算方法 受极端值影响 个数唯一性 适用场景 算术平均数 全部数据求和除以个数 影响很大 唯一 数据分布均匀、无极端值 中位数 排序取中间数 无影响 唯一 存在极端数据（薪资、房价） 众数 统计出现最多的数 无影响 可 1 个 / 多个 / 无 商品尺码、大众偏好统计 知识点 04 极差（波动最简单指标） 1. 定义 一组数据中最大值减去最小值，描述数据波动范围。 2.公式 极差=最大值-最小值 3.特点 （1）计算最简单； （2）仅用到首尾两个数据，无法反映中间数据波动； （3）受极端值影响极大，只能粗略判断波动大小。 知识点05：方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 知识点 06 标准差 1. 定义 方差的算术平方根，单位和原始数据一致（方差单位是平方，无实际意义）。 2.公式 3.作用 方差只能对比大小，标准差带原始单位，可直接描述数据波动幅度。 4.离散程度三指标对比表 指标 计算难度 能否体现全部数据 受极端值影响 核心用途 极差 最简单 仅看最大最小 极大 粗略判断波动区间 方差 中等 用到全部数据 较小 比较两组数据稳定性 标准差 中等（方差开方） 用到全部数据 较小 结合实际单位描述波动 知识点 07 统计图表与数据分析结合 1. 条形统计图 读取每组数据频数，可计算平均数、中位数、众数。 2. 折线统计图 观察数据变化趋势，同时可计算波动（方差、极差）判断稳定性。 3. 扇形统计图 仅提供各部分占比，需结合总数量才能求出具体数据，计算加权平均数。 4. 频数分布直方图 用组中值计算整组加权平均数，通过区间判断中位数所在分组。 知识点 08 数据分析实际决策解题步骤 1.审题：明确需求（看平均水平 / 中间水平 / 稳定性）； 2.计算对应统计量（平均数、中位数、众数、方差）； 3.对比数据特征，写出结论： 4.比平均成绩：用平均数； 5.存在极端高分低分：用中位数； 6.选大众偏好尺码：用众数； 7.判断发挥稳定：对比方差，方差小更稳定。 知识点 09 本章高频易错点 1.加权平均数计算时，漏除权重总和； 2.求中位数前忘记排序，直接取中间数字； 3.混淆众数与频数：众数是数据本身，不是出现的次数； 4.方差公式漏乘，忘记平方； 5.比较稳定性时，误以为方差越大越稳定； 6.扇形图无总数，直接用百分比求原始数据； 7.计算极差时，用最小值减最大值，出现负数； 8.区分样本方差、总体（本章统一除以 n，不涉及 n-1）。 题型1.求众数 【典例】有一组学生的体重数据（单位：）分别是：，，，，，，．则这组数据的众数是______． 【答案】 【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可得到结果． 【详解】解：统计这组数据中每个数的出现次数：，，，，都只出现次，出现了次，是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数是． 【跟踪专练1】随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则这组数据的众数是__________． 【答案】6 【分析】根据方差公式得出这组数据，再根据众数的定义求解即可. 【详解】解：根据方差公式可知，这组数据为：1个8，4个6，2个9，3个10， 其中6出现的次数最多， 则这组数据的众数是6. 【跟踪专练2】2026年2月1日，我国首部促进全民阅读的专门法规《全民阅读促进条例》正式施行，标志着全民阅读从“政策引导”迈向“法治保障”，寒假结束后，李老师统计了本班学生寒假期间阅读的课外书的本数，具体如下表： 本数 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 6 4 由上表可知，该班学生寒假期间阅读的课外书的本数的众数和平均数分别是（     ） A．4，2.5 B．4，3 C．2，2.5 D．2，2.725 【答案】D 【分析】根据众数和平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中阅读2本课外书的人数最多，为15人， ∴该组数据的众数是； 计算总人数：． 计算阅读总本数：． ∴平均数为． 因此众数为，平均数为． 题型2.用众数求未知数据的值 【典例】已知一组数据：，，，，，，的众数是，则是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，有时众数在一组数中有好几个，但是有时也可能没有众数即可解答． 【详解】解：根据题意得：在中2出现的次数最多， 则， 故选：D． 【跟踪专练1】已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的平均数是________． 【答案】4 【分析】此题主要考查平均数，解题的关键是熟知众数、平均数的定义.直接利用众数的定义得出a的值，进而求出平均数； 【详解】解：∵一组数据3、a、4、6的众数为3， ∴， ∴这组数据的平均数：， 故答案为：4． 【跟踪专练2】某校四个绿化小组某天的植树棵树如下：10，10，，8．若这组数据的众数与平均数相等，那么的值是（     ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据众数的定义和平均数的求法分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：某校四个绿化小组某天的植树棵树如下：10，10，，8，由于值不确定，因此分情况讨论： 当时，根据众数的定义可知这组数据的众数为，平均数为，显然，与题中这组数据的众数与平均数相等不符，故舍弃； 当时，根据众数的定义可知这组数据的众数为和，平均数为，显然，与题中这组数据的众数与平均数相等不符，故舍弃； 且，根据众数的定义可知这组数据的众数为，平均数为，若满足题意，则这组数据的众数与平均数相等，即，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查众数和平均数的概念及求解方法，熟记相关定义，并掌握众数与平均数的求法是解决问题的关键． 题型3.运用众数做决策 一【典例】位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】解：经销商需知晓销量最高的鞋号以安排进货，对应这组数据中出现次数最多的数，即众数， ∴经销商最感兴趣的是这组数据中的众数． 【跟踪专练1】某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据不同统计量所反映的数据特征：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映数据的波动程度，而众数反映的是数据中出现次数最多(即最热门，最集中)的情况，商场经理根据销量决定进货，关注的是销量最大的品牌，这与众数的定义相符，据此即可解答． 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 【跟踪专练2】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 【答案】三 【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和． 通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大． 【详解】星期一总次数：次；星期二总次数：次；星期三总次数：次；星期四总次数：次；星期五总次数：次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教室可能性最大； 故答案为三． 题型4.求一组数据的平均数 【典例】每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 【跟踪专练1】有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 【答案】 6 乙丙甲 【分析】根据折线图得出每组的数据，然后计算出每组的平均数，再根据平均数计算出每组的方差，最后比较大小即可． 【详解】解：∵每组数据中有6个正整数， ∴结合折线图可知，甲组数据为：，，，，，； 乙组数据为：，，，，，； 丙组数据为：，，，，，； ∴甲组数据的平均数为：； 乙组数据的平均数为：； 丙组数据的平均数为：； ∴甲组数据的方差为：； 乙组数据的方差为：； 丙组数据的方差为：； ∵， ∴各组数据方差从小到大依次为乙丙甲． 【跟踪专练2】在一次射击选拔赛中，选手小明前5次射击的平均成绩是9环，方差是．按照比赛规则需要加赛一轮，结果这一枪也打出了9环．对比前5次的成绩，小明这6次射击成绩的统计量发生了变化，下列描述正确的是（     ） A．平均数增加，方差减小 B．平均数不变，方差增大 C．平均数不变，方差减小 D．平均数减小，方差增大 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的定义，分别计算出6次射击的平均数和方差，再与原统计量比较即可得出结论． 【详解】解：∵前次射击的平均成绩为环， ∴前次射击的总环数为， ∵第次成绩为环， ∴次射击的平均成绩为环，故平均数不变， 次成绩的方差为， ， 方差减小， 综上，平均数不变，方差减小． 题型5.由平均数求未知数据的值 【典例】已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴． ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知样本1，2，2，3，的平均数为2，则方差是____________． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出未知量，再代入方差公式计算即可． 【详解】解：由平均数的定义可得， 解得， 根据方差的计算公式，得． 【跟踪专练2】小雪在练习“一分钟仰卧起坐”时，前4组的成绩（单位：个）分别为42，48，52，48，再做1组后，若这5组成绩的平均数与众数相等，则小雪第5组成绩是每分钟（   ） A．40个 B．44个 C．48个 D．50个 【答案】D 【分析】本题考查了众数与平均数，掌握定义是解题的关键．设小雪第五组成绩为，先计算前组成绩的和，再根据众数的定义确定众数的可能情况，结合平均数与众数相等的条件列等式求解，验证后得到结果． 【详解】解：设小雪第五组成绩为. ∵前组成绩和为 ， ∴组成绩的平均数为 . 前组成绩中出现次，其余数各出现次，因此： 若不等于，这组数据的众数为，根据题意得： 解得 . 验证：当时，组成绩为，众数为，平均数为，符合题意. 若，众数为，平均数为 ，不符合题意. 若或，数据有两个众数，计算可知平均数不等于任意一个众数，不符合题意. 因此小雪第五组成绩是个. 题型6.由平均数求新数据的平均数 【典例】如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数的变化规律，利用平均数的运算性质得： 数据变化后计算平均数将其代入计算即可 ． 【详解】解：原数据平均数为5，即 ，即， 新数据为 ， 新平均数 ； 故选D． 【跟踪专练1】若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，原数据之和为50，求出，再求平均数． 【详解】解：的平均数是5， ， ， ， ， ， 数据的平均数是2． 【跟踪专练2】某队原有10名队员，平均分为72分．新加入2名队员后，12名队员的平均分变为75分，且新加入的两名队员分数相差6分，新加入的两名队员中较高的分数是（     ） A．87 B．90 C．93 D．96 【答案】C 【分析】本题利用总分=平均分×人数，先求出新加入两名队员的总分数，再根据两名队员的分数差列一元一次方程，即可求出较高分数． 【详解】解：∵原有10名队员平均分为72分， ∴原有队员总分为 分， ∵12名队员平均分为75分， ∴12名队员总分为 分， ∴新加入2名队员的总分为分， 设新加入队员中较高的分数为 分，则较低分数为分． 根据题意列方程得：． 整理得 ， 解得． 即新加入两名队员中较高的分数是93分． 题型7.利用平均数做决策 【典例】如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（     ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】成绩好坏看平均数，平均数越高成绩越好；发挥稳定性看方差，方差越小越稳定． 【详解】解：根据题意得：丙，丁的平均数高于甲，乙，且丙的方差低于丁的方差， 所以丙为最佳人选． 【跟踪专练1】学校要选拔立定跳远运动员，要求选手成绩好且发挥稳定．教练从甲、乙、丙、丁四名候选人中各抽取50次训练成绩，统计结果如下表： 候选人 甲 乙 丙 丁 平均成绩/ 235 237 237 233 成绩方差 1.8 2.5 0.9 1.2 根据表中数据，最适合代表学校参赛的是________（从候选人“甲、乙、丙、丁”中选择）． 【答案】丙 【分析】需要选出平均成绩高且方差小的候选人，先通过平均成绩筛选出成绩较好的候选人，再通过方差判断稳定性，得到符合要求的结果． 【详解】解：由表格数据可得，乙和丙的平均成绩均为，高于甲和丁，因此成绩较好的为乙和丙， 乙的方差为，丙的方差为， 因为， 所以丙的方差更小，发挥更稳定， 因此丙满足成绩好且发挥稳定的要求． 【跟踪专练2】为考察甲、乙、丙、丁四种水稻的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分稻苗，获得苗高的平均数与方差分别为：，，，．则稻苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的麦苗． 【详解】解：由，，，可知， ，， 丙水稻苗高的平均数较大且方差较小， 丙稻苗又高又整齐， 故选：． 【点睛】此题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数反映数据集中趋势的一项指标，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解答本题的关键． 题型8.求加权平均数 【典例】年月，鄂尔多斯市举办“奔跑吧·少年”第四届中国城市青少年篮球联赛，赛事组委会为表彰表现突出的参赛队伍，将“技术得分、战术配合、赛场作风”三项得分依次按的比例确定队伍综合评价成绩．某中学代表队在这三项中的得分依次为9分、8分、10分（每项满分均为10分），则该代表队的综合评价成绩为（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【详解】解：该代表队的综合评价成绩为（分）． 【跟踪专练1】超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 78 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算方法，将三项测试成绩分别乘以对应的权重，求和即可得到总成绩． 【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩为： （分）． 【跟踪专练2】某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是6元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】利用加权平均数计算即可； 【详解】解：根据题意，得（元）； 题型9.由加权平均数求未知数据的值 【典例】．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 【跟踪专练1】一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 【跟踪专练2】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 题型10加权平均数做决策 【典例】．厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用加权平均数的计算公式求解即可得． 【详解】解：甲的综合分：（分）， 乙的综合分：（分）， 丙的综合分：（分）， 丁的综合分：（分）， 则最终录用的应聘者是是乙， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键． 【跟踪专练1】学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 【答案】小花 【分析】根据加权平均数的定义分别计算两名同学的总成绩，比较总成绩大小后择优录取． 【详解】解：小敏的总成绩为， 小花的总成绩为， ， 小花将被录取． 【跟踪专练2】一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 题型11.求方差 【典例】某地5家企业在今年第一季度的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11，14，则这组数据的方差为________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数， 方差为． 【跟踪专练1】已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用方差公式中分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数求解即可． 【详解】解：方差公式中，分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数， 样本容量等于所有频数之和， 又本题中各平方项的系数分别为，，3， ． 【跟踪专练2】已知点、、都在函数的图像上，若数据、、的方差为3，则另一组数据、、的方差为________； 【答案】12 【分析】根据函数解析式得到与的关系，用方差公式推导即可． 【详解】解：设数据的平均数为，由题意得该组数据的方差，设数据的平均数为，方差为， ∵点都在函数的图象上， ∴， ， ． 【跟踪专练3】甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示，则出次品波动较小的是（     ） 甲 1 2 1 4 2 乙 2 1 3 1 3 A．甲机床 B．乙机床 C．两台机床一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】数据波动大小由方差判断，方差越小，数据波动越小．本题分别计算甲、乙两台机床出次品数的方差，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 乙机床出次品波动更小． 题型12.利用方差求未知数据的值 【典例】已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【跟踪专练1】若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，，，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 【跟踪专练2】为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 题型13.由方差判断稳定性 【典例】甲、乙、丙、丁四位同学各进行了3次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则立定跳远成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小即可判定结果． 【详解】解：∵，，，， 且， ∴最小， ∴丁的立定跳远成绩波动最小，成绩最稳定． 【跟踪专练1】甲乙两种水稻试验品连续5年的平均单位面积产量如下表：（单位：吨/公顷）经计算，，，试根据这组数据估计两种水稻品种的产量比较稳定的是 _____． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 99 10.1 10 10.2 乙 9.9 10.1 10.2 9.9 99 【答案】乙 【分析】分别求出两组数据的方差，然后进行比较得出答案即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴这两种水稻品种的产量比较稳定的是乙． 【跟踪专练2】已知甲、乙两人投掷10次标枪的落点如图所示，若两人的平均成绩相同，则对于方差，的描述正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】方差是反映一组数据波动大小的量，方差越小，数据越稳定（集中）． 【详解】解：观察图形可知，甲的落点分布比较分散，乙的落点分布比较集中． ∵方差越小，数据越集中，方差越大，数据越分散． ∴． 题型14.运用方差做决策 【典例】下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员立定跳远的平均数和方差，现要选一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选的运动员是（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 2.45 2.45 2.20 2.18 方差 0.02 0.1 0.07 0.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】要选出成绩较高且发挥稳定的运动员，成绩较高对应平均数更大，发挥稳定对应方差更小，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，因此先比较平均数筛选出成绩较高的选手，再比较方差确定符合要求的选手. 【详解】解：∵成绩较高要求平均数更大， 由表格可得 ， ∴排除丙和丁，在甲，乙中选择， ∵发挥稳定要求方差更小，方差越小发挥越稳定，又 ， ∴甲符合成绩较高且发挥稳定的要求. 【跟踪专练1】现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据波动越小，身高越整齐，本题各队人数和平均身高均相同，只需比较方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵，且四个队人数、平均身高都相同， ∴甲队的方差最小，身高最整齐，选取甲队参加决赛更合适． 【跟踪专练2】学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“华星杯”“爱我中华”主题演讲比赛，如表是四位同学几次演讲比赛成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均分 9.4 9.8 9.8 9.6 方差 1 1.2 1 1.8 A．甲 B．乙． C．丙 D．丁． 【答案】C 【分析】先比较平均数，然后比较方差，于是可决定选择的同学． 【详解】解：∵乙、丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大， ∴应从乙和丙同学中选， ∵丙同学的方差比乙同学的小， ∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学． 题型15.求标准差 【典例】．一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它描述了数据对平均数的离散程度．计算标准差需先算出方差，正确计算是解题的关键． 先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差． 【详解】解：由题意知：平均数， 方差， ∴标准差， 故选：B． 【跟踪专练1】某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 【跟踪专练2】运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、标准差，由平均数求出位运动员的总成绩，即可求出运动员的成绩，再根据方差计算公式求出个数据的方差，即可得到标准差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由表可得，运动员的成绩为， ∴位运动员成绩分别为 ∴个数据的方差为， ∴标准差为， 故选：． 题型16.求离差平方和 【典例】小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8．这组数据的离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【详解】解：∵平均数 ∴离差平方和 ． 【跟踪专练1】按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 【答案】8 【分析】分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，将两组结果相加得到最终答案． 【详解】解：第一组数据为，平均数为，离差平方和为， 第二组数据为，平均数为，离差平方和为， ∴组内离差平方和为． 【跟踪专练2】在学校举办的篮球比赛中，八年级五个队员得分分别为12、15、17、22、26（分），将这五人分两组训练，下表为运用统计知识得到的A，B，C，D四种分组方法及相关数据，则最符合“使同组得分波动小”的分法是______． 分组方法 分组情况 第1组（得分） 第2组（得分） A 12 15，17，22，26 18.50 B 12，15 17，22，26 15.81 C 12，15，17 22，26 8.22 D 12，15，17，22 26 13.25 【答案】C 【分析】本题根据方差的意义判断，方差越小数据波动越小，只需比较四个分组对应的大小，找出最小值对应的分组即可. 【详解】解：由题意得，要使同组得分波动小，需两组方差的和最小， 比较四个分组的结果：， 可得分组的最小，最符合要求． 题型17.离差平方和应用 【典例】将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 【答案】B 【分析】组内离差平方和反映组内数据的离散程度，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，同组数据越接近，只需比较四种分组的组内离差平方和大小，找出最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵， ∴方式2的组内离差平方和最小，同组数据最接近． 【跟踪专练1】学校种植园中有 盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将 盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有 种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则 盆植物的最优分组序号是______． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组 个，第二组 个 ② 第一组 个，第二组 个 ③ 第一组 个，第二组 个 【答案】③ 【分析】根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解． 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组， ∵， ∴序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 【跟踪专练2】某校数学兴趣小组招募新成员，五位同学参加了笔试，笔试成绩分别为6，6，3，5，12．将5个笔试成绩按从小到大顺序排列后，相邻两个成绩之间自然形成4个间隔，利用信息技术工具，分别计算组内离差平方和，如下表所示．现要求将这5位同学分为两组，且每组至少2人，已知组内离差平方和越小，分组越合理．下列选项中分组更合理的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 30.75 30.75 第2个间隔 2 24 26 第3个间隔 4.67 18 22.67 第4个间隔 6 0 6 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先将成绩从小到大排序，再对应各选项分组，分组更合理的标准是满足每组至少2人，且组内离差平方和越小，分组越合理． 【详解】解：将个成绩从小到大排序得 ， 选项A的分组中有一组仅人，不符合每组至少人的要求，直接排除， 选项C对应第二个间隔分组，满足人数要求，组内离差平方和为， 选项B对应第三个间隔分组，满足人数要求，组内离差平方和为， 选项D的分组打乱有序排列，组内差异大，组内离差平方和大于， ∵ ，组内离差平方和越小分组越合理， ∴ 选项B的分组更合理． 题型18.样本平均数估计总体平均数 【典例】某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（    ） A．该校学生的平均身高约为米 B．该校七年级学生的平均身高约为米 C．该校七年级女生的平均身高约为米 D．该校七年级男生的平均身高约为米 【答案】B 【分析】根据样本估计总体进行判断即可． 【详解】解：由的七年级学生的身高的平均身高为米，可估计该校七年级学生的平均身高约为米最合理， 故选：B． 【点睛】本题考查了了由样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【跟踪专练1】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取个数据，统计如下： 数据 个数 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为______． 【答案】 【分析】本题利用样本平均数估计总体平均数，先计算抽取的样本数据的加权平均数，即可得到总体平均数的估计值． 【详解】解：抽取的个数据的平均数为： 用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为． 【跟踪专练2】某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（小时）， 则估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为1小时． 题型19.求中位数 【典例】今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 7 5 那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格数据求解即可． 【详解】解：∵总共有20个数据，15岁出现次数最多，为7次， ∴众数为； ∵将数据从小到大排列后，20个数据的中位数是第10个和第11个数据的平均数，累计人数可得，前8个数据最大年龄为14岁，第9到第15个数据均为15岁，因此第10个和第11个数据都是， ∴中位数为， 综上，这20名同学年龄的众数和中位数分别是和． 【跟踪专练1】学校组织若干名学生参加社会实践活动，把他们分成个组，人数分别为、、、，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______ ． 【答案】 【分析】本题先根据众数的定义分情况讨论众数的可能取值，再利用众数与平均数相等求出的值，最后根据中位数的定义计算得到结果． 【详解】解：已知这组数据为，，，． 分情况讨论： ①若众数为，由题意得平均数等于， 可得 解得， 将数据从小到大排序为，，，， 根据中位数的定义，中位数为中间两个数的平均数，即； ②若众数为，则， 此时这组数据为，，，，众数为和，平均数为， 不满足众数与平均数相等，故此情况不成立． ③若为其他值，则众数唯一为，但平均数不等于10，不满足题意，故此情况不成立． 综上，中位数为． 【跟踪专练2】为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门对相关工作进行了督查，随机调查了某校10名学生的“体质”情况，并了解到他们一周在校参加体育运动的时间，如下表： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 4 3 1 则这10名同学一周在校参加体育运动时间的平均数和中位数分别为（     ） A．6.2小时，6小时 B．6.2小时，7小时 C．6.3小时，6小时 D．6.3小时，7小时 【答案】C 【详解】解：平均数为（小时）． 将10个数据从小到大排列为5，5，6，6，6，6，7，7，7，8，数据总个数为10，则中位数为第5、6个数据的平均数，第5、6个数据均为6小时， ∴中位数为（小时）. 题型20.中位数求未知数据的值 【典例】．已知一组数据，3，5，2，7，9的中位数是5，那么可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：∵这组数据的中位数是5， ∴a的位置按照从小到大的排列是：2，3，a，5，7，9或2，3，5，a，7，9， ∴． ∴， 故选D． 【跟踪专练1】若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【答案】 【分析】这组数据存在众数，因此只能等于已有数据，，中的一个，分类讨论验证众数和中位数是否相等即可． 【详解】解：∵这组数据存在众数， 又∵原有数据各出现一次， ∴或或， 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，符合题意； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 综上，． 【跟踪专练2】一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】添加数据后数据个数变为偶数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，利用该性质计算即可． 【详解】解：∵ 原数据从小到大排列为 ，共个数据，添加 个数后总共有个数据， ∴ 新数据的中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由中位数为 可得 ，即 第3个数据第4个数据， ∵ 结合原数据排序可知，若中位数为，则第个数据为， ∴ 第个数据为 ，因此添加的数是． 题型21.用中位数做决策 【典例】某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共49名同学参加初赛，取前24名进入复赛．小亮同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这49名同学成绩的（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】取前24名进去复赛，那么把49名同学成绩按照从低到高排序后，取第25个数后的成绩进入复赛，即取中位数后的成绩进入复赛，据此可得答案． 【详解】∵共有49名同学参加初赛，取前24名进入复赛，将49个成绩从小到大排序后，中位数为第25名的成绩， ∴小亮只需将自己的成绩和中位数对比，即可判断能否进入复赛， ∴只需要知道这49名同学成绩的中位数． 【跟踪专练1】某篮球队甲、乙两队队员进行投篮训练，每人投篮20次的命中数统计如下表，则成绩好的队伍是________队． 队伍 参加人数 平均命中数 中位数 方差 甲队 30 12 11 6.5 乙队 30 12 13 4.2 【答案】乙 【分析】根据平均数相等，比较两队的中位数和方差即可得结论． 【详解】解：∵两队的平均数相等，乙队的中位数大于甲队的中位数，乙队的方差小于甲队的方差， ∴成绩好的队伍是乙队． 【跟踪专练2】南阳是艾草产业发展规模最大的地区，近年来，持续拓宽艾制品多元消费市场．某艾草商铺统计了某段时间内四种品类南阳艾制品——甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示： 品类 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 156 372 241 189 根据表中数据，该艾草店决定增加乙品类艾制品的进货数量，影响其决策的统计量是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，结合商铺增加畅销品类进货的决策目的，根据各统计量的定义即可判断． 【详解】解：由题意得：商铺增加乙品类进货，是因为乙品类的销售量最高，说明乙是最受市场欢迎的品类， ∵众数反映一组数据中出现次数最多/频数最大的品类，可直接体现最畅销的产品，符合决策需求；平均数反映平均销量，中位数反映销量的中间水平，方差反映销量的波动程度，均不符合需求， ∴影响该决策的统计量是众数． 题型22.求四分位数与画箱线图 【典例】某支排球队队员身高情况箱线图如图所示，则该排球队队员身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据箱线图中从上到下的第二个数据为第三四分位数求解即可． 【详解】解：由箱线图知，该排球队队员身高的第三四分位数是． 【跟踪专练1】如图是一组数据的箱线图，则这组数据的下四分位数是____________． 【答案】 【分析】根据箱线图的结构特征，确定下四分位数在图中的位置，即矩形箱体的下底边，直接读取该位置对应的纵轴数值即可． 【详解】解：由箱线图的定义可知，箱线图主要由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值组成． 其中，下四分位数对应矩形箱体的下底边． 观察题中所给的箱线图，可以看到矩形箱体的下底边对应的纵轴数值为60，因此． 【跟踪专练2】将某校吉他社团的名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这名同学身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据箱线图的信息即可得到答案． 【详解】解：由箱线图可知，这名同学身高的第三四分位数是． 解答题 1．为迎接党的二十大四中全会胜利召开，某校组织了以“学党史迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）： 活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作 红歌传唱 得分 85 81 81 87 (1)八年级（1）班四项活动成绩数据的众数是________； (2)若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作、红歌传唱四项成绩分别按照的比例计入综合成绩，求八年级（1）班的综合成绩． 【答案】(1) (2)八年级（1）班的综合成绩为分 【分析】（1）统计四项活动得分中各数据出现的次数，找出出现次数最多的数，即为这组数据的众数； （2）根据四项成绩对应的权重比例，运用加权平均数公式，将各项得分分别乘对应权重后求和，再除以权重总和，计算即可得出综合成绩． 【详解】（1）解：八年级（1）班四项活动成绩数据中出现次数最多， ∴八年级（1）班四项活动成绩数据的众数是分； （2）解：根据题意得：（分）． 答：八年级（1）班的综合成绩为分． 2．某天电影院有三个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示． 影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/% A 30 60 75 B 40 60 60 C 50 40 47.5 (1)分别计算各影厅的上座人数； (2)计算电影院这天上午所售电影票的平均价格； 【答案】(1)影厅A的上座人数为：45人；影厅B的上座人数为：36人；影厅C的上座人数为：19人； (2)电影院这天上午所售电影票的平均价格为37.4元． 【分析】（1）用座位数乘以上座率即可； （2）用总价除以总人数即可． 【详解】（1）解：影厅A的上座人数为：（人）； 影厅B的上座人数为：（人）； 影厅C的上座人数为：（人）； （2）解：（元）． 答：电影院这天上午所售电影票的平均价格为37.4元． 3．为了了解甲、乙两名同学近期数学学习的稳定性，老师调取了他们最近次数学单元测验的成绩（单位：分），具体数据如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________分，乙的平均成绩是________分； (2)分别计算甲、乙两名同学次测验成绩的方差； (3)如果只能推荐一名同学去参加市级数学竞赛，你认为应该推荐哪位同学？请结合前两问的计算结果说明理由． 【答案】(1) ， (2) 甲的方差为，乙的方差为 (3) 推荐甲同学，理由：因为甲、乙两名同学的平均成绩相同（都是90分），但甲的方差（2）远远小于乙的方差（50）．方差越小，数据的波动越小，说明甲同学的数学成绩更加稳定，发挥更可靠，所以推荐甲同学． 【分析】（1）根据甲、乙五次成绩代入算术平均数公式求和后除以数据个数，计算即可； （2）先利用（1）中求出的平均成绩，代入方差公式，用每组数据减去平均数的平方求平均值，分别算出甲、乙方差即可； （3）先对比两人平均成绩，再结合方差大小判断数据稳定性，最后结合竞赛需求给出推荐结论． 【详解】（1）甲的平均成绩是分， 乙的平均成绩是分； （2）， ． （3）略． 4．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 70 英语 88 82 94 85 76 85 (1)求这五位同学在这次考试中英语成绩的标准差． (2)为了比较不同学科成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式为：标准分（个人学科成绩学科平均分）学科成绩的标准差．从标准分看，标准分高的学科成绩更好，则甲同学在这次考试中，数学与英语哪个学科的成绩更好？ 【答案】(1) (2)甲同学在这次考试中，数学成绩更好，理由见详解 【分析】本题考查标准差的计算和用标准分做决策． （1）根据标准差是方差的算术平方根计算标准差即可； （2）根据标准分的计算公式计算数学和英语的标准分，然后比较即可． 【详解】（1）解：英语成绩的标准差为： （2）甲同学数学成绩的标准分为； 英语成绩的标准分为． 因为， 所以甲同学在这次考试中，数学成绩更好． 5．有五名学生某次英语口语测试的成绩（单位：分）分别为：，，，，，将他们按本次测试的成绩分成一个两人组和一个三人组展开小组学习，按照组内离差平方和最小的原则，初步筛选了两种分法．分法一：和，分法二：和．已知分法二的组内离差平方和为，请计算并说明应该选用哪种分法． 【答案】应该选用分法一． 【分析】先求出分法一中组内离差平方和，然后比较大小即可． 【详解】解：分法一中，这一组的平均数为（分）， ∴这一组的离差平方和为， 这一组的平均数为（分）， ∴这一组的离差平方和为， ∴分法一的组内离差平方和为， ∵， ∴应该选用分法一． 6．为弘扬红色文化，某学校开展了红色文化知识竞赛活动，赛后，从七、八两个年级的参赛学生中各随机抽取了名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行整理和分析，结果如下： 【整理数据】 七年级抽取的学生成绩从小到大为：，，，，，，，，，； 八年级抽取的学生成绩从小到大为：，，，，，，，，，． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 请结合以上信息解答下列问题： (1)上表中：________，________； (2)根据表中数据分析，________年级抽取的学生成绩更稳定；（填“七”或“八”） (3)已知八年级参加此次竞赛的学生有名，请估计八年级此次竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【答案】(1)， (2)八 (3)名 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解； （2）根据方差判断即可； （3）利用样本估计总体的方法求解． 【详解】（1）解：八年级抽取的学生成绩从小到大排列后第5个数和第6个数分别为，， ∴中位数； 七年级抽取的学生成绩中82出现的次数最多， ∴众数； （2）解：∵七年级的方差大于八年级的方差， ∴八年级抽取的学生成绩更稳定； （3）解：（名） ∴估计八年级此次竞赛成绩不低于90分的学生人数有名． 7．甲、乙两组的体育测试成绩（百分制）如下： 甲：60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 乙：70，92，80，85，96，93，，71，93，94． 某同学计算了两组成绩的四分位数，如下表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 (1)根据甲组数据，求甲组成绩的四分位数：________，________，________． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组测试成绩的箱线图，并观察图中乙组测试成绩的箱线图求的值． (3)根据对箱线图和四分位数的理解，你认为哪组成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)70，90，96 (2)； (3)（甲、乙必须二选一，理由合理即可） 如：①甲组成绩更好，因为甲组最高分比乙组最高分高；②乙组成绩更好，因为甲乙两组成绩的中位数相同，甲组成绩的组内差距比乙组更大 【分析】（1）将甲组成绩排序后，通过位置确定最值、四分位数，中位数取中间两数的平均数； （2）根据甲组成绩的最值、四分位数，在图中对应位置绘制箱线图，排列顺序后根据中位数定义求解即可； （3）从箱线图的分布看，甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 【详解】（1）解：方法一：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 分为两组，第一四分位数即为前一组的中位数，即 第二四分位数即为整组数据的中位数，即第5，6个数据的平均数，得； 第三四分位数即为后一组的中位数，即； 方法二：，3为大于2.5的最小整数， 所以，第一四分位数即为， ，5为整数， 所以，第二四分位数即为， ，8为大于7.5的最小整数， 所以，第三四分位数即为； （2）解：将已知数据从小到大排列：70，71，80，85，92，93，93，94，96， 由乙组箱线图可知中位数是90， ，解得； （3）略 8．某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如表： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 (1)根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ (2)若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 【答案】(1)C将被录用； (2)C将被录用． 【分析】（1）根据平均数的定义分别计算A、B、C的平均数，然后比较大小即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别计算A、B、C的加权平均数，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵A的平均成绩， B的平均成绩， C的平均成绩， ∴C的平均数最大， ∴根据三项测试的平均成绩择优录用，那么C将被录用； （2）∵A的测试成绩， B的测试成绩， C的测试成绩， ∴C的测试成绩最高， ∴若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按的比例确定各人的测试成绩，此时C将被录用． 9．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【答案】共有3种不同的分法．最优分组是和． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 10．为响应校园科技节“赋能创意未来”的主题，某校举办了创意编程挑战赛，甲、乙两位同学进入最终决赛，决赛从创意设计、动手实践、答辩展示三项进行评分（每项满分均为100分），甲、乙两位同学的三项得分如下表： 选手 创意设计 动手实践 答辩展示 甲 85 80 95 乙 80 92 83 如果将上述三项成绩按的比确定综合成绩，甲、乙两位同学谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 【答案】乙的综合成绩高， 理由如下： 解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以乙的综合成绩高． 【分析】用对应项目的得分乘以其对应权重得到各项目加权得分，求和后再除以权重总和得到两人的综合成绩，比较综合成绩即可得到结论． 【详解】略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12数据的分析暑假预习讲义 1. 平均数计算：掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，理解“权”的含义，能结合评分、统计场景求解加权平均数。 2. 集中趋势统计量：熟练求解一组数据的中位数、众数；明确计算中位数需要先排序，知晓众数可以不唯一。 3. 统计量辨析：区分平均数、中位数、众数的特点，了解平均数易受极端值影响，能够根据实际情境选取合适统计量描述数据集中趋势。 4. 离散程度认知：理解方差的意义，熟记方差计算公式；掌握规律：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据越稳定。 5. 方差变化规律：了解一组数据同加、同减常数后方差不变的性质，会利用性质简化运算。 6. 图表数据分析：能从表格、条形统计图中提取数据，计算平均数、中位数、众数与方差。 7. 统计简单应用：依托统计结果进行评判、方案选择，利用样本统计量简单估计总体特征。 8. 规避高频易错点：求中位数忘记排序；混淆加权平均数与算术平均数；误判方差大小与稳定性的关系；找众数错统计数据出现次数。 9. 核心素养：建立数据分析观念，学会用统计量定量描述数据特征，感受统计知识在生活中的应用价值。 预习必备 知识梳理 1.平均数 2.中位数 3.众数 4.极差 5.方差 6.标准差 常考题型 精讲精练 1.求众数 2.用众数求未知数据的值 3.运用众数做决策 4.求一组数据的平均数 5.由平均数求未知数据的值 6.由平均数求新数据的平均数 7.利用平均数做决策 8.求加权平均数 9.由加权平均数求未知数据的值 10加权平均数做决策 11.求方差 12.利用方差求未知数据的值 13.由方差判断稳定性 14.运用方差做决策 15.求标准差 16.求离差平方和 17.离差平方和应用 18.样本平均数估计总体平均数 19.求中位数 20.中位数求未知数据的值 21.用中位数做决策 22.求四分位数与画箱线图 强化题型 解答题10题 知识点01:平均数 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据的总个数，所得结果即为算术平均数。 公式 设有n个数据x1,x2,....,xn，则 =​ 特点：用到全部数据信息，易受极端值影响。 2. 加权平均数 定义：实际问题中各数据重要程度不同，用权表示数据的重要性，结合权计算得到的平均数叫做加权平均数。 权的形式：整数、比值、百分数。 公式 数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 特点：权越大，对应数据对结果影响越大，同样易受极端值影响。 补充：算术平均数是加权平均数的特殊形式（所有数据的权相等）。 3.核心区分表格 类型 特点 计算公式 典型考题 算术平均数 所有数据权重相等 总和 ÷ 个数 简单一组数据求平均 加权平均数 各数据权重不同 加权总和 ÷ 权重和 考试评分、商品单价、分层统计 易错点 权重和不能漏除；权重为比例时，可直接用比例代替总数计算。 4.组中值加权平均数（频数分布表专用） 分组统计无原始数据时，每组中间数值为组中值，本组频数作为权重，计算整组平均数。 步骤：①求每组组中值；②组中值 × 本组频数；③全部相加 ÷ 总频数。 知识点 02 中位数 1. 定义 将一组数据从小到大（或从大到小）有序排列后，位于正中间的数值。 2. 分两类计算规则 数据总个数n 中位数计算方法 举例 n为奇数 排序后第个数据 7 个数，中位数是第 4 个 n为偶数 排序后中间两个数据的算术平均数 6 个数，中位数 = 第 3、4 个数的平均值 3. 核心特点 （1）只和数据中间位置有关，不受极端偏大、偏小值影响； （2）一组数据中位数唯一； （3）反映数据中间水平，适合存在极端值的统计场景（工资、房价）。 知识点 03 众数 1. 定义 一组数据中出现次数最多的数据。 2. 三种情况 只有一个数据出现次数最多：唯一众数； 两个数据出现次数并列最多：两个众数； 所有数据出现次数相同：无众数。 3. 核心特点 （1）反映数据中最普遍、最常见的数值； （2）不唯一，不受极端值影响； （3）多用于销售、尺码、投票类统计（服装尺码、商品销量）。 4. 集中趋势三统计量对比表 统计量 计算方法 受极端值影响 个数唯一性 适用场景 算术平均数 全部数据求和除以个数 影响很大 唯一 数据分布均匀、无极端值 中位数 排序取中间数 无影响 唯一 存在极端数据（薪资、房价） 众数 统计出现最多的数 无影响 可 1 个 / 多个 / 无 商品尺码、大众偏好统计 知识点 04 极差（波动最简单指标） 1. 定义 一组数据中最大值减去最小值，描述数据波动范围。 2.公式 极差=最大值-最小值 3.特点 （1）计算最简单； （2）仅用到首尾两个数据，无法反映中间数据波动； （3）受极端值影响极大，只能粗略判断波动大小。 知识点05：方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 知识点 06 标准差 1. 定义 方差的算术平方根，单位和原始数据一致（方差单位是平方，无实际意义）。 2.公式 3.作用 方差只能对比大小，标准差带原始单位，可直接描述数据波动幅度。 4.离散程度三指标对比表 指标 计算难度 能否体现全部数据 受极端值影响 核心用途 极差 最简单 仅看最大最小 极大 粗略判断波动区间 方差 中等 用到全部数据 较小 比较两组数据稳定性 标准差 中等（方差开方） 用到全部数据 较小 结合实际单位描述波动 知识点 07 统计图表与数据分析结合 1. 条形统计图 读取每组数据频数，可计算平均数、中位数、众数。 2. 折线统计图 观察数据变化趋势，同时可计算波动（方差、极差）判断稳定性。 3. 扇形统计图 仅提供各部分占比，需结合总数量才能求出具体数据，计算加权平均数。 4. 频数分布直方图 用组中值计算整组加权平均数，通过区间判断中位数所在分组。 知识点 08 数据分析实际决策解题步骤 1.审题：明确需求（看平均水平 / 中间水平 / 稳定性）； 2.计算对应统计量（平均数、中位数、众数、方差）； 3.对比数据特征，写出结论： 4.比平均成绩：用平均数； 5.存在极端高分低分：用中位数； 6.选大众偏好尺码：用众数； 7.判断发挥稳定：对比方差，方差小更稳定。 知识点 09 本章高频易错点 1.加权平均数计算时，漏除权重总和； 2.求中位数前忘记排序，直接取中间数字； 3.混淆众数与频数：众数是数据本身，不是出现的次数； 4.方差公式漏乘，忘记平方； 5.比较稳定性时，误以为方差越大越稳定； 6.扇形图无总数，直接用百分比求原始数据； 7.计算极差时，用最小值减最大值，出现负数； 8.区分样本方差、总体（本章统一除以 n，不涉及 n-1）。 题型1.求众数 【典例】有一组学生的体重数据（单位：）分别是：，，，，，，．则这组数据的众数是______． 【跟踪专练1】随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则这组数据的众数是__________． 【跟踪专练2】2026年2月1日，我国首部促进全民阅读的专门法规《全民阅读促进条例》正式施行，标志着全民阅读从“政策引导”迈向“法治保障”，寒假结束后，李老师统计了本班学生寒假期间阅读的课外书的本数，具体如下表： 本数 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 6 4 由上表可知，该班学生寒假期间阅读的课外书的本数的众数和平均数分别是（     ） A．4，2.5 B．4，3 C．2，2.5 D．2，2.725 题型2.用众数求未知数据的值 【典例】已知一组数据：，，，，，，的众数是，则是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的平均数是________． 【跟踪专练2】某校四个绿化小组某天的植树棵树如下：10，10，，8．若这组数据的众数与平均数相等，那么的值是（     ） A．4 B．8 C．10 D．12 题型3.运用众数做决策 一【典例】位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对学生的鞋号进行了抽样调查．经销商最感兴趣的是这组数据中的（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【跟踪专练1】某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练2】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 题型4.求一组数据的平均数 【典例】每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【跟踪专练1】有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 【跟踪专练2】在一次射击选拔赛中，选手小明前5次射击的平均成绩是9环，方差是．按照比赛规则需要加赛一轮，结果这一枪也打出了9环．对比前5次的成绩，小明这6次射击成绩的统计量发生了变化，下列描述正确的是（     ） A．平均数增加，方差减小 B．平均数不变，方差增大 C．平均数不变，方差减小 D．平均数减小，方差增大 题型5.由平均数求未知数据的值 【典例】已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知样本1，2，2，3，的平均数为2，则方差是____________． 【跟踪专练2】小雪在练习“一分钟仰卧起坐”时，前4组的成绩（单位：个）分别为42，48，52，48，再做1组后，若这5组成绩的平均数与众数相等，则小雪第5组成绩是每分钟（   ） A．40个 B．44个 C．48个 D．50个 题型6.由平均数求新数据的平均数 【典例】如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【跟踪专练1】若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【跟踪专练2】某队原有10名队员，平均分为72分．新加入2名队员后，12名队员的平均分变为75分，且新加入的两名队员分数相差6分，新加入的两名队员中较高的分数是（     ） A．87 B．90 C．93 D．96 题型7.利用平均数做决策 【典例】如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（     ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】学校要选拔立定跳远运动员，要求选手成绩好且发挥稳定．教练从甲、乙、丙、丁四名候选人中各抽取50次训练成绩，统计结果如下表： 候选人 甲 乙 丙 丁 平均成绩/ 235 237 237 233 成绩方差 1.8 2.5 0.9 1.2 根据表中数据，最适合代表学校参赛的是________（从候选人“甲、乙、丙、丁”中选择）． 【跟踪专练2】为考察甲、乙、丙、丁四种水稻的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分稻苗，获得苗高的平均数与方差分别为：，，，．则稻苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型8.求加权平均数 【典例】年月，鄂尔多斯市举办“奔跑吧·少年”第四届中国城市青少年篮球联赛，赛事组委会为表彰表现突出的参赛队伍，将“技术得分、战术配合、赛场作风”三项得分依次按的比例确定队伍综合评价成绩．某中学代表队在这三项中的得分依次为9分、8分、10分（每项满分均为10分），则该代表队的综合评价成绩为（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【跟踪专练1】超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 78 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【跟踪专练2】某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是6元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 题型9.由加权平均数求未知数据的值 【典例】．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【跟踪专练1】一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【跟踪专练2】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 题型10加权平均数做决策 【典例】．厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 【跟踪专练2】一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 题型11.求方差 【典例】某地5家企业在今年第一季度的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11，14，则这组数据的方差为________． 【跟踪专练1】已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】已知点、、都在函数的图像上，若数据、、的方差为3，则另一组数据、、的方差为________； 【跟踪专练3】甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示，则出次品波动较小的是（     ） 甲 1 2 1 4 2 乙 2 1 3 1 3 A．甲机床 B．乙机床 C．两台机床一样 D．无法判断 题型12.利用方差求未知数据的值 【典例】已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【跟踪专练1】若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【跟踪专练2】为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 题型13.由方差判断稳定性 【典例】甲、乙、丙、丁四位同学各进行了3次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则立定跳远成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】甲乙两种水稻试验品连续5年的平均单位面积产量如下表：（单位：吨/公顷）经计算，，，试根据这组数据估计两种水稻品种的产量比较稳定的是 _____． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 99 10.1 10 10.2 乙 9.9 10.1 10.2 9.9 99 【跟踪专练2】已知甲、乙两人投掷10次标枪的落点如图所示，若两人的平均成绩相同，则对于方差，的描述正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 题型14.运用方差做决策 【典例】下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员立定跳远的平均数和方差，现要选一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选的运动员是（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 2.45 2.45 2.20 2.18 方差 0.02 0.1 0.07 0.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 【跟踪专练2】学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“华星杯”“爱我中华”主题演讲比赛，如表是四位同学几次演讲比赛成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均分 9.4 9.8 9.8 9.6 方差 1 1.2 1 1.8 A．甲 B．乙． C．丙 D．丁． 题型15.求标准差 【典例】．一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（    ） A．2 B． C．0 D． 【跟踪专练1】某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【跟踪专练2】运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 题型16.求离差平方和 【典例】小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8．这组数据的离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．8 【跟踪专练1】按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 【跟踪专练2】在学校举办的篮球比赛中，八年级五个队员得分分别为12、15、17、22、26（分），将这五人分两组训练，下表为运用统计知识得到的A，B，C，D四种分组方法及相关数据，则最符合“使同组得分波动小”的分法是______． 分组方法 分组情况 第1组（得分） 第2组（得分） A 12 15，17，22，26 18.50 B 12，15 17，22，26 15.81 C 12，15，17 22，26 8.22 D 12，15，17，22 26 13.25 题型17.离差平方和应用 【典例】将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 【跟踪专练1】学校种植园中有 盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将 盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有 种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则 盆植物的最优分组序号是______． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组 个，第二组 个 ② 第一组 个，第二组 个 ③ 第一组 个，第二组 个 【跟踪专练2】某校数学兴趣小组招募新成员，五位同学参加了笔试，笔试成绩分别为6，6，3，5，12．将5个笔试成绩按从小到大顺序排列后，相邻两个成绩之间自然形成4个间隔，利用信息技术工具，分别计算组内离差平方和，如下表所示．现要求将这5位同学分为两组，且每组至少2人，已知组内离差平方和越小，分组越合理．下列选项中分组更合理的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 30.75 30.75 第2个间隔 2 24 26 第3个间隔 4.67 18 22.67 第4个间隔 6 0 6 A．和 B．和 C．和 D．和 题型18.样本平均数估计总体平均数 【典例】某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（    ） A．该校学生的平均身高约为米 B．该校七年级学生的平均身高约为米 C．该校七年级女生的平均身高约为米 D．该校七年级男生的平均身高约为米 【跟踪专练1】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取个数据，统计如下： 数据 个数 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为______． 【跟踪专练2】某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 题型19.求中位数 【典例】今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 7 5 那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】学校组织若干名学生参加社会实践活动，把他们分成个组，人数分别为、、、，若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______ ． 【跟踪专练2】为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门对相关工作进行了督查，随机调查了某校10名学生的“体质”情况，并了解到他们一周在校参加体育运动的时间，如下表： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 4 3 1 则这10名同学一周在校参加体育运动时间的平均数和中位数分别为（     ） A．6.2小时，6小时 B．6.2小时，7小时 C．6.3小时，6小时 D．6.3小时，7小时 题型20.中位数求未知数据的值 【典例】．已知一组数据，3，5，2，7，9的中位数是5，那么可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【跟踪专练1】若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【跟踪专练2】一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型21.用中位数做决策 【典例】某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共49名同学参加初赛，取前24名进入复赛．小亮同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这49名同学成绩的（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练1】某篮球队甲、乙两队队员进行投篮训练，每人投篮20次的命中数统计如下表，则成绩好的队伍是________队． 队伍 参加人数 平均命中数 中位数 方差 甲队 30 12 11 6.5 乙队 30 12 13 4.2 【跟踪专练2】南阳是艾草产业发展规模最大的地区，近年来，持续拓宽艾制品多元消费市场．某艾草商铺统计了某段时间内四种品类南阳艾制品——甲、乙、丙、丁的销售情况，如下表所示： 品类 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 156 372 241 189 根据表中数据，该艾草店决定增加乙品类艾制品的进货数量，影响其决策的统计量是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 题型22.求四分位数与画箱线图 【典例】某支排球队队员身高情况箱线图如图所示，则该排球队队员身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一组数据的箱线图，则这组数据的下四分位数是____________． 【跟踪专练2】将某校吉他社团的名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这名同学身高的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．为迎接党的二十大四中全会胜利召开，某校组织了以“学党史迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）： 活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作 红歌传唱 得分 85 81 81 87 (1)八年级（1）班四项活动成绩数据的众数是________； (2)若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作、红歌传唱四项成绩分别按照的比例计入综合成绩，求八年级（1）班的综合成绩． 2．某天电影院有三个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示． 影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/% A 30 60 75 B 40 60 60 C 50 40 47.5 (1)分别计算各影厅的上座人数； (2)计算电影院这天上午所售电影票的平均价格； 3．为了了解甲、乙两名同学近期数学学习的稳定性，老师调取了他们最近次数学单元测验的成绩（单位：分），具体数据如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________分，乙的平均成绩是________分； (2)分别计算甲、乙两名同学次测验成绩的方差； (3)如果只能推荐一名同学去参加市级数学竞赛，你认为应该推荐哪位同学？请结合前两问的计算结果说明理由． 4．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 70 英语 88 82 94 85 76 85 (1)求这五位同学在这次考试中英语成绩的标准差． (2)为了比较不同学科成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式为：标准分（个人学科成绩学科平均分）学科成绩的标准差．从标准分看，标准分高的学科成绩更好，则甲同学在这次考试中，数学与英语哪个学科的成绩更好？ 5．有五名学生某次英语口语测试的成绩（单位：分）分别为：，，，，，将他们按本次测试的成绩分成一个两人组和一个三人组展开小组学习，按照组内离差平方和最小的原则，初步筛选了两种分法．分法一：和，分法二：和．已知分法二的组内离差平方和为，请计算并说明应该选用哪种分法． 6．为弘扬红色文化，某学校开展了红色文化知识竞赛活动，赛后，从七、八两个年级的参赛学生中各随机抽取了名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行整理和分析，结果如下： 【整理数据】 七年级抽取的学生成绩从小到大为：，，，，，，，，，； 八年级抽取的学生成绩从小到大为：，，，，，，，，，． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 请结合以上信息解答下列问题： (1)上表中：________，________； (2)根据表中数据分析，________年级抽取的学生成绩更稳定；（填“七”或“八”） (3)已知八年级参加此次竞赛的学生有名，请估计八年级此次竞赛成绩不低于90分的学生人数． 7．甲、乙两组的体育测试成绩（百分制）如下： 甲：60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 乙：70，92，80，85，96，93，，71，93，94． 某同学计算了两组成绩的四分位数，如下表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 (1)根据甲组数据，求甲组成绩的四分位数：________，________，________． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组测试成绩的箱线图，并观察图中乙组测试成绩的箱线图求的值． (3)根据对箱线图和四分位数的理解，你认为哪组成绩更好？请说明理由． 8．某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如表： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 (1)根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ (2)若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 9．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 10．为响应校园科技节“赋能创意未来”的主题，某校举办了创意编程挑战赛，甲、乙两位同学进入最终决赛，决赛从创意设计、动手实践、答辩展示三项进行评分（每项满分均为100分），甲、乙两位同学的三项得分如下表： 选手 创意设计 动手实践 答辩展示 甲 85 80 95 乙 80 92 83 如果将上述三项成绩按的比确定综合成绩，甲、乙两位同学谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $