第二十讲 中位数与箱线图（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第二十讲 中位数与箱线图 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：中位数 一般地， n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数 . 知识点02：中位数四分位数 1. 百分位数 中位数是一组由小到大排列的数据里5 0 % 位置上的数据，优点是计算简单，不受极端值的影响(一般情况下)。但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布。为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据(处于p% 位置的数据称第p 百分位数，记为p% 分位数)。 2. 四分位数 在百分位数中，除了最小值与最大值外，我们尤为关注25% 分位数、50 % 分位数、75 % 分位数，它们把一组数据分为个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。 知识点03：中位数 箱线图 1. 用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围，可以粗略观察数据是否具有对称性，这样的统计图称为箱线图。 2. 箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接下四分位数和上四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，中位数在“箱体”中间。 考点1：求中位数 【典型例题】 在一次东湖高新区中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表所示． 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数是（   ） A．1.65 B．1.70 C．1.675 D．1.75 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的概念．将所有数据按照从小到大的顺序进行排列，位于最中间的一个数或位于最中间的两个数的平均数为中位数． 【详解】解：共有15个数据，将其按照从小到大的顺序排列，位于最中间的为第8位， ， 故中位数为米． 故选：B． 【变式训练1】 某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 （    ） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A．3，3 B．3，4 C．7，3 D．7，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果． 【详解】解：由表中数据可得，人数最多的7人所应的册数是3，所以众数是3． 将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：， 故选：A． 【变式训练2】 某学习小组一次测试的成绩为：8，7，8，9，6，4（ 满分为10分）则这组数据的众数和中位数为（   ） A．8和7.5 B．7和7 C．8和8 D．7和6 【答案】A 【分析】本题主要考查了学生对中位数、众数的理解以及掌握情况，解决问题的关键在理解中位数、众数的含义的基础上进行计算. 把一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，排在中间的一个数字(或两个数的平均值)叫做这组数据的中位数；这组数据中出现次数最多的数就是这组数据的众数. 【详解】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：4、6、7、8、8、9， 中位数为，众数为8， 故选：A. 考点2：利用中位数求未知数据的值 【典型例题】 已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据众数和中位数的定义，确定数据中的各个数值，再计算平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 【变式训练1】 一组数据按从小到大的顺序排列为：1，2，3，x，6，9，如果这组数据的中位数是4.5，那么这组数据的众数为（    ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的计算方法，是解题的关键．找中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数是中位数． 这组数据一共有六个数据，中位数必为最中间两数的平均数，据此即可求出x的值，进而得出数据的众数. 【详解】解：数据共有6个，中位数为中间两个数的平均数． 即． 解得． ∴这组数据排列为1，2，3，6，6，9． ∵其中6出现次数最多， ∴众数为6． 故选：B． 【变式训练2】 一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用中位数的定义，只有x和4的平均数可能为3，从而得到x的值． 【详解】解：除x外5个数由小到大排列为0，1，4，5，8， 因为原数据有6个数，且这组数据的中位数是3； 所以，只有x+4=2×3才成立， 即x=2． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 考点3：运用中位数做决策 【典型例题】 从班上名排球队员中，挑选6名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小林想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的应用，掌握中位数的概念是解本题的关键．根据题意，只要知道名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选． 【详解】解：入选规则是个头高则入选， 则需要将名队员的身高进行降序排序，取前6名进行参赛， 根据中位数的概念，知道第6名的成绩， 即中位数即可判断小林是否入选， 故选：B． 【变式训练1】 竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．方差 B．平均分 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查了统计量．根据中位数的意义即可求解． 【详解】解：某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，所用的统计量是中位数， 故选：D． 【变式训练2】 有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断掌握中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响解答即可． 【详解】中位数的定义：从小到大排列后位于中间位置或中间两数的平均数， 所以去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A． 考点4：求四分位数 【典型例题】 某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出分数（单位：分），分数由低到高依次为76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77分，则该名考生这次面试的平均得分为（   ） A．79分 B．80分 C．81分 D．82分 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的求解，下四分位数的定义，根据下四分位数为77分，求出，再根据平均数的定义进行计算即可． 【详解】解：根据下四分位数的定义可知：下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， ， 该名考生面试的平均得分为分， 故选：B． 【变式训练1】 下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【答案】D 【分析】本题考查箱线图，‌箱线图‌是一种通过五个关键统计量（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值）和异常值标识来展示数据分布的统计图表，据此求解即可． 【详解】解：由箱线图可得，下四分位数是132，中位数136，上四分位数144，最小值115，最大值162， ∴各个选项中，由图不能确定这组数据的平均数， 故选：D． 【变式训练2】 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数和下四分位数分别为（    ） A．250，290 B．295，250 C．240，300 D．240，295 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，再根据上四分位数和下四分位数定义求解，即可解题． 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列得188，240，260，284，288，290， 300，360， ， 则这组数据的上四分位数为：， ， 下四分位数为：； 故选：B． 一、单选题 1．某羽毛球队20名队员的年龄数据如右表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是 （     ） 年龄/岁 13 14 15 16 17 频数 2 6 8 3 1 A．6，15 B．8，8 C．15，8 D．15，15 【答案】D 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义求解即可，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据图表数据，相同年龄人数最多的是15岁，共8人， ∴众数是15， 20名队员中，按照年龄从大到小排列，第10名队员的年龄是15岁，第11名队员的年龄是15岁， ∴中位数是， 故选：D． 2．某班10名学生体育测试的成绩（单位：分）分别为：58，60，59，52，58，55，57，58，49，57，则这组数据的众数、中位数分别为（    ） A．58，57.5 B．57，57.5 C．58，58 D．58，57 【答案】A 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：数据58出现了3次，出现次数最多，故这组数据的众数是58； 将这组数据从小到大的顺序排列49，52，55，57，57，58，58，58，59，60， ∴中位数是（57+58）÷2=57.5． 故选：A． 【点睛】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 3．如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（   ） A．这五天中，温差最大的是5月1号 B．这五天中，每日最低气温的众数是 C．这五天中，每日最高气温的中位数是 D．这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题从截图中获取信息，根据中位数，众数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、观察可知，这五天中，5月1日的最高气温最高，最低气温最低，故温差最大的是5月1号；该选项正确，不符合题意； B、这五天中，每日最低气温出现次数最多的是，故众数为；该选项正确，不符合题意； C、将每日最高气温排序后，第3个数据为，故中位数为；该选项错误，符合题意； D、这五天中，每日最高气温的平均数为；该选项正确，不符合题意； 故选：C； 4．在一组数据中加入它的中位数，则新数据组中（    ） A．众数不变 B．平均数不变 C．中位数不变 D．方差不变 【答案】C 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．分别根据平均数，中位数，众数以及方差的定义逐项分析解答即可． 【详解】解：A．众数是一组数据中出现次数最多的数．加入中位数后，原数据中众数出现的次数可能改变，众数有可能变化，故本选项错误，不符合题意； B．平均数是所有数据的和除以数据个数．加入中位数后，数据总和与个数都改变，平均数会变化，故本选项错误，不符合题意； C． 中位数是将数据排序后中间位置的数（总数为奇数）或中间两个数的平均值（总数为偶数）．加入中位数后，排序后中位数位置改变，但新数据组的中位数还是原来的中位数（总数为奇数时，新数据个数为偶数，中间两个数是原中位数和它本身，平均值还是原中位数；当原数据个数为偶数时，设原数据按从小到大排序为，则中位数为，因为，所以将加入原数据组并重新排序后，新数据组（共个，为奇数）的中间项（第项）恰好为，即新数据组的中位数仍为原中位数），所以中位数不变，故本选项正确，符合题意； D．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，加入中位数后，数据的离散程度改变，方差会变化，故选项错误，不符合题意； 故选：C 5．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示： 月用水量 （吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（　　） A．平均数是3 B．中位数是5 C．众数是5 D．方差为1 【答案】C 【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，即可一一判定． 【详解】解：这组数据的平均数为：（吨），故A不正确； 这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的中位数， 第10个数据为4，第11个数据为5， 故这组数据的中位数为：，故B不正确； 5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5，故C正确； 这组数据的方差为：，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，熟练掌握和运用众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，是解决本题的关键． 6．制鞋厂调查了某校25名男生的运动鞋的码数，结果如下表： 运动鞋的码数/码 40 41 42 43 人数/名 2 7 12 4 则下列说法正确的是（   ） A．这25个数据的中位数是41.5码 B．这25个数据的众数是42码 C．这25个数据的平均数是41.5码 D．鞋厂老板最关心这25个数据的平均数 【答案】B 【分析】本题考查众数、中位数、平均数，掌握众数、中位数及平均数的定义是解题的关键． 根据众数、中位数及平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：把这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的数为42， ∴这组数的中位数为：42，故A错误； 42出现的次数最多，总共出现了12次，因此众数是42，故B正确； 这组数的平均数为：，故C错误； ∵鞋厂要尽可能的多卖运动鞋， ∴鞋厂老板最关心这25个数据的众数，故D错误． 故选：B． 7．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握平均数和中位的定义． 原44人的平均数为90，补测成绩为90，加入后总人数45，平均数不变；原中位数为86，补测成绩为90，可能影响中位数位置，需具体分析数据分布． 【详解】解：∵这一人的成绩和前44人的平均成绩相等， ∴全班45人成绩平均数不变； ∵原44人中位数为第22、23位数的平均，即86，加入90分后，总人数45，中位数为第23位数， ∴若原第22、23位均为86，加入90后第23位仍为86，中位数不变； 若原第22位为85，第23位为87（平均86），加入90后第23位为87，中位数变大； 因此，中位数可能不变或变大，无法确定； 综上，平均数不变，中位数无法确定， 故选：B． 8．如图是上海今年春节七天最高气温（）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（    ） A．15，17 B．17，17 C．17，14 D．17，15 【答案】C 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17， ∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14， 故选C． 二、填空题 9．我校为了解学生的消防安全意识，从九年级中随机抽取50位同学进行消防安全知识问答，整理成绩如右表，则得分的中位数为： ． 分数 6 7 8 9 10 频数 2 7 15 16 10 【答案】9 【分析】此题考查了中位数，根据中位数的求法求解即可． 【详解】解：∵共有50个数据 ∴中位数为第25个数据和第26个数据的平均数 ∴得分的中位数为：． 故答案为：9． 10．在某次体育节比赛中，8名男生实心球决赛的最终成绩（米）为：，，，，，，，，这组数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查中位数，先排序，再找出最中间的两个数，计算这两个数的平均数即可． 【详解】由小到大排序，得：，，， ，， ，， ， 处于最中间的两个数是，， ∴这组数据的中位数是：， 故答案为：． 11．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查四分位数，将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数． 【详解】解：将样本数据由小到大排列依次为：、、、1、2、3、3、5， ∵，第6个数是3，第7个数是3， ∴这组数据的上四分位数为． 故答案为：． 12．在4，5，6，6，9这组数据中，去掉一个数后，余下的数据的中位数不变，且方差减小，则去掉的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中位数的概念、方差的计算及意义，解题的关键是先筛选出中位数不变的可能情况，再通过计算方差比较数据离散程度． 确定原数据中位数，筛选出去掉后中位数仍为6的候选数（4或5）；分别计算去掉候选数后的方差，对比原方差，选出方差减小的情况，确定去掉的数为4． 【详解】解：原数据为4，5，6，6，9，排序后中位数为6（第3个数）． 若去掉一个数后中位数不变（仍为6），剩余4个数的中间两数平均数需为6： 去掉4：剩余5，6，6，9，中位数为，符合； 去掉5：剩余4，6，6，9，中位数为，符合； 去掉6（任一）或9：剩余数据中位数为，不符合，排除． 计算方差（方差越小，数据越集中）： 原数据平均数为6，方差； 去掉4后：平均数，方差（小于）； 去掉5后：平均数，方差（大于2.8）． 综上，去掉的数是4． 故答案为：4． 13．在从小到大排列的五个数3，x，6，8，10中加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和平均数，熟悉相关性质是解题的关键．原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：从小到大排列的五个数3，x，6，8，10的中位数是6， ∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等， ∴加入的一个数是6， ∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等， ∴， 解得：． 故答案为：3． 14．某班学生一周参加体育锻炼的时间统计如下表所示，其中有一个数据被墨汁污染了．若这组数据的唯一众数和中位数相等，则该班学生人数最少为 人． 锻炼时间/时 7 8 9 10 11 人数 5 11 12 4 【答案】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，熟练应用众数和中位数的概念进行求解是解决本题的关键． 这组数据中大于9的有个，小于9的有个，即可得到中位数为9，根据这组数据的唯一众数和中位数相等得到这组数据的众数为9，得到参加体育锻炼的时间为9小时的人数最少为13人，把各组人数求和即可． 【详解】解：根据题意可知，这组数据中大于9的有个，小于9的有个， ∴中位数为9， ∵这组数据的唯一众数和中位数相等， ∴这组数据的众数为9， ∴某班学生一周参加体育锻炼的时间为9小时的人数最少为13人， ∴该班学生人数最少为（人）， 故答案为： 15．某部门开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的活动，四位参与选手的成绩分别为：90，85，92，88，则这组数据的中位数是 ． 【答案】89 【分析】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．依此即可求解． 【详解】解：把数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，92， 则中位数是． 故答案为：89． 16．已知一组数据，，，，，的众数是8和10，则这组数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键．先根据众数的定义求出，再根据中位数的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵数据，，，，，的众数是8和10， ∴， 则这组数据为，，，，， ， ∴这组数据的中位数为， 故答案为：． 三、解答题 17．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：组（）、组（）、C组（）、组（），并绘制出如图不完整的统计图．      (1)被抽取的学生一共有___________人；并把条形统计图补完整；所抽取学生成绩的中位数落在___________组内； (2)若该学校有1200名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？ (3)根据以上调查数据，简要谈谈你关于该校学生“交通法规”掌握情况的看法，并结合自己的实际，对同学们提一条遵守“交通法规”的建议（字数不超过30个字）． 【答案】(1)90，C，补全图形见解答 (2)320名 (3)答案不唯一，合理即可 【分析】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息． （1）由组人数及其所占百分比求出总人数，根据四个等级人数和等于总人数求出组人数，即可补全图形，再根据中位数的定义求解即可； （2）总人数乘以样本中组人数所占比例即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：被抽取的学生一共有（人）， 组人数为（人）， 补全图形如下： 90个数据，中位数是第45和第46个数的平均数，， 第45和第46个数都在组， 故所抽取学生成绩的中位数落在组， 故答案为：90， C； （2）解：（名）， 答：估计这次竞赛成绩在组的学生有 320 名； （3）解：由以上数据知，80分以下人数所占百分比约，仍有不少学生交通知识掌握不足，建议过马路时集中观察信号灯与车流，走斑马线不追逐． 18．为增强学生的安全意识，某校进行了安全知识宣传教育活动，为了解活动效果，并组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了10名学生的测试成绩（测试满分为100分，七、八年级的学生总人数分别为240人和300人）如下： 七年级：96，85，90，86，93，92，95，81，75，81； 八年级：81，80，82，85，90，88，95，86，95，92． 经分析、整理获得如下不完整的数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a 八年级 b 95 (1)a的值为______，b的值为______； (2)若成绩为85分（含85分）以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数； (3)根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．（仅需要从一个角度说明判断的合理性） 【答案】(1)81；87 (2)378（人） (3)八年级的成绩较好，两个年级平均成绩一样，但八年级成绩的方差较小，成绩稳定．（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了数据的分析（众数、中位数的计算）、用样本估计总体以及根据统计量判断成绩优劣，解题的关键是掌握众数、中位数的定义和用样本估计总体的方法． （1）根据众数定义找出七年级成绩中出现次数最多的数得a；将八年级成绩排序后，取中间两个数的平均数得中位数b； （2）分别计算七、八年级样本中良好成绩的比例，再乘以对应年级总人数，求和得到估计的良好学生总人数； （3）从方差或众数、中位数角度对比两个年级成绩，说明判断理由． 【详解】（1）解：七年级成绩中出现了2次，其他成绩均出现1次，故众数； 将八年级成绩排序：，中间两个数为和，中位数 ． 故答案为：． （2）七年级样本中良好成绩（分）有，共7人，比例为； 八年级样本中良好成绩有，共7人，比例为； 估计七年级良好学生人数：（人）； 估计八年级良好学生人数：（人）； 该校七、八年级良好学生总人数估计为：（人）． 答：估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数为人． （3）八年级成绩较好． 理由：七、八年级平均数相同，但八年级方差小于七年级方差，说明八年级成绩更稳定． 19．为了保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某校从七、八、九三个年级中随机抽取了m名学生进行本校食堂的卫生及菜品的满意度调查，并将评价得分x（百分制）分为五个等级：非常满意：、满意：、一般：、不满意：、非常不满意：，并将调查结果绘制成如下统计图． 已知C等级的全部数据为：72  70  76  75  78  76  79  74  76  73  76 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，抽取的m名学生评价得分的中位数为________； (2)求C等级学生评价得分的平均数； (3)若该校共1200名学生，请估计对本校食堂的卫生及菜品的满意度的评价得分不低于70分的人数． 【答案】(1)50，77； (2)75分 (3)816名 【分析】此题考查条形统计图，求中位数，平均数： （1）将各等级人数相加得到m的值，再根据中位数定义求出其中位数； （2）根据平均数计算公式解答； （3）利用总人数1200乘以满意度的评价得分不低于70分的人数与调查人数50的比例即可． 【详解】（1）解：抽取的人数， ∵， ∴第25名和26名均在C等级，且为78分，76分，故中位数为 故答案为50，77； （2）， 等级学生评价得分的平均数是75分； （3）（名）， 估计该校1200名学生中对本校食堂的卫生及菜品的满意度的评价得分不低于70分的人数为816名． 20．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．      (1)条形统计图中被墨汁污染的人数为________人．“9本”所在扇形的圆心角度数为________； (2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； (3)随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，则m的最大值为________． 【答案】(1)； (2)平均数为8.7本，中位数为9本 (3)3 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答． （1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出总人数，然后用乘以9本占总人数的百分比即可； （2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答； （3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：；； （2）解： 读10本课外读物的人数为（人）， 由统计图可得平均数为本， 被调查同学阅读量的平均数为8.7本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本， 阅读量的中位数为（本）． （3）解：原来阅读量的众数为9本 ，解得， 为正整数， 的最大值为3． 故答案为∶3． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第二十讲 中位数与箱线图 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：中位数 一般地， n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数 . 知识点02：中位数四分位数 1. 百分位数 中位数是一组由小到大排列的数据里5 0 % 位置上的数据，优点是计算简单，不受极端值的影响(一般情况下)。但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布。为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据(处于p% 位置的数据称第p 百分位数，记为p% 分位数)。 2. 四分位数 在百分位数中，除了最小值与最大值外，我们尤为关注25% 分位数、50 % 分位数、75 % 分位数，它们把一组数据分为个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。 知识点03：中位数 箱线图 1. 用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围，可以粗略观察数据是否具有对称性，这样的统计图称为箱线图。 2. 箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接下四分位数和上四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，中位数在“箱体”中间。 考点1：求中位数 【典型例题】 在一次东湖高新区中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如表所示． 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 则这些运动员成绩的中位数是（   ） A．1.65 B．1.70 C．1.675 D．1.75 【变式训练1】 某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 （    ） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A．3，3 B．3，4 C．7，3 D．7，4 【变式训练2】 某学习小组一次测试的成绩为：8，7，8，9，6，4（ 满分为10分）则这组数据的众数和中位数为（   ） A．8和7.5 B．7和7 C．8和8 D．7和6 考点2：利用中位数求未知数据的值 【典型例题】 已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练1】 一组数据按从小到大的顺序排列为：1，2，3，x，6，9，如果这组数据的中位数是4.5，那么这组数据的众数为（    ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【变式训练2】 一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点3：运用中位数做决策 【典型例题】 从班上名排球队员中，挑选6名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小林想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式训练1】 竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．方差 B．平均分 C．众数 D．中位数 【变式训练2】 有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 考点4：求四分位数 【典型例题】 某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出分数（单位：分），分数由低到高依次为76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77分，则该名考生这次面试的平均得分为（   ） A．79分 B．80分 C．81分 D．82分 【变式训练1】 下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【变式训练2】 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数和下四分位数分别为（    ） A．250，290 B．295，250 C．240，300 D．240，295 一、单选题 1．某羽毛球队20名队员的年龄数据如右表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是 （     ） 年龄/岁 13 14 15 16 17 频数 2 6 8 3 1 A．6，15 B．8，8 C．15，8 D．15，15 2．某班10名学生体育测试的成绩（单位：分）分别为：58，60，59，52，58，55，57，58，49，57，则这组数据的众数、中位数分别为（    ） A．58，57.5 B．57，57.5 C．58，58 D．58，57 3．如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（   ） A．这五天中，温差最大的是5月1号 B．这五天中，每日最低气温的众数是 C．这五天中，每日最高气温的中位数是 D．这五天中，每日最高气温的平均数为 4．在一组数据中加入它的中位数，则新数据组中（    ） A．众数不变 B．平均数不变 C．中位数不变 D．方差不变 5．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示： 月用水量 （吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（　　） A．平均数是3 B．中位数是5 C．众数是5 D．方差为1 6．制鞋厂调查了某校25名男生的运动鞋的码数，结果如下表： 运动鞋的码数/码 40 41 42 43 人数/名 2 7 12 4 则下列说法正确的是（   ） A．这25个数据的中位数是41.5码 B．这25个数据的众数是42码 C．这25个数据的平均数是41.5码 D．鞋厂老板最关心这25个数据的平均数 7．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 8．如图是上海今年春节七天最高气温（）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（    ） A．15，17 B．17，17 C．17，14 D．17，15 二、填空题 9．我校为了解学生的消防安全意识，从九年级中随机抽取50位同学进行消防安全知识问答，整理成绩如右表，则得分的中位数为： ． 分数 6 7 8 9 10 频数 2 7 15 16 10 10．在某次体育节比赛中，8名男生实心球决赛的最终成绩（米）为：，，，，，，，，这组数据的中位数是 ． 11．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 12．在4，5，6，6，9这组数据中，去掉一个数后，余下的数据的中位数不变，且方差减小，则去掉的数是 ． 13．在从小到大排列的五个数3，x，6，8，10中加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 ． 14．某班学生一周参加体育锻炼的时间统计如下表所示，其中有一个数据被墨汁污染了．若这组数据的唯一众数和中位数相等，则该班学生人数最少为 人． 锻炼时间/时 7 8 9 10 11 人数 5 11 12 4 15．某部门开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的活动，四位参与选手的成绩分别为：90，85，92，88，则这组数据的中位数是 ． 16．已知一组数据，，，，，的众数是8和10，则这组数据的中位数是 ． 三、解答题 17．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：组（）、组（）、C组（）、组（），并绘制出如图不完整的统计图．      (1)被抽取的学生一共有___________人；并把条形统计图补完整；所抽取学生成绩的中位数落在___________组内； (2)若该学校有1200名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？ (3)根据以上调查数据，简要谈谈你关于该校学生“交通法规”掌握情况的看法，并结合自己的实际，对同学们提一条遵守“交通法规”的建议（字数不超过30个字）． 18．为增强学生的安全意识，某校进行了安全知识宣传教育活动，为了解活动效果，并组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了10名学生的测试成绩（测试满分为100分，七、八年级的学生总人数分别为240人和300人）如下： 七年级：96，85，90，86，93，92，95，81，75，81； 八年级：81，80，82，85，90，88，95，86，95，92． 经分析、整理获得如下不完整的数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a 八年级 b 95 (1)a的值为______，b的值为______； (2)若成绩为85分（含85分）以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数； (3)根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．（仅需要从一个角度说明判断的合理性） 19．为了保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某校从七、八、九三个年级中随机抽取了m名学生进行本校食堂的卫生及菜品的满意度调查，并将评价得分x（百分制）分为五个等级：非常满意：、满意：、一般：、不满意：、非常不满意：，并将调查结果绘制成如下统计图． 已知C等级的全部数据为：72  70  76  75  78  76  79  74  76  73  76 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，抽取的m名学生评价得分的中位数为________； (2)求C等级学生评价得分的平均数； (3)若该校共1200名学生，请估计对本校食堂的卫生及菜品的满意度的评价得分不低于70分的人数． 20．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．      (1)条形统计图中被墨汁污染的人数为________人．“9本”所在扇形的圆心角度数为________； (2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； (3)随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，则m的最大值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$