5.4 二元一次方程与一次函数（第2课时）教学设计 -2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“二元一次方程与一次函数的联系”及“用二元一次方程组确定一次函数表达式”核心知识点，通过情景导入环节的思考问题，从“数”（自变量与函数值关系）和“形”（直线交点坐标）两角度回顾方程组与函数的关联，结合例题衔接旧知，搭建从已有知识到新知的学习支架。 资料特色在于以实际问题（A、B两地相遇问题）驱动探究，引导学生用图象法、方程组法、一元一次方程法多角度解决问题，培养数学眼光（几何直观、抽象能力），通过对比体会代数方法的准确性，发展数学思维（推理意识、运算能力）。应用新知环节以典型例题和变式练习强化待定系数法，结合思维导图总结知识脉络，助力学生形成模型意识与应用意识，也为教师提供了流程清晰、活动多样的教学方案，提升课堂效率与学生解决实际问题的能力。

第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第2课时 一、教学目标 1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点. 2.了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 3.在作图象解法与代数解法的对比中，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化. 4.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究过程中学会解决实际问题的一些基本方法和策略. 二、教学重难点 重点：会用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力. 三、教学过程设计 环节一：情景导入 【思考】 教师活动：每个二元一次方程组都对应两个__________，于是也对应两条______． 预设答案：一次函数；直线. 问题1：从“数”的角度看，解方程组相当于： 预设答案：自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值. 问题2：从“形”的角度看，解方程组相当于： 预设答案：确定两条直线交点的坐标. 教师活动：二元一次方程组的解与一次函数的k值有何关系？ 　　 思考：已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解，那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为( ) A．(1，2) B．(2，1) C．(－1，2) D．(－2，1) 分析：交点坐标即为两个二元一次方程的公共解. 预设答案：B 设计意图：通过提问，体会函数和方程之间的联系，为本节课学习新知识做铺垫. 环节二：探究新知 【探究】 A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行. 假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s (km)都是骑车时间 t(h)的一次函数. 1 h后乙距离A地80 km，2 h后甲距离A地30 km. 经过多长时间两人将相遇？ 分析： 甲： t =0，s=0. t =2，s=30. 乙： t =0，s=100. t =1，s=80. 教师活动：注意题中的隐含条件哦！ 方法一：图象解法 可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了. 　　 方法二：方程组解法 对于乙，s是t的一次函数，可以设s=kt＋b．当t= 0时，s = 100；当t=1时，s = 80．将它们分别代入s=kt＋b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式．同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了！ 乙：→→s=－20t+100. 甲：甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt，当t=2时，s=30，所以 s=15t. 联立，得方程组： 解得： 方法三：一元一次方程解法 1 h后乙距A地80 km，即乙的速度是20 km/h；2 h后甲距A地30 km，也即甲的速度是15 km/h. 由此可以求出甲、乙两人的速度和…… 设同时出发后t小时相遇，15t+20t=100. 解这个方程，得. 教师活动：在以上的解题过程中你有什么启发？ 预设答案：用图象法可以解决问题；用方程组的方法可以解决问题；用一元一次方程的方法可以解决问题. 用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以获得问题的准确结果，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 设计意图：通过实际问题为背景，引导分组探索，进一步加强函数与方程的关系，让学生在多种方法解决问题的思考中和比较中体会作图象方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫，同时理解知识之间有着广泛的联系. 环节三：应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，然后再在小组内交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程. 【例1】某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元，张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 分析(1): 设出函数表达式，根据相应的数值，列出方程组，求出k、b的值. 解：设y=kx + b，根据题意，得 ②－①，得30k＝5， 将代入①，得b=-5. 所以 分析(2)：根据(1)中的函数表达式，要想让旅客免费携带行李，即满足y≤0，求得x的最大值. 解：令y＝0，即，解得x= 30. 即，当x>30时，y>0. 所以旅客最多可免费携带30 kg的行李. 归纳：像这样，先设出函数关系式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 教师活动：待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是什么？ ①设：设一次函数关系式：y=kx+b； ②代：把已知条件代入，得到关于k、b的方程组； ③解：解方程组，求出k、b的值； ④还原：写出表达式. 设计意图：通过例题的讲解，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法，明确什么是待定系数法，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，使学生有知识迁移的基础. 【做一做】 已知函数y=2x+b的图象经过点(a，7)和(－2，a)，求这个函数的表达式. 分析：把已知两点坐标代入，求出a、b的值，即可确定函数表达式. 解：将(a，7)和(－2，a)代入y=2x+b，得： 解方程组，得 所以该函数的表达式为y = 2x + 5. 设计意图：对用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法进行变式巩固. 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下图中的两直线l1，l2 的交点坐标可以看作方程组____________的解. 答案： 2.若点A(2，－3)、B(4，3)、C(5，a)在同一条直线上，则直线表达式为 ，a= . 答案：y=3x－9；6 3.已知直线y=kx+k(k≠0)经过点P(－2，4)和点Q(1，m)，则m的值为( ) A. B. － C.－8 D.8 答案：C 4.已知一次函数的图象过点(2，0)和点(1，－1)，则这个函数的解析式为(　　) A. y=x－2 B. y=x+2 C. y=－x－2 D. y=－x+2 答案：A 5.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为1 kg时，弹簧长15 cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 分析：设出y与x的函数表达式，由待定系数法求出其解；把x=4代入解析式求出y值即可. 解：设y与x之间的关系式为y=kx+b. 把(1，15)与(3，16)分别代入，得 解方程组，得 所以y与x之间的关系式为y=0.5x+14.5.当所挂物体的质量为4 kg时，y=0.5×4+14.5=16.5，即弹簧的长度为16.5 cm. 设计意图：通过练习，强化函数与方程的关系，同时训练利用二元一次方程组确定一次函数解析式.加强学生数形结合思想的应用，以及从图形中获取有用的信息，强化本节课教学重点 “利用二元一次方程组确定一次函数解析式”. 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 　　 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $