第十六讲 二元一次方程组的应用（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十六讲 二元一次方程组的应用 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：列二元一次方程组解实际问题 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1)审：认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系； (2)设：设未知数，可直接设，也可间接设； (3)列：根据等量关系列方程组； (4)解：求出所列方程组的解； (5)答：写出答案，包括单位名称 知识点02：列二元一次方程组解古算问题 古算问题的文字一般用古文叙述，弄清题意有一定困难，所以要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关系，列出方程组求解. 知识点03：列二元一次方程组解增收节支问题 在列方程组解有关经济问题时，应理解“增加了”“减少了”“增加到”“减少到”“翻一番”等词的意义，并掌握下列有关公式： (1) 销售问题，商品利润= 销售价格- 商品进价； 商品利润率=× 100 % 。 (2)储蓄问题，利息= 本金×利率×期数； 本息和= 本金+ 利息。 (3) 增长(降低)率问题， 增长率=×100％； 降低率=×100％ 增长后的量= 增长前的量×(1 + 增长率)； 下降后的量= 下降前的量×(1 － 降低率)。 考点1：方案问题 【典型例题】 某果农将采摘的20千克李子分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装3千克李子，每个小箱装2千克李子．大小箱都要装，且每箱都要装满，则装箱方案的种数共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是求出二元一次方程的正整数解． 设大箱数量为个，小箱数量为个，根据题意列方程，由均为正整数．通过枚举的可能值，判断对应的是否满足条件． 【详解】解：设大箱数量为个，小箱数量为个，根据题意得 ， ∵均为正整数． ∴或或， ∴大箱装2箱，小箱装7箱或大箱装4箱，小箱装4箱或大箱装6箱，小箱装1箱，一共有3种方案； 选项：B． 【变式训练1】 某班有15名女同学参加夏令营活动，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程，找出符合条件的正整数解．设住了x间2人间，y间3人间，列出方程，根据为偶数，15为奇数，推出y为奇数，找出所有符合条件的正整数解即可． 【详解】解：设住了x间两人间，y间3人间， 根据题意可列方程：， ∵为偶数，15为奇数， ∴为奇数，则y为奇数， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有3种住宿方案， 故选：C． 【变式训练2】 已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键．设租用A型车x辆，B型车y辆，根据公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完列出方程，根据x，y均为正整数求出所有的租车方案即可． 【详解】解：设租用A型车x辆，B型车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为正整数， ∴或或， ∴存在3种租车方案， 故答案为：B． 考点2：行程问题 【典型例题】 一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． 根据一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶，列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 【变式训练1】 已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 设火车长米，火车的速度米秒，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】设火车长米，火车的速度米秒， 根据题意得，． 故选：B． 【变式训练2】 甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 考点3：数字问题 【典型例题】 有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 【答案】B 【分析】根据已知条件，先通过数字关系列出关于、的方程组，再求解方程组得到、的值，从而确定原来的两位数． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据两位数的数字关系列出方程组并熟练求解是解题的关键． 【详解】解：∵十位数字为，个位数字为，且十位数字与个位数字之和为， ∴． ∵原来的两位数为，新的两位数为，新的两位数比原来的两位数大， ∴，化简得，即． 联立方程组，将两式相加，，得，解得． 把代入，得． ∴原来的两位数是， 故选：B ． 【变式训练1】 已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字． 关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1，新数比原数小9．等量关系为：①十位上的数字个位上的数字；②原数新数． 【详解】解：根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为． 故选C． 【变式训练2】 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　） A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42 【答案】A 【分析】设原来的两个加数分别为和，小明将后多写一个0，即x扩大10倍，得到；小亮将后多写一个0即y扩大10倍，得到，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设原来的两个加数分别为和， 根据题意，得， 解得． 故选：A． 考点4：分配问题 【典型例题】 盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故选：B． 【变式训练1】 有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 【变式训练2】 某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 考点5：古代问题 【典型例题】我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，分析题意，找准等量关系是解题关键．设客人为人，银子为两，根据每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设客人为人，银子为两， 根据题意得： 故选：C． 【变式训练1】 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意引入合适的未知数，建立二元一次方程组是解题的关键．本题需要通过两次不同的出钱方式建立方程组，求解人数和物价，再判断选项的正误．解题步骤分为建立方程、解方程、验证选项． 【详解】解：设共有人，物品价格为钱． A．根据“每人出8钱，盈3钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； B．根据“每人出7钱，不足4钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； C．联立方程组：将两方程相加，消去得：，正确，故本选项不符合题意； D．将代入，得，解得，因此，物品价格为53钱，选项D中“52钱”错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练2】 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”假设树有棵，鸦有只，根据题意，以下方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，根据“五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树”，即可列出关于，的二元一次方程组．正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设树有棵，鸦有只， 根据题意得，． 故选：A． 一、单选题 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 2．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵， 依题意，得： 故选：A． 3．明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒2位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式即可． 【详解】解：∵好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒2位客人， ∴每瓶好酒可以醉倒2.5位客人；每瓶薄酒可以醉倒位客人，根据题意，可列方程组为：． 故选：B． 4．萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每个小长方形的长为，宽为，根据拼图，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 则每个小长方形的面积为． 故选：D． 5．《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚，问兽、鸟各有多少？设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，确定两个等量关系是解题的关键． 根据兽头+鸟头，兽脚+鸟脚，列出等式构造方程组即可． 【详解】解：设兽有个，鸟有只，根据兽头鸟头，兽脚鸟脚， 列方程组得， 故选：A． 6．哪吒和敖丙比试法术．假设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力．已知哪吒施展2次“火莲绽放”和敖丙施展3次“万龙甲”共消耗80点灵力，哪吒施展3次“火莲绽放”和敖丙施展2次“万龙甲”共消耗70点灵力．则下列结论错误的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力．哪吒施展2次“火莲绽放”和敖丙施展3次“万龙甲”共消耗80点灵力，哪吒施展3次“火莲绽放”和敖丙施展2次“万龙甲”共消耗70点灵力．据此列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】解：设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力． 则 得，， 解得， 把代入①得到， 解得，， ∴ ∴，， 故选项A、B、D正确，C错误， 故选：C 7．如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据图形中长与宽的数量关系列方程组，求解出小长方形的长和宽，进而算出大长方形面积．本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列方程组求解是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为．由图可知： 解得， ∴大长方形的长为，宽为，大长方形面积 故选：． 8．《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：分析题目中的等量关系： 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 二、填空题 9．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有 种． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设长度的导线为x根，长度的导线为y根，根据一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】解：设长度的导线为x根，长度的导线为y根， 根据题意得：， 整理得： ， ∵x、y为正整数， ∴或或或， ∴截取方案共有4种， 故答案为：4． 10．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成长比宽多75厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 厘米． 【答案】120 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由长比宽多75厘米，即可得出，观察图形得出，解方程组，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得， 则每个小长方形的周长（厘米）， 故答案为：120． 11．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设耠子有x个，耧有y个，根据耠子和耧共有63个，共有100条腿，再列方程组即可. 【详解】解：设耠子有x个，耧有y个， 根据题意可得： ， 故答案为：． 12．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是 ． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为千米，坡路为千米，根据题意列出关于，的二元一次方程组求解， 最后把两段路程相加即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为千米． 故答案为：千米． 13．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要 小时． 【答案】10 【分析】设静水速度为，水流速度为，根据题意，得，后计算即可． 本题考查了顺水航行，逆水航行问题，熟练掌握航行时，三种速度的关系是解题的关键． 【详解】解：设静水速度为，水流速度为， 根据题意，得， 解得， 故（小时）． 故答案为：10． 14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：不知道甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱给乙，则乙也有50钱．问：甲乙二人原来各有多少钱？答：甲原有 钱，乙原有 钱． 【答案】 25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲原有x钱，乙原有y钱，根据“如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱给乙，则乙也有50钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲原有x钱，乙原有y钱， 根据题意得：， 解得：， ∴甲原有钱，乙原有25钱． 故答案为：，25． 15．一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是 ． 【答案】47 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故这个两位数为47； 故答案为：47． 16．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 【详解】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 三、解答题 17．中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 18．某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； (2)有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意得，根据m、n为正整数求出其整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 19．某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元． (1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ (2)若该商店决定花600元购进这两种文创产品，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案？请写出所有购买方案． 【答案】(1)甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元 (2)共有三种购买方案，甲种文创产品买15件，乙种文创产品买6件；甲种文创产品买10件，乙种文创产品买12件；甲种文创产品买5件，乙种文创产品买18件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用： （1）根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意列二元一次方程，找到整数解即可求得结果． 【详解】（1）解：设甲种文创产品每件的费用是x元，乙种文创产品每件的费用是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元； （2）解：设购进甲种文创产品m件，则购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 解得：， ∴或或； 答：共有三种购买方案，甲种文创产品买15件，乙种文创产品买6件；甲种文创产品买10件，乙种文创产品买12件；甲种文创产品买5件，乙种文创产品买18件． 20．绛州毛笔是中国传统名笔之一，从春秋战国时期至今已传承了两千多年，以胎毛、羊毫、兼毫、狼毫为最．某商店计划购进羊毫、兼毫两种毛笔共300支，其中两种毛笔的成本价和销售价如下表： 笔头类别 成本价（元/支） 销售价（元/支） 羊毫 15 25 兼毫 25 40 (1)若购进两种毛笔共花费6300元，求该商店购进羊毫、兼毫两种毛笔各多少支； (2)设购进兼毫毛笔m支，销售完这批毛笔获得的利润为元，若要保证任意一种毛笔都至少购进100支，试问应如何进货，才能使销售完这批毛笔获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该商店购进羊毫毛笔120支，兼毫毛笔180支 (2)购进羊毫毛笔100支，兼毫毛笔200支时，获得的利润最大，最大利润是4000元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系，利用一次函数的增减性求最值是解题的关键； （1）设该商店购进羊毫毛笔支，兼毫毛笔支，根据题意，列方程组求解； （2）由题知，商店购进兼毫毛笔支，羊毫毛笔支，根据题意求出利润关于的表达式，利用一次函数的增减性求利润的最大值，作答即可． 【详解】（1）设该商店购进羊毫毛笔支，兼毫毛笔支， 由题知，， 解方程组得． 答：该商店购进羊毫毛笔120支，兼毫毛笔180支． （2）由题知，商店购进兼毫毛笔支，羊毫毛笔支， 由解得， 利润为， ， 随的增大而增大， 又，为整数， 当时，利润有最大值，为4000元． 答：商店购进羊毫毛笔100支，兼毫毛笔200支，销售完这批毛笔获得的利润最大，最大利润是4000元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十六讲 二元一次方程组的应用 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：列二元一次方程组解实际问题 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1)审：认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系； (2)设：设未知数，可直接设，也可间接设； (3)列：根据等量关系列方程组； (4)解：求出所列方程组的解； (5)答：写出答案，包括单位名称 知识点02：列二元一次方程组解古算问题 古算问题的文字一般用古文叙述，弄清题意有一定困难，所以要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关系，列出方程组求解. 知识点03：列二元一次方程组解增收节支问题 在列方程组解有关经济问题时，应理解“增加了”“减少了”“增加到”“减少到”“翻一番”等词的意义，并掌握下列有关公式： (1) 销售问题，商品利润= 销售价格- 商品进价； 商品利润率=× 100 % 。 (2)储蓄问题，利息= 本金×利率×期数； 本息和= 本金+ 利息。 (3) 增长(降低)率问题， 增长率=×100％； 降低率=×100％ 增长后的量= 增长前的量×(1 + 增长率)； 下降后的量= 下降前的量×(1 － 降低率)。 考点1：方案问题 【典型例题】 某果农将采摘的20千克李子分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装3千克李子，每个小箱装2千克李子．大小箱都要装，且每箱都要装满，则装箱方案的种数共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式训练1】 某班有15名女同学参加夏令营活动，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【变式训练2】 已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 考点2：行程问题 【典型例题】 一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 考点3：数字问题 【典型例题】 有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 【变式训练1】 已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　） A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42 考点4：分配问题 【典型例题】 盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【变式训练2】 某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 考点5：古代问题 【典型例题】 我国明代数学读本《算法统宗》里有一道题，其题意为：客人一起分银两，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 【变式训练2】 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”假设树有棵，鸦有只，根据题意，以下方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 2．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒2位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚，问兽、鸟各有多少？设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为（  ） A． B． C． D． 6．哪吒和敖丙比试法术．假设哪吒施展一次“火莲绽放”消耗点灵力，敖丙施展一次“万龙甲”消耗点灵力．已知哪吒施展2次“火莲绽放”和敖丙施展3次“万龙甲”共消耗80点灵力，哪吒施展3次“火莲绽放”和敖丙施展2次“万龙甲”共消耗70点灵力．则下列结论错误的是（   ） A．， B． C． D． 7．如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有 种． 10．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成长比宽多75厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 厘米． 11．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ． 12．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是 ． 13．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要 小时． 14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：不知道甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱给甲一半，则甲有50钱；如果把甲的钱给乙，则乙也有50钱．问：甲乙二人原来各有多少钱？答：甲原有 钱，乙原有 钱． 15．一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是 ． 16．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 三、解答题 17．中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 18．某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 19．某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元． (1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ (2)若该商店决定花600元购进这两种文创产品，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案？请写出所有购买方案． 20．绛州毛笔是中国传统名笔之一，从春秋战国时期至今已传承了两千多年，以胎毛、羊毫、兼毫、狼毫为最．某商店计划购进羊毫、兼毫两种毛笔共300支，其中两种毛笔的成本价和销售价如下表： 笔头类别 成本价（元/支） 销售价（元/支） 羊毫 15 25 兼毫 25 40 (1)若购进两种毛笔共花费6300元，求该商店购进羊毫、兼毫两种毛笔各多少支； (2)设购进兼毫毛笔m支，销售完这批毛笔获得的利润为元，若要保证任意一种毛笔都至少购进100支，试问应如何进货，才能使销售完这批毛笔获得的利润最大？最大利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$