专题09一次函数的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

专题09一次函数的应用暑假预习讲义 1. 方法掌握：熟练运用待定系数法求一次函数、正比例函数解析式，明确一次函数需要两组坐标、正比例函数只需一组坐标即可求解参数。 2. 参数实际意义：读懂解析式中k代表单位变化量、b代表初始数值，结合行程、收费场景解释k、b的现实含义。 3. 图像信息提取：从行程、计费类函数图像中读取关键点坐标、拐点、交点数据，依托图像数值分析变量变化趋势。 4. 分段函数认知：看懂水电费、打车费这类分段计费问题，区分不同自变量区间对应的函数关系式，找准分段临界点。 5. 方案最优决策：针对两种消费方案，联立一次函数求交点，划分自变量区间，判断不同情况下最优省钱方案。 6. 函数与方程关联：理解一次函数y=kx+b中，令y=0可转化一元一次方程，借助函数图像求解方程、不等式。 7. 实际建模列式：梳理路程、利润、单价等量关系，建立一次函数模型，根据实际场景限定自变量取值范围。 8. 双函数图像应用：同一坐标系内两条一次直线，利用交点坐标分析两者数量相等时刻，对比函数值大小关系。 9. 规避高频易错点：待定系数法计算方程组出错；实际问题遗漏自变量非负、整数等取值限制；混淆分段函数各区间边界值。 10. 数学能力培养：强化数学建模与数形结合思想，学会把生活化问题转化函数问题，为二元一次方程组、后续函数综合题奠基。 预习必备知 识点梳理 1.一次函数应用问题求解思路 2.实际问题的解题步骤 3.一次函数图象解决问题的步骤 4.常见实际模型 + 核心公式 5. 一次函数最值问题 6.一次函数图象解决实际问题 7.两种一次函数方案选择 8.一次函数与一元一次方程 常考题型 精讲精练 1.分配方案问题 2.最大利润问题 3.行程问题 4.梯度计价问题 5.其他实际应用 6.一次函数与几何综合 7.直线与坐标轴交点求解方程 8.方程的解与直线x轴交点判定 9.图象法解一元一次方程 强化题型 解答题8题 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点03：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具 (如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较。 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 知识点04:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 知识点 05利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点 06一次函数最值问题（拔高综合） 1. 核心规律（结合自变量取值范围） k>0，y随x增大而增大： x取最大值→y最大；x取最小值→y最小； k<0，y随x增大而减小： x取最大值→y最小；x取最小值→y最大。 2. 题型场景 采购成本最低、利润最大、耗材最少、行程最短。 3. 解题步骤 （1）写出y=kx+b； （2）确定x取值范围m≤x≤n； （3）根据k正负判断增减，代入区间端点求最值 知识点 07 两种一次函数方案选择（拔高压轴） 1. 核心思路 设两种方案总费用： 方案①：y1=k1x+b1 方案②：y2=k2x+b2 分三步比较： 求交点：令y1=y2，解方程，求出临界x0； 分类讨论： 1 x=x0：两种方案费用相同； 2 x>x0：比较k大小，k越小越省钱； 3 x<x0：基础费b小的方案更划算。 2. 实用判断口诀 k代表单价，单价低适合量大；b代表基础费，基础费低适合量小。 知识点08:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 题型1.分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张． 【跟踪专练2】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【跟踪专练3】爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为了缅怀先烈我们学校计划组织名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的，两种型号客车中，租用辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用型号客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量 租金 30人/辆 400元/辆 25人/辆 300元/辆 (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (2)若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用． 题型2.最大利润问题 【典例】某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 【跟踪专练1】盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为________元． 【跟踪专练2】某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【跟踪专练3】某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． 题型3.行程问题 【典例】A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 【跟踪专练1】小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【跟踪专练2】甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速骑车到B地，甲先到B地后原地休息．甲、乙两人的距离（单位：）与乙骑车的时间（单位：）之间的关系如图所示，则A，B两地间的距离是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】小明和小刚分别从学校和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．小刚匀速骑自行车直接回学校，两人在出发分钟时相遇（不停留）．两人离学校的路程（米）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步的速度为_____米/分钟；步行的速度为_____米/分钟；点坐标为_____． (2)求小刚离学校的路程（米）与其离开出发地的时间（分钟）之间的函数关系式； (3)直接写出两人出发多长时间相距米． 题型4.梯度计价问题 【典例】学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 【跟踪专练1】某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 【跟踪专练2】为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【跟踪专练3】某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 题型5.其他实际应用 【典例】某水库的水位在小时内持续上涨，初始的水位高度为米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度（单位：米）关于时间（单位：小时）的函数解析式为________ 【跟踪专练1】汉中仙毫是中国国家地理标志产品．某茶叶专卖店推出优惠活动：若购买茶叶不超过2盒，按原价200元盒销售；若购买超过2盒，则超过2盒的部分按原价的8折销售．设某顾客购买该茶叶x盒（x为大于2的整数），所需支付的总费用为y元，则y与x之间的关系式可以表示为_________ 【跟踪专练2】漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 … （） 0 2 4 6 … （） 2 2.8 3.6 4.4 … 下列说法错误的是（     ） A．在实验开始时，水位是 B．与成一次函数关系 C．第7次数据记录时，水位应为 D．当水位为时，对应实验的时间是 【跟踪专练3】【综合与实践】 为落实劳动教育，某班在校园一角开辟直角梯形劳动实践基地，如图，，，，，，．老师计划在基地划出一块临时作业分区，由班长手持标杆从点A出发，沿着折线行走，到达点C后停止．标杆的位置记为点P，即为划定的临时作业分区，设班长行走的路程为x（单位：m），作业分区面积为y（单位：）． (1)当班长走到B点时，划定的作业分区面积y是多少? 【深入研究】 (2)求班长在行走过程中，作业分区面积y与行走路程x的函数关系式； 【问题解决】 (3)若老师要求作业分区面积恰好为，求班长的行走路程x． 题型6.一次函数与几何综合 【典例】如图，直线与直线互相垂直，则的值为_________． 【跟踪专练1】如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，则_______． 【跟踪专练2】如图，点P是直线上的动点， 在x轴上，当最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知四边形为矩形，点是边上的点，点是对角线AC上的点，，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)写出关于的函数关系式为_____，自变量的取值范围是_____； (2)求的面积s关于的函数关系式； (3)若的面积等于面积的一半时，求点的坐标． 题型7.直线与坐标轴交点求解方程 【典例】如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【跟踪专练1】一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，直线与经过点，的直线交于点．若点在直线上，点在直线上，且，则的值为_______________． 题型8.方程的解与直线x轴交点判定 【典例】已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【跟踪专练2】已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型9.图象法解一元一次方程 【典例】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【跟踪专练1】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 解答题 1．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 2．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 3．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求图中m的值及轿车的速度； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？ 4．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 5．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 6．已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 7．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 8．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一次函数的应用暑假预习讲义 1. 方法掌握：熟练运用待定系数法求一次函数、正比例函数解析式，明确一次函数需要两组坐标、正比例函数只需一组坐标即可求解参数。 2. 参数实际意义：读懂解析式中k代表单位变化量、b代表初始数值，结合行程、收费场景解释k、b的现实含义。 3. 图像信息提取：从行程、计费类函数图像中读取关键点坐标、拐点、交点数据，依托图像数值分析变量变化趋势。 4. 分段函数认知：看懂水电费、打车费这类分段计费问题，区分不同自变量区间对应的函数关系式，找准分段临界点。 5. 方案最优决策：针对两种消费方案，联立一次函数求交点，划分自变量区间，判断不同情况下最优省钱方案。 6. 函数与方程关联：理解一次函数y=kx+b中，令y=0可转化一元一次方程，借助函数图像求解方程、不等式。 7. 实际建模列式：梳理路程、利润、单价等量关系，建立一次函数模型，根据实际场景限定自变量取值范围。 8. 双函数图像应用：同一坐标系内两条一次直线，利用交点坐标分析两者数量相等时刻，对比函数值大小关系。 9. 规避高频易错点：待定系数法计算方程组出错；实际问题遗漏自变量非负、整数等取值限制；混淆分段函数各区间边界值。 10. 数学能力培养：强化数学建模与数形结合思想，学会把生活化问题转化函数问题，为二元一次方程组、后续函数综合题奠基。 预习必备知 识点梳理 1.一次函数应用问题求解思路 2.实际问题的解题步骤 3.一次函数图象解决问题的步骤 4.常见实际模型 + 核心公式 5. 一次函数最值问题 6.一次函数图象解决实际问题 7.两种一次函数方案选择 8.一次函数与一元一次方程 常考题型 精讲精练 1.分配方案问题 2.最大利润问题 3.行程问题 4.梯度计价问题 5.其他实际应用 6.一次函数与几何综合 7.直线与坐标轴交点求解方程 8.方程的解与直线x轴交点判定 9.图象法解一元一次方程 强化题型 解答题8题 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点03：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具 (如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较。 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 知识点04:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 知识点 05利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点 06一次函数最值问题（拔高综合） 1. 核心规律（结合自变量取值范围） k>0，y随x增大而增大： x取最大值→y最大；x取最小值→y最小； k<0，y随x增大而减小： x取最大值→y最小；x取最小值→y最大。 2. 题型场景 采购成本最低、利润最大、耗材最少、行程最短。 3. 解题步骤 （1）写出y=kx+b； （2）确定x取值范围m≤x≤n； （3）根据k正负判断增减，代入区间端点求最值 知识点 07 两种一次函数方案选择（拔高压轴） 1. 核心思路 设两种方案总费用： 方案①：y1=k1x+b1 方案②：y2=k2x+b2 分三步比较： 求交点：令y1=y2，解方程，求出临界x0； 分类讨论： 1 x=x0：两种方案费用相同； 2 x>x0：比较k大小，k越小越省钱； 3 x<x0：基础费b小的方案更划算。 2. 实用判断口诀 k代表单价，单价低适合量大；b代表基础费，基础费低适合量小。 知识点08:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 题型1.分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 【跟踪专练1】单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张． 【答案】 一 500 二 200 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可． 【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000； 故答案为：， （3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾． 若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张， 则有， 解得，与已知矛盾； 若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾． 故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二． 此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有， 解得，但此时，矛盾； 若采用方案二的购票超过100张，则有， 解得，此时，符合题意， 再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙． 故答案为：一、500，二、200． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题． 【跟踪专练2】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【跟踪专练3】爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为了缅怀先烈我们学校计划组织名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的，两种型号客车中，租用辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用型号客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量 租金 30人/辆 400元/辆 25人/辆 300元/辆 (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (2)若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用． 【答案】(1) 关于的函数解析式为，的取值范围是，且为整数 (2) 一共有种租车方案，最低租车费用为元 【分析】（1）由总费用为两种车型租金之和列函数解析式，结合载客量要求与车辆数为整数确定的取值范围； （2）根据总费用限制列不等式，结合的取值范围确定方案数，利用一次函数增减性求最低费用． 【详解】（1）解：∵租用型号客车辆，共租用辆客车， ∴租用型号客车辆， ∴； 由需搭载名学生，得 ， 解得； ∵，，即，且为整数， ∴，且为整数； 答：关于的函数解析式为，的取值范围是且为整数． （2）解：由租车总费用不超过元，得，解得； 结合（1）中且为整数， ∴，且为整数， ∴可取，，，，共种租车方案； ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：一共有种租车方案，最低租车费用为元． 题型2.最大利润问题 【典例】某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为________元． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了有理数的列式计算、一次函数的应用等知识点，正确运用一次函数的性质成为解题的关键． （1）直接根据题意列式计算即可； （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个，根据题意列二元一次方程可得，即销售C盲盒的个数为个；则迷你音箱的总成本，然后再确定x的取值范围，最后根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：（1）某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为：． 故答案为4． （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个， 则有：，解得：， 所以销售C盲盒的个数为个， 所以迷你音箱的总成本，整理得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，y有最大值， ∴迷你音箱的总成本最多为． 【跟踪专练2】某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】先根据数量关系得到甲图书数量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，根据一次函数增减性即可求出最小花费． 【详解】解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，总花费为元， ∵购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴的最小取值为， 甲种图书单价为元，乙种图书单价为元， ∴总花费， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，取得最小值，元， ∴本次购买本图书最少花费为1215元． 【跟踪专练3】某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． 【答案】(1) (2)购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设购买甲道具件，先求出a的取值范围，再设该公司付款总金额为元，列出w关于a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为，         则，解得， 即；                 当时，设函数解析式为，则， 解得 即，                             综上可知，； （2）解：设购买甲道具件，则 ， 解得，     设该公司付款总金额为元，则      ， 随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元． 题型3.行程问题 【典例】A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 【答案】 【分析】根据题意，小明与B地的距离等于A，B两地总距离减去小明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意可得， ∵x是骑行时间，不能为负数，∴， 当小明到达地时，代入得，解得， 因此最大为， 即． ∴y关于x的函数解析式为． 【跟踪专练1】小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 【跟踪专练2】甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速骑车到B地，甲先到B地后原地休息．甲、乙两人的距离（单位：）与乙骑车的时间（单位：）之间的关系如图所示，则A，B两地间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知甲、乙两人的距离达到最大值，进而得到乙的速度，再求距离即可． 【详解】解：从图象可知，在时，甲、乙两人的距离达到最大值， 这表明此时甲到达地，而乙还在途中， ∴是甲从地到地所用的时间． 在到这个时间段，甲在地休息，乙继续骑行，的时间乙骑行了． ∴乙的速度． ∵乙从地到地共用了， ∴、两地的距离． 【跟踪专练3】小明和小刚分别从学校和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．小刚匀速骑自行车直接回学校，两人在出发分钟时相遇（不停留）．两人离学校的路程（米）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步的速度为_____米/分钟；步行的速度为_____米/分钟；点坐标为_____． (2)求小刚离学校的路程（米）与其离开出发地的时间（分钟）之间的函数关系式； (3)直接写出两人出发多长时间相距米． 【答案】(1)，， (2) (3)两人出发分钟或分钟时，相距米 【分析】（1）根据函数图象，即可求解； （2）设小刚离学校的路程与其离开出发地的时间之间的函数关系式为，把和代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （3）设的解析式为，的解析式为，根据，，利用待定系数法求出的解析式为，的解析式为，分相遇前相距米和相遇后相距米两种情况，根据图象分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，小明开始跑步，中途改为步行， ∴小明分钟，跑步米， ∴小明跑步的速度为（米/分钟）， ∵小明到达图书馆恰好用了分钟，学校到图书馆的距离为米， ∴小明步行的速度为（米/分钟）， ∵小刚分钟骑自行车行驶（米）， ∴小刚骑自行车的速度为（米/分）， ∴小刚回学校所用时间为（分钟）， ∴点坐标为． （2）解：设小刚离学校的路程与其离开出发地的时间之间的函数关系式为， ∵和在的函数图象上， ∴， 解得：， ∴小刚离学校的路程与其离开出发地的时间之间的函数关系式为． （3）解：设的解析式为，的解析式为， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴的解析式为，的解析式为， 当相遇前相距米时，， 解得：， 当相遇后相距米时，， 解得：， 综上所述：两人出发分钟或分钟时，相距米． 题型4.梯度计价问题 【典例】学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 【答案】（为整数，且） 【分析】先求出超出部分的乒乓球的付款金额为元，再根据付款总金额球拍总金额盒乒乓球金额超出部分的乒乓球的付款金额列式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴超出部分的乒乓球的数量为盒， ∵超出部分的乒乓球按原价打八折， ∴超出部分的乒乓球的付款金额为元， ∴付款总金额为， ∴与之间的函数解析式为（为整数，且）． 【跟踪专练1】某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 【答案】 【分析】根据收费规则，当乘车距离千米时，乘车总费用由起步价和超出3千米部分的加收费用两部分组成，据此即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出3千米的行驶距离为千米， 总费用， ∴乘车费用与乘车距离之间的函数关系式为：． 【跟踪专练2】为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式． 【详解】解：当时， 人均用水量中，不超过部分的水费为 元， 超过部分的水量为，该部分水费为元． 因此人均水费为元， 已知王老师家有4口人，总应缴水费， 当时，与之间的函数关系式为． 【跟踪专练3】某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 (1)当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【答案】(1) (2)某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h． 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【详解】（1）解：由题意得，当时，． （2）解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． 题型5.其他实际应用 【典例】某水库的水位在小时内持续上涨，初始的水位高度为米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度（单位：米）关于时间（单位：小时）的函数解析式为________ 【答案】 【分析】总水位高度等于初始水位高度加上小时上涨的水位高度，根据上涨水位等于速度乘时间列关系式． 【详解】解： 已知初始水位高度为米，水位上涨速度为每小时米， 则小时上涨的水位高度为米， 因此总水位高度， 结合的取值范围， 可得函数解析式为． 【跟踪专练1】汉中仙毫是中国国家地理标志产品．某茶叶专卖店推出优惠活动：若购买茶叶不超过2盒，按原价200元盒销售；若购买超过2盒，则超过2盒的部分按原价的8折销售．设某顾客购买该茶叶x盒（x为大于2的整数），所需支付的总费用为y元，则y与x之间的关系式可以表示为_________ 【答案】 【分析】先算出前两盒的价格，再算出超出部分的单价，进而计算即可． 【详解】解：由题意得，前2盒按原价200元盒收费：（元）， 超过2盒的数量为盒，打8折的单价：（元盒）， ∴超出部分总费用：， ∵总费用为元， ∴ ． 【跟踪专练2】漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 … （） 0 2 4 6 … （） 2 2.8 3.6 4.4 … 下列说法错误的是（     ） A．在实验开始时，水位是 B．与成一次函数关系 C．第7次数据记录时，水位应为 D．当水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】 结合表格的数据分析，并求出与的函数关系式即可判断各选项． 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，故A正确，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，故与成一次函数关系，故B正确，不符合题意； 选项C：设与的函数关系式为，当时，；当时， ∴ 解得 ∴ 第7次数据记录时，，对应，故C正确，不符合题意； 选项D：当时，，解得，故D错误，符合题意． 【跟踪专练3】【综合与实践】 为落实劳动教育，某班在校园一角开辟直角梯形劳动实践基地，如图，，，，，，．老师计划在基地划出一块临时作业分区，由班长手持标杆从点A出发，沿着折线行走，到达点C后停止．标杆的位置记为点P，即为划定的临时作业分区，设班长行走的路程为x（单位：m），作业分区面积为y（单位：）． (1)当班长走到B点时，划定的作业分区面积y是多少? 【深入研究】 (2)求班长在行走过程中，作业分区面积y与行走路程x的函数关系式； 【问题解决】 (3)若老师要求作业分区面积恰好为，求班长的行走路程x． 【答案】(1)12 (2)或； (3)或 【分析】（1）根据三角形面积公式即可； （2）分两种情况，根据割补法和三角形面积公式求解即可； （3）把代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：当班长行走到点B时，． （2）解：①当班长在边上行走时，路程为x，则，，． ∴ 函数关系式： ②当班长在边上行走时， 路程，即， ∴， ∴ ∴函数关系式： （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 均符合题意， 综上：或． 题型6.一次函数与几何综合 【典例】如图，直线与直线互相垂直，则的值为_________． 【答案】 【分析】由直线与坐标轴交点得、，故为等腰直角三角形，．由两直线垂直得，从而，为等腰直角三角形，得，故．代入解得． 【详解】解：如图， 直线， 令，则， ， 令，则， ， ，且， 为等腰直角三角形， ， 直线与直线互相垂直，即， ，且， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为， 将代入直线，得，解得． 【跟踪专练1】如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，则_______． 【答案】 【分析】先依次计算前几组阴影面积，观察图形尺寸规律推导出第个图形中大、小矩形的边长，用大矩形面积减小矩形面积化简得到面积通项公式，最后把代入公式算出对应面积数值． 【详解】解：由题意得： 第个阴影：大矩形的长为，高为；小矩形的长为，高为， ∴ 当时， ． 【跟踪专练2】如图，点P是直线上的动点， 在x轴上，当最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接，则当点在线段上时，的值最小，求出直线的解析式，联立两条直线解析式，求出点P的坐标即可. 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小， ∵，为一三象限角平分线， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立，解得， ∴点P的坐标为. 【跟踪专练3】如图，已知四边形为矩形，点是边上的点，点是对角线AC上的点，，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)写出关于的函数关系式为_____，自变量的取值范围是_____； (2)求的面积s关于的函数关系式； (3)若的面积等于面积的一半时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先确定、两点坐标，用待定系数法设直线解析式，代入两点列方程组求解k、b，得到与关系式；再根据线段横向范围确定取值范围． （2）底边在轴上，三角形的高为点纵坐标，代入三角形面积公式，再把代入化简，得到面积关于的函数． （3）先算出面积，取它一半得到面积；将该面积代入函数式解方程求出，再把代入直线解析式算出，得到点坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴直线经过点和点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是线段上的点， ∴y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围是； （2）解：∵点的坐标在直线上， ∴， ∵，以为底，高为点纵坐标， ∵点N在第一象限， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点是边上的点，， ∴， 解得：， 代入求纵坐标：， 点坐标：． 题型7.直线与坐标轴交点求解方程 【典例】如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【分析】一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解是． 【跟踪专练1】一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可． 【详解】解：观察图象可知，一次函数的图象经过点， ， ， 关于的方程可变形为：， 即， ， ． 【跟踪专练2】如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，直线与经过点，的直线交于点．若点在直线上，点在直线上，且，则的值为_______________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据点在函数图象上的性质，用含的代数式分别表示出和，最后根据已知条件列出关于的方程求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把点，代入解析式， 则， 解得， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， ， 解得， 即的值为． 题型8.方程的解与直线x轴交点判定 【典例】已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 【详解】解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 题型9.图象法解一元一次方程 【典例】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 【跟踪专练1】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点问题，根据一次函数的图像即可知两直线交点的横坐标即方程的解． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 【跟踪专练3】一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是， 故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是， 故③正确． 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 解答题 1．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 2．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 3．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求图中m的值及轿车的速度； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？ 【答案】(1)； (2) (3)能 【分析】（1）根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）采用待定系数法，分段计算即可得出结果； （3）在中，当时，，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：由图象可得，轿车的速度为， ∴； （2）解：①设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， ∴， 由图象可得； 设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∴综上所述，； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴轿车在行驶过程中能与货车同时到达B地． 4．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 5．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 6．已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标； （2）根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明y随x的增大而增大； （3）联列函数和它的迭代函数，即可求出点P，故若点P的坐标为时，则有． 本题考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为； 故答案为：，； （2）证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，y随x的增大而增大， ∵、是其迭代函数图象上两个不重合的点， ∴当时，总有； （3）解：．证明如下： 由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点P， 联列可得：， 解得：， 即点P坐标为， ∴若点P的坐标为时，则m，n的数量关系为． 7．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 8．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 【答案】(1)3 (2)①；②；③， 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则，即 故答案为：； （2）①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $