暑期预习讲义（第7讲）——一次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第7讲）——一次函数的图象与性质 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识函数 2 【题型 1】函数的识别 2 【知识点二】认识一次函数 3 【题型 2】一次函数与正比例函数的辨析 3 【知识点三】画一次函数的图象 4 【题型 3】用列表、描点、连线画正比例函数图象 4 【题型 4】用列表、描点、连线画一次函数图象 6 【知识点四】一次函数的图象与性质（自学核心） 7 【题型 5】正比例函数图象 7 【题型 6】正比例函数图象的性质 8 【题型 7】一次函数图象的位置 9 【题型 8】一次函数的增减性 10 【题型 9】比较一次函数的大小 11 【题型 10】一次函数的与坐标轴交点 11 【知识点五】一次函数图象平移规律（必考、自学最易懂版本） 12 【题型 11】一次函数图象的平移 12 【题型 12】一次函数图象与性质综合 12 二.同步自测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.教材知识梳理 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握二元一次方程组所有计算核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】认识函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 【要点提示】 （1）前提条件：同一个变化过程中，存在两个变量（自变量x）和（因变量y）； （2）核心对应规则：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值和它对应（这是判断是否为函数的关键：一个x只能对应一个y，但一个y可以对应多个x）； （3）变量区分：主动变化的是自变量，随x被动变化的是因变量。 （4）三种表达形式：表格、关系式（解析式）、图象，三者可以互相转化，都能体现y与x的函数对应关系。 简而言之：构成函数基本特征 （1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性；（4）三种表达方式。 【题型 1】函数的识别 【例题1】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．根据图象回答下列问题： （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）当路程为时，小斌的速度是多少？ 【变式1】（天津市滨海新区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷）下列各曲线中，变量不是的函数的是（     ） A．   B．   C．   D．     【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）举出3个日常生活中遇到的变量与函数的例子． 【知识点二】认识一次函数 2.1、一次函数：形如 y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。自变量是 x，因变量是y。 2.2、正比例函数（特殊的一次函数）：当 b=0 时，y=kx（k≠0），叫做正比例函数。 【要点提示】正比例函数与一次函数关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 【题型 2】一次函数与正比例函数的辨析 【例题2】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． （1）当，为何值时，是的一次函数？ （2）当，为何值时，是的正比例函数？ 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若函数是关于x的正比例函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）正方形的面积与它的边长之间的关系； （2）某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； （3）小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【知识点三】画一次函数的图象 3.1 画函数图象的基本步骤： （1）列表：为了画出函数的图象，首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示； （2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：把这些点依次连接起来，得到的图象。 【题型 3】用列表、描点、连线画正比例函数图象 【例题3】（23-24八年级上·广西梧州·阶段检测）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． （1）列表：把下表补充完整为： …… … … … （2）描点并连线得函数图像： 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数图象经过点，求： （1）这个函数解析式； （2）在图中用描点法画出这个函数图象； （3）判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【变式3】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． （1）求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【结论】正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线。因此,画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。 【题型 4】用列表、描点、连线画一次函数图象 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）分别在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并指出每小题中两条直线的位置关系： （1）与； （2）与． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）给出函数．将下表补充完整，并在平面直角坐标系中画出函数的图象，在图象上标出横坐标为的点A，并写出它的坐标． x … 0 1 2 3 … y … … 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上：______、______、______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【结论】一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。它与正比例函数y=kx图象相互平行。因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点画直线就可以了。一次函数y=kx+b图象也称为直线y=kx+b。 3.2 两点法画图步骤（万能步骤，必背） （1）令 x=0，求出 y，得到与y轴交点（0,b）； （2）令 y=0，求出 x，得到与x轴交点； （3）在平面直角坐标系描两个点，连直线即可。 【知识点四】一次函数的图象与性质（自学核心） 4.1 正比例函数图象与性质 1、y=kx 图象一定经过原点 （0,0）的直线; 2、k的正负决定图象走向（自学观察总结）。 （1）当 k>0：图象经过一、三象限，y随x增大而增大（上坡）; （2）当 k<0：图象经过二、四象限，y随x增大而减小（下坡）。 3、正比例函数秒杀口诀：k正一三上坡增，k负二四下坡减。 【题型 5】正比例函数图象 【例题5】（25-26八年级下·福建南平·期中）已知正比例函数 的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）画出这个函数图象； （3）判断点，是否在这个函数图象上． 【变式1】（25-26八年级下·天津河西·期末）正比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一坐标系内画出正比例函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． 【题型 6】正比例函数图象的性质 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知正比例函数． （1）判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． （2）若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·周测）函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【变式2】（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的正比例函数． （1）当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ （2）当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4.2 一次函数 y=kx+b 图象与核心性质（本章重点） 1、k 的作用（决定增减、倾斜方向） （1）k>0：直线上坡，递增； （2）k<0：直线下坡，递减； （3）|k| 越大：直线越陡、越靠近y轴。 2、 b 的作用（决定上下位置、与y轴交点） （1）直线与 y 轴交点永远是：（0,b）; （2）b>0：交点在x轴上方; （3）b<0：交点在x轴下方; （4）b=0：过原点（变回正比例函数）。 3、 一次函数象限秒杀口诀（自学神器） （1）k正上坡看b值，b正一二三、b负一三四; （2）k负下坡看b值，b正一二四、b负二三四。 4、逐句解释（保证自学看懂） （1）k>0,b>0：过 一、二、三象限; （2）k>0,b<0：过 一、三、四象限; （3）k<0,b>0：过 一、二、四象限; （4）k<0,b<0：过 二、三、四象限。 【题型 7】一次函数图象的位置 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值． （1）图象经过第二、三、四象限； （2）图象与轴的交点在轴上方． 【变式1】（2026·浙江舟山·二模）一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过第________象限． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）联系一次函数的图象，回答下列问题： （1）当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ （2）当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【题型 8】一次函数的增减性 【例题8】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知函数是一次函数． （1）求m的值； （2）画出该一次函数的简易草图，并写出函数增减性． 【变式1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知一次函数过点，且随的增大而减小，则点在该函数图象上，的值可能是（     ） A．1 B．5 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知函数，如果函数值，那么相应的自变量x的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象位置大致如图所示，试分别确定k、b的正负号，并说出函数的性质． （1） （2） 【题型 9】比较一次函数的大小 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点和点都在直线上，试比较a与b的大小．你能想出几种判断方法？ 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）已知点、在一次函数的图象上，则、、0的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏盐城·二模）已知直线过点和，则a_____b（填“”、“”或“”）． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知与x成正比例，当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点、在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【题型 10】一次函数的与坐标轴交点 【例题10】（25-26八年级下·北京·课前预习）求一次函数的图象与轴、轴的交点坐标． 【变式1】（重庆市巴南区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． （1）求点，的坐标． （2）求的面积． （3）点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【知识点五】一次函数图象平移规律（必考、自学最易懂版本） 1、对于 y=kx+b （1）b变大，直线向上平移；b变小，直线向下平移； （2）k不变，斜率不变，直线只是上下移动、平行不旋转。 2、平移口诀: k同线平行，b变上下移 【题型 11】一次函数图象的平移 【例题11】（25-26八年级下·全国·单元复习）将函数的图象平移，使它经过点，求平移后的直线所对应的函数的表达式．你能想出几种不同的平移方法？请和同学交流一下． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）将直线向下平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课前预习）将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值． 【题型 12】一次函数图象与性质综合 【例题12】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知：与成正比例，且当时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； （3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【变式1】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【变式2】（23-24八年级上·福建宁德·期中）已知直线，现有以下结论： ①当时，y随x的增大而增大； ②当时，x每增加1，y增加2； ③无论k为何值，直线经过点（0，12）； ④原点到直线距离的最大值是13. 其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号） 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期中）已知函数，其中是自变量． （1）若此函数的图象平行于直线，求的值； （2）若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·上海·期末）下列图像中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若正比例函数经过第二、第四象限，则一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 4．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数向上平移3个单位得到直线l，则直线l的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）已知点和点在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，直线的函数表达式为（、为常数，且），当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）二元一次方程有无数组解，若把该方程所有的解都写成坐标的形式，在平面直角坐标系中描出所有的坐标表示的点，则形成的图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数是一次函数，则m的值为______． 12．（2026·河南·中考真题）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 13．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 14．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知一次函数（k，b是常数，且）的图象，当自变量时，的取值范围是____________． 15．（2026·江苏苏州·模拟预测）过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是________________ （只需写出一个即可）． 16．（25-26八年级下·上海·期末）已知直线与直线平行，那么k的值为____________． 17．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是_________． 18．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数是正比例函数． （1）求这个函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（20-21八年级上·江苏徐州·阶段检测）（1）填表，并画出函数的图像． （2）观察，函数图像不经过第 象限 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据函数的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而______（选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是______，图象与y轴的交点坐标是______； （3）当x______时，． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）和关于轴对称，画出． （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点若点在一次函数的图象上，一次函数图象与轴和轴围成的封闭区域（不含边界上的点）为，求区域内整点的个数． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． （1）当时， ；此时，P的坐标是 ． （2）当时，求l的解析式： （3）若点M，N位于l的两侧，确定t的取值范围； （4）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第7讲）——一次函数的图象与性质 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识函数 2 【题型 1】函数的识别 2 【知识点二】认识一次函数 4 【题型 2】一次函数与正比例函数的辨析 4 【知识点三】画一次函数的图象 6 【题型 3】用列表、描点、连线画正比例函数图象 6 【题型 4】用列表、描点、连线画一次函数图象 11 【知识点四】一次函数的图象与性质（自学核心） 15 【题型 5】正比例函数图象 15 【题型 6】正比例函数图象的性质 18 【题型 7】一次函数图象的位置 21 【题型 8】一次函数的增减性 23 【题型 9】比较一次函数的大小 26 【题型 10】一次函数的与坐标轴交点 28 【知识点五】一次函数图象平移规律（必考、自学最易懂版本） 30 【题型 11】一次函数图象的平移 30 【题型 12】一次函数图象与性质综合 31 二.同步自测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 42 一.教材知识梳理 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握二元一次方程组所有计算核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】认识函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 【要点提示】 （1）前提条件：同一个变化过程中，存在两个变量（自变量x）和（因变量y）； （2）核心对应规则：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值和它对应（这是判断是否为函数的关键：一个x只能对应一个y，但一个y可以对应多个x）； （3）变量区分：主动变化的是自变量，随x被动变化的是因变量。 （4）三种表达形式：表格、关系式（解析式）、图象，三者可以互相转化，都能体现y与x的函数对应关系。 简而言之：构成函数基本特征 （1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性；（4）三种表达方式。 【题型 1】函数的识别 【例题1】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．根据图象回答下列问题： （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）当路程为时，小斌的速度是多少？ 【答案】（1）解：y是x的函数， 理由：在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应； （2） 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，判断即可； （2）根据图象，当时，找到对应的y值即可． 解：（1）略 （2）解：根据图象可知，当时，，则小斌的速度为． 【变式1】（天津市滨海新区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷）下列各曲线中，变量不是的函数的是（     ） A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】根据函数的定义，对于自变量的每一个取值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从图像上看，就是作垂直于轴的直线，若直线与曲线最多只有一个交点，则是函数；若有两个或两个以上交点，则不是函数，据此分析即可． 解：A、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数，不符合题意； B、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数，不符合题意； C、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数，不符合题意； D、当时，对于每一个，都有两个值对应，不是函数，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个判断即可，对于的每一个确定值，有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 解：根据函数的定义，逐一判断： ① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义； ④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义． 因此是的函数的是①②． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）举出3个日常生活中遇到的变量与函数的例子． 【分析】解题时先明确初中函数的定义：在一个变化过程中存在两个变量，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则称因变量是自变量的函数，再依据定义从日常生活中选取符合要求的实例即可． 解：示例：1．电价固定时，每月电费是用电量的函数； 2．匀速行驶时，汽车行驶路程是行驶时间的函数； 3．商品单价固定时，购买商品的总花费是购买数量的函数（答案不唯一） 【知识点二】认识一次函数 2.1、一次函数：形如 y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。自变量是 x，因变量是y。 2.2、正比例函数（特殊的一次函数）：当 b=0 时，y=kx（k≠0），叫做正比例函数。 【要点提示】正比例函数与一次函数关系：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 【题型 2】一次函数与正比例函数的辨析 【例题2】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． （1）当，为何值时，是的一次函数？ （2）当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】（1），为任意实数时，是的一次函数；（2）当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 解：（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若函数是关于x的正比例函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）正方形的面积与它的边长之间的关系； （2）某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； （3）小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】（1），y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数；（2），y是x的一次函数，也是x的正比例函数；（3），y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 解：（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【知识点三】画一次函数的图象 3.1 画函数图象的基本步骤： （1）列表：为了画出函数的图象，首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示； （2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：把这些点依次连接起来，得到的图象。 【题型 3】用列表、描点、连线画正比例函数图象 【例题3】（23-24八年级上·广西梧州·阶段检测）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． （1）列表：把下表补充完整为： …… … … … （2）描点并连线得函数图像： 【答案】（1）补充表格见分析；（2）作图见详解 【分析】（1）当时，分别代入和求得对应的函数值，当时，分别代入和求得对应的函数值，然后将对应的函数值填入表格即可； （2）将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像，将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像． 解：（1）解：当时，，， 当时，，， ∴表格补充完整如下： …… … … … （2）描点并连线得，如图所示：      【点拨】本题考查正比例函数的图像，函数图像上点的坐标特征，函数图像上点的坐标适合解析式是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    【答案】 函数图象如图：    【分析】本题考查用列表法画正比例函数图象，解题思路为将已知值代入函数解析式求出对应值完成填表，再根据得到的点的坐标在坐标系中描点，最后连线即可得到函数图象，即可求解． 解：略 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数图象经过点，求： （1）这个函数解析式； （2）在图中用描点法画出这个函数图象； （3）判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）在，不在 【分析】（1）将点代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可． 解：（1）∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴； （2）正比例函数经过原点和点，且是一条直线， 如图所示， （3）将代入， ∴点在这个函数图象上； 将代入， ∴点不在这个函数图象上． 故答案为：在，不在． 【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． （1）求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】（1），函数图象见分析；（2） 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 解：（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． 函数图象如图所示， （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 【结论】正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线。因此,画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。 【题型 4】用列表、描点、连线画一次函数图象 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）分别在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并指出每小题中两条直线的位置关系： （1）与； （2）与． 【答案】（1）如图：；两条直线位置关系为平行；（2）如图：；两条直线位置关系为相交 解：（1）解：列表： 0 1 2 1 描点、连线，两个一次函数的图象，略； ∴两条直线位置关系为平行； （2）解：列表： 0 1 1 描点、连线，两个一次函数的图象，略； ∴两条直线位置关系为相交． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）给出函数．将下表补充完整，并在平面直角坐标系中画出函数的图象，在图象上标出横坐标为的点A，并写出它的坐标． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】见分析， 【分析】分别将x的值代入函数解析式求出对应的y值，再即可填表格，再用描点连线即可作图，标出点A，根据图象并写出它的坐标． 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 2 1 0 … 描点，连线画出函数的图象如图： 由图象可知，点A坐标． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上：______、______、______． 【答案】 A，F，G B，E，I C，D，H 【分析】根据函数解析式、列表的特点及一次函数的图像与性质即可求解． 解：y=-2x+1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 对应函数图象如下： y=x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -2 -1 0 1 … 对应函数图象如下： y=2x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 3 … 对应函数图象如下： 故答案为：A，F，G；B，E，I；C，D，H． 【点拨】此题主要考查一次函数图象与性质，解题的关键是熟知画一次函数的图象的方法． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【答案】图见分析，直线、直线和直线互相平行 解：作图如下， ∴直线、直线和直线互相平行． 【结论】一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。它与正比例函数y=kx图象相互平行。因此,画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点画直线就可以了。一次函数y=kx+b图象也称为直线y=kx+b。 3.2 两点法画图步骤（万能步骤，必背） （1）令 x=0，求出 y，得到与y轴交点（0,b）； （2）令 y=0，求出 x，得到与x轴交点； （3）在平面直角坐标系描两个点，连直线即可。 【知识点四】一次函数的图象与性质（自学核心） 4.1 正比例函数图象与性质 1、y=kx 图象一定经过原点 （0,0）的直线; 2、k的正负决定图象走向（自学观察总结）。 （1）当 k>0：图象经过一、三象限，y随x增大而增大（上坡）; （2）当 k<0：图象经过二、四象限，y随x增大而减小（下坡）。 3、正比例函数秒杀口诀：k正一三上坡增，k负二四下坡减。 【题型 5】正比例函数图象 【例题5】（25-26八年级下·福建南平·期中）已知正比例函数 的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）画出这个函数图象； （3）判断点，是否在这个函数图象上． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）点不在函数图象上；点在函数图象上 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）过原点和画出函数图象即可求解； （3）分别将，，代入解析式，求得函数值，即可求解． 解：（1）解：正比例函数（）的图象经过点， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）当时， 如图： （3）将，代入中，得 ， 点不在函数图象上； 将 ，代入中，得， 点在函数图象上 【变式1】（25-26八年级下·天津河西·期末）正比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】根据正比例函数的性质解题即可． 解：正比例函数中，， ∴的图象经过第二、四象限． 【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是________． 【答案】/ 【分析】正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 解：由图象可知：函数①②的图象过第一、三象限，故，， 函数③的图象过第二、四象限，故， 函数②的图象比函数①的图象更靠近轴，故， 综上，，即． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一坐标系内画出正比例函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． 【答案】（1）画图见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查正比例函数的图象绘制和两直线垂直的判定（斜率之积为），运用图象法和归纳猜想思想．解题关键是掌握正比例函数图象过原点的性质，准确绘制图象；易错点是绘制图象时找点错误，或忽略斜率之积与垂直的关系． （1）绘制正比例函数图象：对于，取点，过原点和画直线．对于，取点，过原点和画直线． （2）测量交角并猜想：用量角器测量两直线交角为，结合两函数斜率和之积为，猜想：当两个一次函数的斜率之积为时，两条直线互相垂直（交角为）． 解：（1）如图： （2）两条直线的交角为；当两个一次函数两系数之积为时，两条直线的交角为，即垂直． 【题型 6】正比例函数图象的性质 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知正比例函数． （1）判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． （2）若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 【答案】（1）不在，理由见分析；（2） 【分析】（1）计算时，对应的函数值，若等于，在正比例函数的图象上，反之不在． （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了点与图象的关系，函数的增减性解题，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）解：当时，， 故点不在正比例函数的图象上． （2）解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·周测）函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，由正比例函数图象在第二、四象限可得，再分析一次函数图象所经象限，即可求解． 解：∵函数的图象在第二、四象限 ，， 一次函数中，，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式2】（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的正比例函数． （1）当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ （2）当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 【答案】（1）当时，函数图象经过第一、三象限；（2）当时，y的值随着x值的增大而减小 【分析】本题考查正比例的图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据正比例函数比例系数大于0时图象经过第一、三象限； （2）根据正比例函数的性质解答即可． 解：（1）解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限； ∴， 解得：； ∴当时，图象经过一、三象限； （2）解：∵正比例函数中y随着x的增大而减小； ∴， 解得：； ∴当时，y随着x的增大而减小． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 解：（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 4.2 一次函数 y=kx+b 图象与核心性质（本章重点） 1、k 的作用（决定增减、倾斜方向） （1）k>0：直线上坡，递增； （2）k<0：直线下坡，递减； （3）|k| 越大：直线越陡、越靠近y轴。 2、 b 的作用（决定上下位置、与y轴交点） （1）直线与 y 轴交点永远是：（0,b）; （2）b>0：交点在x轴上方; （3）b<0：交点在x轴下方; （4）b=0：过原点（变回正比例函数）。 3、 一次函数象限秒杀口诀（自学神器） （1）k正上坡看b值，b正一二三、b负一三四; （2）k负下坡看b值，b正一二四、b负二三四。 4、逐句解释（保证自学看懂） （1）k>0,b>0：过 一、二、三象限; （2）k>0,b<0：过 一、三、四象限; （3）k<0,b>0：过 一、二、四象限; （4）k<0,b<0：过 二、三、四象限。 【题型 7】一次函数图象的位置 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值． （1）图象经过第二、三、四象限； （2）图象与轴的交点在轴上方． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据一次函数图象经过的象限列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据一次函数的定义和图象与轴的交点在轴上方列出不等式，解不等式即可． 解：（1）解：∵图象经过第二、三、四象限， ， 解得 （2）∵图象与轴的交点在轴上方， ，， ， 【变式1】（2026·浙江舟山·二模）一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过第________象限． 【答案】一、三、四 【分析】根据一次函数的性质，通过和的符号即可判断函数图象经过的象限． 解：一次函数中，， ， 一次函数的图象经过第一、三、四象限． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）联系一次函数的图象，回答下列问题： （1）当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ （2）当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【答案】（1）当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限；（2）当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限 【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可； （2）画出时，时的图象，根据图象解答即可． 解：（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限； 当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限； （2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限； 当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限． 【题型 8】一次函数的增减性 【例题8】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知函数是一次函数． （1）求m的值； （2）画出该一次函数的简易草图，并写出函数增减性． 【答案】（1）；（2）如图， 随的增大而减小， 【分析】（1）根据，求m的值即可； （2）根据解析式求出两个点的坐标，过这两点作直线即可，根据k值的属性写出增减性即可． 解：（1）解：函数是一次函数， ， ， ． （2）解：， 故函数解析式为：， 故y随x的增大而减小， 当时，；当时，，画图象草图略 【变式1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知一次函数过点，且随的增大而减小，则点在该函数图象上，的值可能是（     ） A．1 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据一次函数的增减性确定，再将已知点代入解析式得到与的关系，再将点代入得到和的关系，结合得到的取值范围，据此筛选符合条件的选项． 解：∵一次函数中随的增大而减小， ∴． ∵函数图象经过点， 将，代入解析式得， ∴． ∵点在该函数图象上， ∴，代入解析式得． 把代入上式，得， 整理得． ∵， ∴， 选项中只有，符合条件． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知函数，如果函数值，那么相应的自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，先求出函数值时对应的自变量的值，再结合一次函数的增减性即可求出时自变量的取值范围． 解：当时，， 移项得， 解得， ∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，， 故答案为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象位置大致如图所示，试分别确定k、b的正负号，并说出函数的性质． （1） （2） 【答案】（1），，其性质为y随x的增大而减小；（2），，其性质为y随x的增大而增大． 【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．据此作答即可． 解：（1）解：由图象可知y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交， ∴，，其性质为y随x的增大而减小； （2）解：由图象可知y随x的增大而增大，图象与y轴的正半轴相交， ∴，，其性质为y随x的增大而增大． 【题型 9】比较一次函数的大小 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点和点都在直线上，试比较a与b的大小．你能想出几种判断方法？ 【答案】，共有2种常用判断方法（答案不唯一） 方法1：（代入计算法）已知直线解析式为， 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， 由可得； 方法2：（一次函数增减性判断法）直线中，一次项系数 则随的增大而增大，由可得； 因此共有2种判断方法． 【分析】本题有两种常用解题思路，第一种是将两点的横坐标代入直线解析式，计算出和的具体值后比较大小；第二种利用一次函数的增减性，通过比较横坐标大小得到函数值的大小关系． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）已知点、在一次函数的图象上，则、、0的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可将两点的横坐标代入一次函数解析式， 求出与的值后，再与0比较大小得到关系，即可求解． 解： 点，在一次函数的图象上 把代入，得 把代入，得 【变式2】（2026·江苏盐城·二模）已知直线过点和，则a_____b（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 解：， 随的增大而减小， 又直线过点和，且， ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知与x成正比例，当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点、在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质解决问题． 解：（1）解：设， ∵时，， ∴， 解得， ∴， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而减小， 而， ∴． 【题型 10】一次函数的与坐标轴交点 【例题10】（25-26八年级下·北京·课前预习）求一次函数的图象与轴、轴的交点坐标． 【答案】与轴交点；与轴交点 【分析】分别求出令和时相应的的值，即可得出结论． 解：与轴交点：令，， 则一次函数的图象与轴的交点为； 与轴交点：令，， 解得， 则一次函数的图象与轴的交点为． 【变式1】（重庆市巴南区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】y轴上所有点的横坐标为0，将代入一次函数解析式，即可求出对应的y值，得到交点坐标． 解：将代入得：， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是． 【变式2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积． 解：当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． （1）求点，的坐标． （2）求的面积． （3）点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】（1），；（2）6；（3）点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 解：（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 【知识点五】一次函数图象平移规律（必考、自学最易懂版本） 1、对于 y=kx+b （1）b变大，直线向上平移；b变小，直线向下平移； （2）k不变，斜率不变，直线只是上下移动、平行不旋转。 2、平移口诀: k同线平行，b变上下移 【题型 11】一次函数图象的平移 【例题11】（25-26八年级下·全国·单元复习）将函数的图象平移，使它经过点，求平移后的直线所对应的函数的表达式．你能想出几种不同的平移方法？请和同学交流一下． 【答案】平移后的直线对应的函数表达式为，常见平移方法有多种，可以为向下平移8个单位长度或向右平移4个单位长度，平移方法不唯一． 【分析】设平移后的解析式为，将点代入可得出值，进而求得解析式． 解：设平移后的解析式为， 将点代入得， ，解得 ． ∴平移后的解析式为． 平移方法：①函数的图象经过点，与点比较，即可得出直线向下平移8个单位长度； ②函数的图象经过点，与点比较，即可得出直线向右平移4个单位长度． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）将直线向下平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图像平移规则“上加下减”，向下平移时在原函数值上减去平移单位长度． 解：∵ 将直线向下平移6个单位长度，符合平移规则“上加下减”， ∴ 所得直线的解析式为 ． 【变式2】（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可，掌握平移规律是解题的关键． 解：将直线：向左平移个单位长度，得到直线的解析式为， 又：， ，解得． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课前预习）将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值． 【答案】 解：设平移后的直线的解析式为， ∵ 直线经过点， ∴， 整理得：． 【题型 12】一次函数图象与性质综合 【例题12】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知：与成正比例，且当时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； （3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）设，再将，代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，由，得出随着的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果； （3）设平移后的函数解析式为，将代入解析式计算即可得出结果． 解：（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，y的值为4， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵点、点是该函数图象上的两点，且， ∴； （3）解：设平移后的函数解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴平移后的函数解析式为． 【变式1】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项即可． 解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线， ∴平移后直线解析式为，即，， ∴直线经过第一、二、三象限，故A错误． 对于，令，得， 解得， ∴ 直线与轴交于，B错误． 对于，令，得， ∴ 直线与轴交于，C正确． 选项D：∵ ， ∴ 随的增大而增大，D错误． 【变式2】（23-24八年级上·福建宁德·期中）已知直线，现有以下结论： ①当时，y随x的增大而增大； ②当时，x每增加1，y增加2； ③无论k为何值，直线经过点（0，12）； ④原点到直线距离的最大值是13. 其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④/④② 解：本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，点到直线的距离，根据一次函数的性质可判断①②，③解析式化成，即可求得总是经过点；④直线总是经过一个固定的点，则点到直线的距离的最大值为两点之间的距离，根据勾股定理求得即可． 【解答】解：当时，则一次函数为，y随x的增大而减小；故①不正确 当时，则一次函数为，x每增加1，y增加2，故②正确 ， 直线总是经过一个固定的点；故③不正确 总是经过一个固定的点， 点到直线的距离的最大值为两点之间的距离， 原点到直线的距离存在最大值，最大值为，故④正确． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期中）已知函数，其中是自变量． （1）若此函数的图象平行于直线，求的值； （2）若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 【答案】（1）；（2）；四 【分析】（1）根据两直线平行，值相等，列出方程进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，求出的范围，根据的符号，判断函数经过的象限即可. 解：（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵此函数值随值的增大而增大， ∴， ∴； ∵，， ∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限. 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·上海·期末）下列图像中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：选项A，图像中，对于每一个x，都有唯一一个y值与之对应，能表示y是x的函数； 选项B，图像中，对于每一个x，都有唯一一个y值与之对应，能表示y是x的函数； 选项C，图像中，对于每一个x，不止有唯一一个y值与之对应，不能表示y是x的函数； 选项D，图像中，对于每一个x，都有唯一一个y值与之对应，能表示y是x的函数． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若正比例函数经过第二、第四象限，则一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的图象性质确定的符号，再根据一次函数的图象性质判断一次函数经过的象限，即可得出答案. 解：∵正比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， 对于一次函数， ∵一次项系数，常数项， ∴图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限. 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】一次函数中，时图象经过第一、三象限，截距时图象与轴交于正半轴，经过第二象限． 解：将函数整理为，可得，截距为， 函数图象经过第一、二、三象限，已经满足图象过第一、三象限，要经过第二象限，需图象与轴交于正半轴，即， 解得． 4．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数向上平移3个单位得到直线l，则直线l的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照“上加下减”的规律，解答即可． 解：将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的图象的解析式为． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 6．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）已知点和点在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的增减性，比较两点横坐标的大小，即可得到函数值和的大小关系. 解：∵ 在一次函数中，， ∴ 随的增大而减小， 又∵ 点，在直线上，且， ∴ . 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，直线的函数表达式为（、为常数，且），当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，是轴上一点，得出点Q一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 解：∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，Q是x轴上一点， ∴Q一定在x轴负半轴上， ∴只有符合，故A正确． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 9．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）二元一次方程有无数组解，若把该方程所有的解都写成坐标的形式，在平面直角坐标系中描出所有的坐标表示的点，则形成的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的定义以及一次函数图象的性质是解题的关键．由得到，再根据一次函数图象的性质判断其经过的象限即可解答． 解：由得， ，， 直线经过第一、三、四象限． 故选：D． 10．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，过象限的问题，与正半轴的交点问题． 逐一分析四个结论的正确性，结合一次函数的图象与性质进行判断． 解：结论①：将点代入函数， 得， ∴无论取何值（），均满足，故①正确； 结论②：当时，则， ∴， ∴函数图象经过第一、第三、第四象限，因此会经过第三象限，故②错误； 结论③：函数与轴交点为， 当时，若（如），则，交点在负半轴； 若，则，交点在正半轴， 结论③未限定的具体范围，故③错误； 结论④：当时，，随着的增大而减小， ∵点的值小于的值， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①④， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 12．（2026·河南·中考真题）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】正比例函数的一般形式为，由图象经过第一、三象限可得，写出一个满足条件的表达式即可． 解：取，满足， 因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为（答案不唯一）． 13．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 【答案】二 【分析】将已知一次函数解析式变形，可求出函数恒过的定点，根据定点所在象限即可得到结论. 解：对一次函数解析式变形可得 ， ∴当时，， ∴一次函数的图象恒过定点， ∵点在第二象限， ∴这个函数的图象一定经过第二象限． 14．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知一次函数（k，b是常数，且）的图象，当自变量时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】观察函数图象，确定直线与轴的交点坐标，根据图象在轴左侧部分的位置即可得出当时的取值范围． 解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知随的增大而减小， ∴当时，图象位于点的上方， ∴的取值范围是． 15．（2026·江苏苏州·模拟预测）过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是________________ （只需写出一个即可）． 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查一次函数的图象性质，理解“直线上的点坐标都满足函数解析式”是解题关键． 点需在一次函数的图象上，且不同于点，故可任取一个不为的值计算对应值． 解：已知一次函数解析式， 取，则， 故点坐标可为． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·上海·期末）已知直线与直线平行，那么k的值为____________． 【答案】/ 【分析】根据两直线平行的条件即可求出的值． 解：∵直线与平行， ∴，且，满足条件． 17．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得一次函数经过定点，即可得出当点与定点重合时，取最大值，结合勾股定理即可求解． 解：∵， ∴一次函数经过定点， ∴当点与定点重合时，取最大值， 点分别向作轴，轴做垂线， 由勾股定理可得最大值为， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数是正比例函数． （1）求这个函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不在，理由见分析 【分析】（1）根据正比例函数的定义列出方程组，解方程组即可； （2）将点的横坐标代入函数解析式，看得到的纵坐标是否与已知纵坐标相等，据此判断即可． 解：（1）解：函数是正比例函数， ， 解得， 这个函数的解析式为； （2）解：当时，， 则点不在这个函数的图象上． 20．（本小题满分8分）（20-21八年级上·江苏徐州·阶段检测）（1）填表，并画出函数的图像． （2）观察，函数图像不经过第 象限 【答案】（1）见详解；（2）二 【分析】本题考查了一次函数图像的表达式及代入求值，一次函数图像的绘制方法，一次函数的性质． 熟练掌握一次函数图像的表达式及代入求值，一次函数图像的绘制方法，一次函数的性质是解题的关键． （1）代入，可得；代入，可得，然后填入表格，利用， 两个点画出函数图像； （2）根据（1）画出的函数图像判断函数图像经过的象限． 解：（1） 的图像： （2）解：观察函数图像不经过第二象限． 故答案为：二． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据函数的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而______（选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是______，图象与y轴的交点坐标是______； （3）当x______时，． 【答案】（1）减小；（2）；；（3） 【分析】本题考查一次函数图象与性质，（1）由一次函数图象求解即可； （2）由一次函数图象求解即可； （3）由一次函数图象求解即可． 解：（1）由图可得，y的值随x值的增大而减小, 故答案为：减小． （2）由图象得，图象与x轴的交点坐标是，图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：，． （3）由图象得，当时，． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）和关于轴对称，画出． （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点若点在一次函数的图象上，一次函数图象与轴和轴围成的封闭区域（不含边界上的点）为，求区域内整点的个数． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）整点的个数为 【分析】本题考查作图-复杂作图，一次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据A，B，C的坐标，作出三角形即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）画出图形，利用图象法求解． 解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）点在一次函数的图象上， 直线经过点，点， 观察图象可知满足条件的区域内的整点为，个数为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】（1）点，点；（2） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． （1）当时， ；此时，P的坐标是 ． （2）当时，求l的解析式： （3）若点M，N位于l的两侧，确定t的取值范围； （4）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 【答案】（1）2；；（2）；（3）；（4）当时，落在y轴上，当时，落在x轴上． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； （3）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围； （4）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出中点坐标，最后分别求出时间t的值． 解：（1）解：当时，， 则， ∴点P的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为，代入， ∴， ∴直线l的表达式为：； （3）解：当直线l过点M时， 将代入直线l的表达式：得：， 解得：， ∴； 当直线l过点N时，同理可得：， 故t的取值范围为：； （4）解：如图，过点M作，交y轴于点F，交x轴于点E，设点E、F分别为点M在坐标轴上的对称点． 过点M作轴于点D，则，． 对于直线， ∵当时，；当时，， ∴直线l与坐标轴的夹角为， ∴， ∴与均为等腰直角三角形， ∴， ∴，． ∵，， ∴线段中点坐标为， 直线过点，则， 解得：， ∴； ∵，， ∴线段中点坐标为． 直线过点，则， 解得：， ∴． 故点M关于l的对称点，当时，落在y轴上，当时，落在x轴上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $