专题09线段.射线.直线暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

专题09线段.射线.直线暑假预习讲义 1. 概念辨识：掌握直线、射线、线段定义，分清三者端点差异；牢记三种图形规范的字母表示方法。 2. 公理掌握：理解两点确定一条直线、两点之间线段最短两个基本事实；明确两点间距离指线段的长度。 3. 规范作图：能按要求画出直线、射线、线段，分清延长线段、反向延长射线的正确画法。 4. 线段运算：会用度量法、叠合法比较线段长短；理解线段中点含义，利用中点进行线段和、差计算。 5. 语言转化：实现文字语言、图形、几何符号相互转化，准确描述点与直线的位置关系。 6. 识图计数：在复合图形中准确数出线段、射线，避免重复或者漏数。 7. 易错规避：混淆延长与反向延长；误认为射线、直线能够度量长度；把距离当成线段图形。 8. 素养目标：建立严谨的几何规范意识，为后续角、相交线等几何内容打好基础 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段 2.直线两大基本事实 3.点与直线的位置关系 4.线段相关核心知识点 5.计数类题型规律 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的数量问题 2.直线相交的交点个数问题 3.线段的应用 4.直线.线段.射线的联系与区别 5.画出直线.线段.射线 6.点与线的位置关系 7.两点确定一条直线 8.线段的和与差 9.线段中点的有关计算 10.线段n等分点的有关计算 11.线段之间的数量关系 12.与线段有关的动点问题 13.两点之间线段最短 14.两点间的距离 15.作线段 强化题型 解答题6题 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03 点与直线的位置关系 平面内一个点和一条直线只有两种位置： 1.点在直线上（直线经过点） 几何语言：点A在直线l上 / 直线l经过点A 2.点在直线外（直线不经过点） 几何语言：点B在直线l外 / 直线l不经过点B 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 1） 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 2） 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05：线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 知识点 06 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 知识点 07本章高频易错汇总 1.混淆射线表示：射线AB与射线BA是两条不同射线； 2.概念混淆：距离是长度（数值），线段是图形，不能等同； 3.误认为射线、线段可以度量长度（只有线段可量）； 4.忽略 “两点确定一条直线” 中 “有且只有” 的唯一性； 5.数线段重复、漏数，不会套用计数公式； 6.作图语言错误：“连接直线AB”（直线无限长，不能连接）； 7.延长射线说法错误：射线本身无限延伸，只能反向延长； 8.判定中点只看图相等，不满足数量等量关系。 题型1.直线.线段.射线的数量问题 【典例】一条铁路上有10个站，需要制作________种火车票． 【答案】 90 【分析】从甲站到乙站与从乙站到甲站是两种不同的火车票，结合总站点数计算总票数即可； 【详解】解：由题意得，共有个站点，每个站点需要开往其余个站点的不同火车票， 因此总票数为：. 【跟踪专练1】小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线的数量问题，画出符合题意的直线即可求解． 【详解】解：画出直线如图， 共有条直线， 故选：D． 【跟踪专练2】现在有10个城市在地图上的位置恰好构成一个十边形，为了确保任意两个城市之间都有直飞航班，一共需要准备________种不同的飞机票． 【答案】 【分析】本题考查了排列问题，类比线段数量问题，根据每个城市到其他城市有9种不同的线路，再乘以即可求解． 【详解】解： (种)， 即一共需要准备种不同的飞机票， 故答案为：． 【跟踪专练3】往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（  ） A．12种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】此题考查线段的数量问题，将车站与车站之间的距离转化成线段，不同的距离表示为不同的线段，用列举法直接求线段数量即可． 【详解】解：设，两地的中间两个站分别为C、D， ∵客运站根据两站之间的距离确定票价，距离不相等票价就不同， 又∵有、、、、、，共6条不同的线段， ∴不同的票价共有6种． 故选：C． 题型2.直线相交的交点个数问题 【典例】平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】本题考查平面中不重合的直线交点个数问题，准确分类讨论是解题关键．平面中不重合的三条直线可能平行或相交，相交时又可以分为两直线平行且和第三条直线相交，或三条直线相交于一点，或三条直线两两相交，据此分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 综上，平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是0或1或2或3． 故选：D． 【跟踪专练1】平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【答案】64 【分析】本题考查了直线的交点问题，熟练掌握 （，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点是解题的关键．由题意可得，再代入适当的值，计算即可得出结果． 【详解】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点， 由题意可得， 当时，最大交点数为， 当时，最大交点数为， ∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64， 故答案为：64． 【跟踪专练2】将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 【答案】B 【分析】先根据题目找出块数与刀数的规律，再进行求解即可． 【详解】∵要想切的块数最多，则每一刀都要与所有已切过的刀都相交， ∴每多切刀都与前面刀相交，增加块， ∵圆原本是1块， ∴切12刀，最多能把圆分成（块）， 故选：B． 题型3.线段的应用 【典例】如图所示，___．    【答案】 【分析】根据图观察可知道点是线段上的一点即可推出答案. 【详解】解：由题图可知，线段是线段的一部分， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的长短问题．题目比较简单，如何比较线段大小是解题的关键． 【跟踪专练1】从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【答案】A 【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数． 【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票， ∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种）， 故选：A． 【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 【跟踪专练3】2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 题型4.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的基本概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，∵点的表示应使用大写英文字母，∴点表示错误，A错误． 对于选项B，∵直线本身向两方无限延伸，不存在延长线，∴B错误． 对于选项C，∵射线的端点为，射线的端点为，端点不同，不是同一条射线，∴C错误． 对于选项D，∵线段仅由两个端点确定，与端点顺序无关， ∴线段和线段是同一条线段，D正确． 【跟踪专练2】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 题型5.画出直线.线段.射线 【典例】如图，已知三点，画直线，画射线，连接，按照上述语句画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段，掌握直线、射线和线段的区别是解决问题的关键．依据直线、射线和线段的画法，即可得出图形． 【详解】解：画直线，画射线，连接，如图所示： 故选：C． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 【跟踪专练2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 【详解】A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 题型6.点与线的位置关系 【典例】如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 【跟踪专练1】直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有_________（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型7.两点确定一条直线 【典例】今年的植树节，某校组织学生参加义务植树活动．为了使每一列树都栽种在一条直线上，爱思考的小亮说：“只要在一列上定出两棵树的位置，就能保证一列上的所有树在一条直线上”．用数学知识解释其道理应是（     ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两直线平行，同位角相等 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：∵题干中定出两棵树的位置，本质是确定两个点，要确定所有树共线，即要通过两个点确定一条唯一的直线， ∴对应的数学道理是“两点确定一条直线”． 【跟踪专练1】工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，用数学知识解释其中的道理是_____________________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，用数学知识解释其中的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分两步走，通过充分性和必要性来具体分析． 【详解】解：分两步，充分性， 设直线经过，， 、 、 、都是整数，， 设：，， 则直线， 当，即时，为整数， 、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选： C． 【点睛】本题考查两点确定一条直线，掌握本题中的分情况讨论，正确写出解答过程是解题关键． 题型8.线段的和与差 【典例】如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【答案】8 【分析】根据线段的和差和等量代换，即可进行解答． 【详解】解：， ，即， ， ． ，， ，即， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如果cm，cm，且点，，在同一直线上，那么点，间的距离等于_____． 【答案】或 【分析】由于点的位置未明确，需分两种情况进行讨论，分别计算，两点间的距离． 【详解】解：分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，． 故答案为或． 【跟踪专练3】如图1，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），A、B两点在线段上，且，．现将该细线沿点A折叠，使点B落在处，如图2所示．分别在点B和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，根据比例关系合理设出细线的长度是解题的关键． 根据，，，的比例关系，设线段为，求出对应的线段长度即可解得． 【详解】解：设，则，，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，， ∴． 故选：D． 题型9.线段中点的有关计算 【典例】如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据点 是线段的中点，得出，因为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵点是线段 的中点，， ∴， ∵， ∴， 则． 【跟踪专练1】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是掌握各线段间的关系．根据线段中点的定义可得，，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：点是线段的中点， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，C是线段上任意一点，M，N分别是的三等分点且，，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差与等分关系，解题的关键是通过线段等分关系将转化为的比例形式． 先根据三等分点得出、，再将表示为，结合，代入的长度计算得． 【详解】解：已知是的三等分点（）， 则； 是的三等分点（）， 则． ． 因为， 所以． 故选C． 题型10.线段n等分点的有关计算 【典例】把线段九等分，每一段的长度为，则线段的总长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 线段被九等分，每段长度为，总长度等于每段长度乘以段数，据此即可求解． 【详解】∵把线段九等分，每一段的长度为， ∴线段的总长度为， 故选：B． 【跟踪专练1】点A、B、C是线段的四等分点，若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 由题意可确定是线段的三等分点，而，即可求解的长度． 【详解】解：∵点A、B、C是线段的四等分点，， ∴是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 【跟踪专练3】某快递运输车队从城到B城有一天的行程，计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭．由于路况不佳，中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一，过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息．司机表示：“再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了”．则城到城的路程为（   ） A．480千米 B．560千米 C．640千米 D．720千米 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的运算． 根据题意得出千米，，千米， ，从而得出，，求出千米，即可求出城到城的路程． 【详解】解：∵计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭， ∴千米， ∵中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一， ∴， ∵过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息， ∴千米， ∵到地后再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了 ∴， ∴，， 则千米， ∴千米． 故选：A． 题型11.线段之间的数量关系 【典例】如图，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段的“2倍点”． （1）线段的中点______这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） （2）若，点C是线AB段的“2倍点”，则的长为______． 【答案】 是 6或12或9 【分析】（1）根据“2倍点”的定义即可求解； （2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可； 【详解】（1）∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“2倍点”； （2）∵，点C是线段的“2倍点”， 若C在中点的左边，则； 若C在中点的右边，则； 若点C在中点，则． 故的长度为6或12或9． 【点睛】本题考查线段的和差倍分．（1）能理清题意，并根据题意进行判断是解决此题的关键；（2）能分情况讨论是解决此题的关键． 【跟踪专练1】已知线段，点在直线上，直线上共有三条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键．根据“奇妙点”的定义即可求解． 【详解】解：由题意，线段的2个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段的延长线和反向延长线也分别有3个“奇妙点”． ∴线段的“奇妙点”的个数是9个． 故答案为：9． 【跟踪专练2】如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据“折中点”的定义，点将折线分成相等的两部分，即从经到的路径长等于从经到的路径长，且都等于折线总长的一半．分点在线段上和点在线段上两种情况，分别用和表示出的长，进而求出比值． 【详解】解：∵是折线的“折中点”， ∴点将折线分成的两部分长度相等，均为． 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如图： 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如图， 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为2． 题型12.与线段有关的动点问题 【典例】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 【跟踪专练1】如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 题型13.两点之间线段最短 【典例】从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 【跟踪专练1】如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解决本题的关键． 根据线段的性质即可求解． 【详解】解：依题意，小明家到学校有4条路，其中③走最近， 依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短 【跟踪专练2】如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是得出．连接，则，根据两点之间线段最短，得出当N在A，C之间时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵两点之间线段最短， ∴当N在A，C之间时，最小，且最小值， ∴的最小值为， 故选：B． 题型14.两点间的距离 【典例】如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 【跟踪专练1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，直线上依次有，，，四点，且，点沿直线从左向右移动，当出现点与，，三点中的任意两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点有_______个． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分在、之间，在、之间，与重合三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：因为点在直线上从左向右移动，当与、、三点中任意两点距离相等时会发出警报，、、依次在上，且， 所以当在、之间时，若，则为线段的中点． 当在、之间时，若，则为线段的中点． 当与重合时，由于，有． 综上所述，发出警报的点共有个， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活推理．通过已知的线段比例关系，将用、、等线段表示出来，再进行化简，看其最终与哪些线段长度有关． 【详解】解： 将和用表示， 因为，且， 把代入中， 可得， 那么 ，． 将和用表示由于，且， 把代入中， 可得， 所以 ，． 计算的长度表达式根据线段关系，将 ，代入可得：， 又因为（线段由线段和线段组成）， 所以． 故选：B． 题型15.作线段 【典例】如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作线段，线段的和差，根据题意作出图形，然后通过线段的和与差进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意作图如下， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系及已知比例求出和的长，再根据作图痕迹得出，，最后利用线段的和差关系计算的长 ． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴． 【跟踪专练2】如图，小明按如下步骤进行作图： ①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取；④取线段的中点F． 在所求作的图形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，尺规作线段等于已知线段，根据作图可知，，，，再根据中点的定义得，然后对各选项计算判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴A正确； B、∵，， ∴， ∴B正确； C、∵点F是线段的中点， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴D不正确． 故选：D． 解答题 1．已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8条，线段、线段、线段． 【详解】（1）如图，直线，射线，线段即为所求： （2）如图，点D即为所求： （3）由图可知，图中共8条线段，以点为端点的线段：线段、线段、线段． 2．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】 5050个交点， 思考过程：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】略 3．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 4．如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6，②； (2) 【分析】本题考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算． （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段， 故答案为：6； ②由题意得，， 故答案为：；； （2） D线段的中点，， ， ， ， ． 5．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 6．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09线段.射线.直线暑假预习讲义 1. 概念辨识：掌握直线、射线、线段定义，分清三者端点差异；牢记三种图形规范的字母表示方法。 2. 公理掌握：理解两点确定一条直线、两点之间线段最短两个基本事实；明确两点间距离指线段的长度。 3. 规范作图：能按要求画出直线、射线、线段，分清延长线段、反向延长射线的正确画法。 4. 线段运算：会用度量法、叠合法比较线段长短；理解线段中点含义，利用中点进行线段和、差计算。 5. 语言转化：实现文字语言、图形、几何符号相互转化，准确描述点与直线的位置关系。 6. 识图计数：在复合图形中准确数出线段、射线，避免重复或者漏数。 7. 易错规避：混淆延长与反向延长；误认为射线、直线能够度量长度；把距离当成线段图形。 8. 素养目标：建立严谨的几何规范意识，为后续角、相交线等几何内容打好基础 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段 2.直线两大基本事实 3.点与直线的位置关系 4.线段相关核心知识点 5.计数类题型规律 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的数量问题 2.直线相交的交点个数问题 3.线段的应用 4.直线.线段.射线的联系与区别 5.画出直线.线段.射线 6.点与线的位置关系 7.两点确定一条直线 8.线段的和与差 9.线段中点的有关计算 10.线段n等分点的有关计算 11.线段之间的数量关系 12.与线段有关的动点问题 13.两点之间线段最短 14.两点间的距离 15.作线段 强化题型 解答题6题 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03 点与直线的位置关系 平面内一个点和一条直线只有两种位置： 1.点在直线上（直线经过点） 几何语言：点A在直线l上 / 直线l经过点A 2.点在直线外（直线不经过点） 几何语言：点B在直线l外 / 直线l不经过点B 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 1） 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 2） 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05：线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 知识点 06 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 知识点 07本章高频易错汇总 1.混淆射线表示：射线AB与射线BA是两条不同射线； 2.概念混淆：距离是长度（数值），线段是图形，不能等同； 3.误认为射线、线段可以度量长度（只有线段可量）； 4.忽略 “两点确定一条直线” 中 “有且只有” 的唯一性； 5.数线段重复、漏数，不会套用计数公式； 6.作图语言错误：“连接直线AB”（直线无限长，不能连接）； 7.延长射线说法错误：射线本身无限延伸，只能反向延长； 8.判定中点只看图相等，不满足数量等量关系。 题型1.直线.线段.射线的数量问题 【典例】一条铁路上有10个站，需要制作________种火车票． 【跟踪专练1】小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】现在有10个城市在地图上的位置恰好构成一个十边形，为了确保任意两个城市之间都有直飞航班，一共需要准备________种不同的飞机票． 【跟踪专练3】往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（  ） A．12种 B．5种 C．6种 D．7种 题型2.直线相交的交点个数问题 【典例】平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【跟踪专练1】平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【跟踪专练2】将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 题型3.线段的应用 【典例】如图所示，___．    【跟踪专练1】从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【跟踪专练2】如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【跟踪专练3】2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 题型4.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【跟踪专练2】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 题型5.画出直线.线段.射线 【典例】如图，已知三点，画直线，画射线，连接，按照上述语句画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【跟踪专练2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 题型6.点与线的位置关系 【典例】如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪专练1】直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有_________（只填写序号） 【跟踪专练2】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 题型7.两点确定一条直线 【典例】今年的植树节，某校组织学生参加义务植树活动．为了使每一列树都栽种在一条直线上，爱思考的小亮说：“只要在一列上定出两棵树的位置，就能保证一列上的所有树在一条直线上”．用数学知识解释其道理应是（     ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两直线平行，同位角相等 D．垂线段最短 【跟踪专练1】工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，用数学知识解释其中的道理是_____________________． 【跟踪专练2】直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8.线段的和与差 【典例】如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【跟踪专练2】如果cm，cm，且点，，在同一直线上，那么点，间的距离等于_____． 【跟踪专练3】如图1，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），A、B两点在线段上，且，．现将该细线沿点A折叠，使点B落在处，如图2所示．分别在点B和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 题型9.线段中点的有关计算 【典例】如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪专练1】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是________． 【跟踪专练2】如图，C是线段上任意一点，M，N分别是的三等分点且，，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型10.线段n等分点的有关计算 【典例】把线段九等分，每一段的长度为，则线段的总长度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】点A、B、C是线段的四等分点，若，则_____________． 【跟踪专练2】如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【跟踪专练3】某快递运输车队从城到B城有一天的行程，计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭．由于路况不佳，中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一，过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息．司机表示：“再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了”．则城到城的路程为（   ） A．480千米 B．560千米 C．640千米 D．720千米 题型11.线段之间的数量关系 【典例】如图，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段的“2倍点”． （1）线段的中点______这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） （2）若，点C是线AB段的“2倍点”，则的长为______． 【跟踪专练1】已知线段，点在直线上，直线上共有三条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是______． 【跟踪专练2】如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 题型12.与线段有关的动点问题 【典例】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 【跟踪专练2】如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 题型13.两点之间线段最短 【典例】从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【跟踪专练1】如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是______． 【跟踪专练2】如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 题型14.两点间的距离 【典例】如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【跟踪专练1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，直线上依次有，，，四点，且，点沿直线从左向右移动，当出现点与，，三点中的任意两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点有_______个． 【跟踪专练2】如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 题型15.作线段 【典例】如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【跟踪专练2】如图，小明按如下步骤进行作图： ①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取；④取线段的中点F． 在所求作的图形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 2．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 3．按下列语句画出图形： (1)直线经过点C； (2)点A在直线l外； (3)经过点O的三条线段； (4)线段相交于点B，连接． 4．如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 5．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 6．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $