第四章第9节解三角形中的最值(范围)问题专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形最值问题，以正余弦定理为工具，融合基本不等式与三角函数性质，构建“边角转化-不等关系-范围确定”的系统性解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|7题（如第1、4题）|余弦定理+基本不等式求面积最值；锐角三角形角范围限制|以边角关系为核心，通过正余弦定理实现边与角的转化，结合不等式与三角函数单调性确定范围| |解答题|4题（如第9、11题）|正弦定理边角互化；三角函数辅助角公式求最值；中线定理应用|从定理推导到综合应用，形成“定理应用-条件转化-模型构建”的逻辑链条，培养推理能力与模型观念|

第9节　解三角形中的最值(范围)问题 一、单选题 1. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ） A.  B.  C.  D.  2. (2026春·成都期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（ ） A.  B.  C.  D.  3. (2026春·新泰市校级期中) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若E为AB的中点，边AB上的中线CE长为，则△ABC面积的最大值为 ( ) A.  B.  C.  D.  4. (2026·渝北区模拟) 在锐角中，内角，，的对边分别为，，。若，则的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  二、填空题 5. (2026·湖南模拟) 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为________. 6. （2026春·镜湖区校级期中）中，内角，，所对的边分别为，，，该三角形面积大小记为，则的最小值为 ______。 7. (2026春·泰兴市期中) 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积，则的取值范围为_______。 三、解答题 8.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin B＝sin A＋cos Atan C. 求C. 9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－bcos C＝0. (1)求B; (2)已知b＝，求a＋2c的最大值. 10.(2026·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A－a＋c＝0. (1)求B的值; (2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值. 11.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c. (1)求A; (2)求的取值范围. 第9节　解三角形中的最值(范围)问题 一、单选题 1. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ） A.  B.  C.  D.  答案　B 解析　由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，故。因此，面积的最大值为。 2. (2026春·成都期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（ ） A.  B.  C.  D.  答案　D 解析　因为， 所以，则面积 . 故选：D. 3. (2026春·新泰市校级期中) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若E为AB的中点，边AB上的中线CE长为，则△ABC面积的最大值为 ( ) A.  B.  C.  D.  答案　B 解析　因为，由余弦定理可得， 可得， 在△ABC中，可得， 因为E为AB的中点，边AB上的中线CE长为， 则，两边平方可得， 即，可得ab的最大值为4， 所以． 所以该三角形的面积的最大值为． 4. (2026·渝北区模拟) 在锐角中，内角，，的对边分别为，，。若，则的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　根据，结合正弦定理得， 由余弦定理得，可得， 所以，可得， 在中，， 所以， 整理得，即， 因为是锐角三角形，、均为锐角， 所以，即， 由，可得，故， 锐角中，，解得， 所以，可得 二、填空题 5. (2026·湖南模拟) 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为________. 答案　． 解析　由题意得， 结合正弦定理，得， 化简得，即， 若，则为钝角，且， 结合、，可得、中至少有一个小于零， 则、有钝角，与三角形内角和定理矛盾，所以． 因为， 所以，可得 设，则，且，化简得， 由基本不等式，可得，故， 所以，解得，即， 当且仅当时，即时，的最小值为． 故答案为：． 6. （2026春·镜湖区校级期中）中，内角，，所对的边分别为，，，该三角形面积大小记为，则的最小值为 ______。 答案　 解析　根据余弦定理得，， 所以， 当且仅当时，等号成立， ， 令（）， 可得， 当时，即时，等号成立， 综上所述，当且时，原式取最小值。 故答案为：。 7. (2026春·泰兴市期中) 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积，则的取值范围为_______。 答案 解析　在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积， 由三角形面积公式结合， 可知，即， 又由平方关系，所以， 即， 解得或（舍去）， 令，由正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式可得： ， 注意到在锐角中，有，简单说明如下： 若，则， 即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾， 所以在锐角中，有， 所以在锐角中，有， 因为正切函数在上单调递增， 所以， 从而， 故的取值范围为。 故答案为： 三、解答题 8.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin B＝sin A＋cos Atan C. (1)求C; (2)若2(a＋b)＝c2，求△ABC的边c的最大值. 解　(1)由2sin B＝sin A＋cos Atan C， 得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 即2sin Bcos C＝sin(A＋C)， 又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sin B≠0， 于是cos C＝，又0<C<π，所以C＝. (2)由(1)知C＝，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， 而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab， 因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤(a＋b)2， 解得a＋b≤8， 当且仅当a＝b时取等号，则c＝≤4， 所以△ABC的边c的最大值为4. 9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－bcos C＝0. (1)求B; (2)已知b＝，求a＋2c的最大值. 解　(1)∵(2a－c)cos B－bcos C＝0， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－ sin Bcos C＝0， 2cos Bsin A－cos Bsin C－sin Bcos C＝0， 即2cos Bsin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴2cos Bsin A＝sin(B＋C)＝sin A， ∵A∈(0，π)， ∴sin A≠0， ∴cos B＝， ∵0<B<π，∴B＝. (2)由正弦定理， 得＝2， ∴a＋2c＝sin A＋4sin C＝sin A＋4sin＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin(A＋φ)， 又∵0<A<，φ为锐角， ∴sin(A＋φ)的最大值为， ∴a＋2c的最大值为. 10.(2026·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A－a＋c＝0. (1)求B的值; (2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值. 解　(1)由正弦定理及acos B－bcos A－a＋c＝0， 得sin Acos B－sin Bcos A－sin A＋sin C＝0， 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴2sin Acos B－sin A＝0， 又A∈(0，π)，∴sin A≠0， ∴2cos B－1＝0，即cos B＝， 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)由M为AC的中点，得， 而a＋c＝4， ∴ ＝· ＝c2＋a2＋accos∠ABC ＝[(a＋c)2－ac] ＝(16－ac)＝4－ac≥4－＝3， 当且仅当 即a＝c＝2时等号成立， ∴BM的最小值为. 11.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c. (1)求A; (2)求的取值范围. 解　(1)由题意得acos B＋b＝c， 由正弦定理得sin Acos B＋sin B＝sin C， 因为sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＋sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin B＝cos Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，则cos A＝， 由A∈(0，π)，得A＝. (2)由A＋B＋C＝π，A＝得B＝π－C， 因为△ABC是锐角三角形， 所以 所以<C<. ， 又tan C>，所以0<<. 所以. ，设＝t，t∈， 则f(t)＝2t＋， 易知f(t)在上单调递减，在上单调递增， 又f＝3，f＝2，f(2)＝， 所以f(t)∈， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $