2.7.2 勾股定理的逆定理（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦勾股定理的逆定理这一核心知识点，系统梳理直角三角形的判别条件（从角度和边长判断）及勾股数（定义、条件、拓展），构建从概念理解到判断方法再到应用的学习支架。 资料通过6类题型（含典例与变式）覆盖基础判断、网格应用及实际问题（如汽车超速、台风影响），培养学生数学眼光（观察现实情境）、数学思维（推理与运算），课中助力教师分层教学，课后随堂检测帮助学生查漏补缺。

2.7.2 勾股定理的逆定理（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型 2·勾股数】 2 【题型3·网格中判断直角三角形】 3 【题型 4·利用勾股定理的逆定理求解】 4 【题型·5·勾股定理的逆定理实际应用-判断汽车是否超速】 6 【题型·6·勾股定理的逆定理实际应用-判断是否受台风影响】 8 【随堂检测】 10 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 【典例1】下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．4，5，6 【变式1-1】下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（     ） A．2、3、4 B．3、4、5 C．8、15、16 D．11、12、13 【变式1-2】的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【题型 2·勾股数】 【典例2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【变式2-2】下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【题型3·网格中判断直角三角形】 【典例3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．判断的形状，并说明理由． 【变式3-1】如图，由边长均为的小正方形组成的网格中，点均在格点上，依次连接点得到．求的度数． 【变式3-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【变式3-3】如图，正方形网格中有，点，，都在格点上（小正方形的顶点叫作格点），每个小正方形的边长为1． (1)求出，，的长； (2)求的度数． 【题型 4·利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【变式4-1】如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【变式4-3】如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【题型·5·勾股定理的逆定理实际应用-判断汽车是否超速】 【典例5】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【变式5-1】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【变式5-2】某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【变式5-3】如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【题型·6·勾股定理的逆定理实际应用-判断是否受台风影响】 【典例6】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【变式6-1】据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【变式6-2】2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式6-3】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，8，9 4．某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 6．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 7．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 8．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 9．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 10．某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出： ，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积． 11．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7.2 勾股定理的逆定理（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型 2·勾股数】 4 【题型3·网格中判断直角三角形】 5 【题型 4·利用勾股定理的逆定理求解】 8 【题型·5·勾股定理的逆定理实际应用-判断汽车是否超速】 11 【题型·6·勾股定理的逆定理实际应用-判断是否受台风影响】 14 【随堂检测】 19 知识点1 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型 1··判断三边能否构成直角三角形】 【典例1】下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．4，5，6 【答案】B 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形，不符合题意． 选项B，最长边为，计算得，，，能作为直角三角形三边长，符合题意． 选项C，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 选项D，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 【变式1-1】下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（     ） A．2、3、4 B．3、4、5 C．8、15、16 D．11、12、13 【答案】B 【分析】找出每组数的最大数，验证其平方是否等于另两个数的平方和即可． 【详解】解：A、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，三条线段能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 【变式1-2】的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三角形内角和定理、勾股定理逆定理、三角形三边关系逐一判断选项即可 【详解】解：A、∵， 又， ，得， 是直角三角形，A符合要求； B、设，，， ，， ，不能构成直角三角形，B不符合要求； C、所有三角形的内角和都为，该条件无法判定是直角三角形，C不符合要求； D、设，，， ，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能构成三角形，D不符合要求； 【变式1-3】已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】B 【详解】解：A．∵，两边平方得， ∴，不能构成三角形，故不符合题意； B．∵，移项得，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故符合题意； C．∵ 设，，，，c为最长边， ∵，，， ∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵，，， ∴不是直角三角形，故不符合题意． 【题型 2·勾股数】 【典例2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 【变式2-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数的定义依次判断： 选项A中不是正整数，选项C中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C不符合定义，排除； 选项B中，，，，不满足平方关系，因此B不符合定义，排除； 选项D中，，，都是正整数，且，满足勾股数的定义，故选D． 【变式2-2】下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，逐一验证选项即可． 【详解】解：对选项A：，且3，4，5都是正整数，∴A符合题意； 对选项B：0.3，0.4，0.5都不是整数，∴B不符合勾股数定义，不符合题意； 对选项C：，，，∴C不符合题意； 对选项D：，，，∴D不符合题意． 【变式2-3】清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 【题型3·网格中判断直角三角形】 【典例3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【分析】先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴，即是直角三角形． 【变式3-1】如图，由边长均为的小正方形组成的网格中，点均在格点上，依次连接点得到．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【变式3-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：略． 【变式3-3】如图，正方形网格中有，点，，都在格点上（小正方形的顶点叫作格点），每个小正方形的边长为1． (1)求出，，的长； (2)求的度数． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用网格的特点和勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得． 【详解】（1）解：由网格的特点和勾股定理可得， ， ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【题型 4·利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式4-1】如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略 【变式4-2】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 【变式4-3】如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，连接， 由勾股定理求得的值，再证明为直角三角形，得到，最后根据代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，，，， ∴根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ， 为直角三角形，， ∴． 【题型·5·勾股定理的逆定理实际应用-判断汽车是否超速】 【典例5】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【变式5-1】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 【变式5-2】某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理即可解答； （2）求出汽车的速度即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这里汽车超速了． 【变式5-3】如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2) 解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）略 【题型·6·勾股定理的逆定理实际应用-判断是否受台风影响】 【典例6】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【变式6-1】据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 【变式6-2】2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式6-3】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、 ，，， 不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、 ，， ，能作为直角三角形三边长，符合题意； C、 ，，， 不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、 ，，， 不能作为直角三角形三边长，不符合题意； 2．如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 【答案】B 【详解】在中，米 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，8，9 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数是勾股数，只需逐个验证即可求解． 【详解】解：∵勾股数需满足三个正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方， 对选项A，，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 对选项C，，，，且三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项D，，，，不是勾股数，不符合题意． 4．某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形标注的尺寸，利用减法求出直角三角形的两条直角边和的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：由图可知，在中， ，， 根据勾股定理得：． 5．如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【答案】 直角三角形 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形． 6．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 7．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 8．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 【答案】/60度 【分析】由题意得，，根据勾股定理逆定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴ ∴， ∴ ∴， 故公园在医院的北偏东的方向． 9．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 10．某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出： ，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据该饰品部件平面图的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴该饰品部件平面图的面积 ， 答：该饰品部件平面图的面积为． 11．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)农场会受到台风的影响，理由见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． （1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下： 如图，过作于， ， ， ， 的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； （2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是（小时）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $