1.6 垂直平分线和角平分线的性质（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦垂直平分线和角平分线的性质这一核心知识点，系统梳理垂直平分线的定义、性质及尺规作图，角平分线的性质及尺规作图，承接线段与角的基础概念，为后续三角形全等、轴对称等综合应用搭建“定义-性质-作图-应用”的学习支架。 该资料通过9类分层题型（含例题与变式）设计，结合乡村振兴滴灌系统等实际情境，培养学生几何直观（如尺规作图）和推理能力（如角度、面积计算）。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用与模型意识。

1.6 垂直平分线和角平分线的性质（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 2 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 4 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 6 【题型 4··尺规作垂直平分线】 10 【题型 5··尺规作垂线】 10 【题型 6··利用角平分线的性质求长度】 16 【题型 7·利用角平分线的性质求面积】 18 【题型 8··利用角平分线的性质求角度】 21 【题型 9··角平分线的应用】 24 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案； 【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 【变式1-1】如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，   是的垂直平分线，， ∴． 【变式1-2】在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（）安装滴灌系统，工程师计划在边的垂直平分线上铺设管道，交于E、交于D．已知，其中区域的滴灌管道总长为，则整个农田（）的滴灌管道总长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，，将的周长转化为的周长加上的长即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， 区域的滴灌管道总长为， ， 的滴灌管道总长． 【变式1-3】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴ 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 【例2】如图，在中，，垂直平分，，则的度数是______． 【答案】/66度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用线段垂直平分线得，即可求出，利用，即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 【答案】/50度 【分析】该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，先根据垂直平分线的性质可得，即可求得的度数，从而可以求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在中，垂直平分，平分，若，则的度数是______． 【答案】/105度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，进而由三角形外角性质得，即得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，、的垂直平分线、相交于点，若等于72°，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键．连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可. 【详解】解：连接，如图所示， 、的垂直平分线、相交于点， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 【例3】如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（    ）    A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由线段的垂直平分线的定义得到，，根据三角形的面积计算即可得到答案． 【详解】解：连接，，    ∵的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，三角形的面积公式，掌握线段的垂直平分线的定义以及三角形的面积是解题的关键． 【变式3-2】如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】20 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 在中，是边上的垂直平分线，得，即可证得，即可得，继而求得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：20． 【变式3-3】如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为______．    【答案】22 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 【题型 4··尺规作垂直平分线】 【例4】如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式4-1】如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，直线即为所求． 【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可． 【详解】略 【变式4-2】如图，已知长方形是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O，交边于点E，交边于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的画法，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的画法即可求解； （2）证明，得，结合线段垂直平分线的性质可得，即得四边形的周长． 【详解】（1）解：如图，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于G、H两点， 作直线交于点E，交于点F． （2）解：∵在长方形中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, ∴四边形的周长为． 【变式4-3】如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)作图如图所示； (2)证明：如图，过点，作交于点， 平分， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ， 在和中， ， . 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意线段垂直平分线的应用． （1）利用尺规作线段的垂直平分线即可． （2）根据垂直平分线的性质得，运用平行线的性质可得，运用证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型 5··尺规作垂线】 【例5】如图，已知，利用尺规作图作出的边上的高． 【答案】 解：即为所求 【分析】以点为圆心，适当的长度为半径画弧，确保与对边有两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于它们距离的一半为半径，在的另一侧画弧相交，最后连接点与两弧的交点，即可求解． 【详解】略 【变式5-1】尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【答案】 【详解】解：延长到点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点D，则为边上的高． 【变式5-2】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点A作直线的垂线，则，那么，可得作图正确. 【详解】解：如图，点D为所求． 【变式5-3】如图，点D是的边上一点，连接，请利用尺规作图法在上求作一点P，连接，使与互余．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，即为所求． 【分析】过点D作交于点P，则，即与互余． 【详解】略 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【题型 6··利用角平分线的性质求长度】 【例6】如图，是中的平分线，于点，若的面积为28，，，则长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先作辅助线，根据角平分线性质得到；计算的面积，用的总面积减去该面积得到的面积；最后根据三角形面积公式列方程求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴． 【变式6-1】如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若且的面积为12，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作， ，， ， ∵和分别平分和， ∴，， 且的面积为12， ， ． 【变式6-2】如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：，， ． ，的平分线交于点D，于点E， ． 【变式6-3】如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理得到即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 【题型 7··利用角平分线的性质求面积】 【例7】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由作法得平分， ，， ， ， 的面积． 【变式7-1】如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 点E为的中点，， ， 的面积． 【变式7-2】如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在边与边的高线． 作边与边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据，可求解边的垂线的长度，由此可得边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交于点E，交于点F，如图， ∵为的平分线，且，， ∴， ∵， 即，解得， ∴， ∴， 则． 故选：B ． 【变式7-3】如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积．根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴； 故选：B． 【题型 8··利用角平分线的性质求角度】 【例8】如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质． 根据平角的定义和四边形内角和为可得，，根据同角的补角相等可得，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知是的平分线，从而可求的度数. 【详解】解：根据平角的定义可知：， 在四边形中，， 于点，于点， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式8-1】如图，在中，，点D在的外部，连接，过点D作，交的延长线于点E，于点F，若．则的度数为______． 【答案】52 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键． 根据题意得出平分，利用三角形的外角性质求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：，，， 平分， ∵， ∴， ， 故答案为：52． 【变式8-2】如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若 ，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定； 根据角平分线的性质可得，再根据证明，根据其性质进而即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵是的平分线，，垂足为点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 【变式8-3】如图，点到三边的距离相等，连接，，的延长线交于点．若，则的度数为______． 【答案】80° 【分析】根据角平分线的判定定理得到、分别为、的平分线，根据三角形的外角性质得到，得到答案． 【详解】解：∵点到三边的距离相等， ∴、分别为、的平分线， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查的是角平分线的判定、三角形的外角性质，掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【题型 9··角平分线的应用】 【例9】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处， 故这个集贸市场可选的位置只有1处， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 【变式9-1】黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（　　） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形三个角的平分线的交点处， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． 【变式9-2】电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，则发射塔应建在（    ） A．的平分线上任意某点处 B．线段的垂直平分线上任意某点处 C．的平分线和线段AB的交点处 D．的平分线和线段垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解． 【详解】解：发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等， 发射塔应建在线段垂直平分线上． 发射塔到两条高速公路，的距离相等， 发射塔应建在的平分线上． 发射塔应建在的平分线和线段垂直平分线的交点处． 故选D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式9-3】如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得点O到三边的距离相等，点O是三角形三条角平分线的交点即可． 【详解】解：∵直线， 根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等， ∴点O到三边的距离相等 ∴点O是三角形三条角平分线的交点， 故选择A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由，求出，再根据作图方法可得直线垂直平分，由线段的垂直平分线的性质得到，即可解答，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由作图得直线垂直平分， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为13，即可求出的长度． 【详解】解：根据题意， ∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为13， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 4．如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质确定中边上的高． 由尺规作图痕迹可知平分，进而可得点到的距离等于点到的距离，再由面积公式求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴点到的距离为， ∴点到的距离也等于2， ∵， ∴的面积为； 故选：B． 6．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是角平分线的作图，不能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是垂直平分线的作图，能确定． 故选：D． 7．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 9．在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，可以求得 ______度． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，先根据三角形内角和定理得，再根据基本作图得点D在的垂直平分线上，则，，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，若，， ∴， 由作图可知，点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为__________． 【答案】 【分析】由尺规作图痕迹可知为的角平分线，根据平行线的性质可得，进而求出的度数，最后利用平行线的性质即可求出的大小 ． 【详解】解：由题意可得，为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 12．如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)的度数为 (2)的周长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 垂直平分线和角平分线的性质（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 2 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 3 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 4 【题型 4··尺规作垂直平分线】 5 【题型 5··尺规作垂线】 5 【题型 6··利用角平分线的性质求长度】 8 【题型 7·利用角平分线的性质求面积】 9 【题型 8··利用角平分线的性质求角度】 10 【题型 9··角平分线的应用】 11 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【变式1-1】如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（）安装滴灌系统，工程师计划在边的垂直平分线上铺设管道，交于E、交于D．已知，其中区域的滴灌管道总长为，则整个农田（）的滴灌管道总长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 【例2】如图，在中，，垂直平分，，则的度数是______． 【变式2-1】如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 【变式2-2】如图，在中，垂直平分，平分，若，则的度数是______． 【变式2-3】如图，在中，、的垂直平分线、相交于点，若等于72°，则的度数为__________． 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 【例3】如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【变式3-1】如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（    ）    A．9 B． C． D． 【变式3-2】如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是__________． 【变式3-3】如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为______．    【题型 4··尺规作垂直平分线】 【例4】如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【变式4-1】如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4-2】如图，已知长方形是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O，交边于点E，交边于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求四边形的周长． 【变式4-3】如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【题型 5··尺规作垂线】 【例5】如图，已知，利用尺规作图作出的边上的高． 【变式5-1】尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【变式5-2】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-3】如图，点D是的边上一点，连接，请利用尺规作图法在上求作一点P，连接，使与互余．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【题型 6··利用角平分线的性质求长度】 【例6】如图，是中的平分线，于点，若的面积为28，，，则长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式6-1】如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若且的面积为12，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-2】如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【题型 7··利用角平分线的性质求面积】 【例7】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ） A． B． C．5 D．4 【变式7-1】如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-2】如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 【变式7-3】如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型 8··利用角平分线的性质求角度】 【例8】如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为________． 【变式8-1】如图，在中，，点D在的外部，连接，过点D作，交的延长线于点E，于点F，若．则的度数为______． 【变式8-2】如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若 ，则的度数为______． 【变式8-3】如图，点到三边的距离相等，连接，，的延长线交于点．若，则的度数为______． 【题型 9··角平分线的应用】 【例9】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式9-1】黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（　　） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【变式9-2】电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，则发射塔应建在（    ） A．的平分线上任意某点处 B．线段的垂直平分线上任意某点处 C．的平分线和线段AB的交点处 D．的平分线和线段垂直平分线的交点处 【变式9-3】如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 4．如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B．C． D． 7．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 8．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 9．在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，可以求得 ______度． 10．如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为__________． 11．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 12．如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $