2.6 直角三角形 讲义 2025-2026学年 浙教版八年级上册数学

本讲义聚焦初中数学“直角三角形”核心内容，系统梳理概念（含等腰直角三角形、含30°角直角三角形等特殊类型）、性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半）及判定（两角互余、一边中线等于这边一半），构建从基础定义到性质应用再到判定推理的完整知识支架。 资料以“概念-性质-判定”逻辑递进设计，通过判定定理证明过程培养推理意识，习题涵盖选择、填空、解答题，梯度从基础计算到综合动点问题，结合图形分析发展几何直观与应用意识。课中例题解析助力性质判定理解，课后分层习题可辅助查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

2.6 直角三角形 一、直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 二、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 三、直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD， 求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵AD=CD， ∴∠A=∠1． 同理∠2=∠B． ∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 一、单选题 1．如图，已知，于点，若，则的度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：在中，，， 则， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（       ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【提示】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10， 则OB=AC=5， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 3．在中，，分别是，上的点，，则的度数（       ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【提示】根据，得，再利用直角三角形中两个锐角互余即可得出. 【解答】解：∵ ∴， ， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键. 4．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【提示】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°， ∴∠A=30°， ∵点D为边AC的中点，BD=2 ∴AC=2BD=4， ∴BC=， 故选：C． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 5．如图，中，，，点在上，且点与点关于直线对称，则的度数为(     ) A．10° B．14° C．38° D．52° 【答案】B 【提示】在中，根据点与点关于直线对称，得到∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，又根据三角形的外角的性质得到∠A+∠ACD=∠CDE，即可求得∠ACD的度数． 【解答】解：中，点与点关于直线对称， 所以∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°， ∵∠A+∠ACD=∠CDE， ∴∠ACD=∠CDE-∠A=52°-38°=14°， 故答案为：B 【点睛】本题考查了轴对称的性质，以及三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟悉并掌握以上性质是解题关键． 6．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（       ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】C 【提示】利用垂线段最短分析最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于6．此题可解． 【解答】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于3； 中，，，， ， 的长不能大于6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 7．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】B 【提示】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ， ∠EBC＝45°， ， 为等腰直角三角形， ， ， 则△EBC的面积是． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 8．如图，在等边△ABC中，，E是延长线上一点，且，D是上一点，且，则的长为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【提示】过点E作于点F，根据含30°角的直角三角形的性质求得BF，再根据等腰三角形三线合一的性质求得DF，继而即可求解． 【解答】如图，过点E作于点F，则， ∵△ABC是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作辅助线． 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【提示】先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解． 【解答】解：在中，， ， 是的中线， ，且AD平分， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 10．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【提示】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，通过全等的性质得到∠1＝∠2，证得∠APE＝∠C＝60°，故②正确；再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，进而BP＝2PQ，故④正确；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误，从而得到结果． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°， ∴∠APE＝∠C＝60°，故②正确； ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝90°−∠BPQ＝90°−60°＝30°， ∴BP＝2PQ，故④正确； ∵AC＝BC，AE＝DC， ∴BD＝CE， ∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确； 根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题 11．如图，中，，若，则__________． 【答案】60°##60度 【提示】根据平行线的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠A ． 【解答】解：∵CE∥AB，∠BCE=30° ， ∴∠B=∠BCE=30°， ∵Rt△ACB中， ∠ACB=90°, ∴∠A=60°， 故答案为60°． 【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形和平行线的性质是解题关键 ． 12．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___． 【答案】30 【提示】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出斜边，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【解答】解：直角三角形斜边上中线是6， 斜边是12 它的面积是30 故答案为：30． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边与斜边中线的关系，解题的关键是在于知道直角三角形斜边中线为斜边的一半． 13．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______． 【答案】6 【提示】根据线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解∶ 根据题意得：∠BDE=∠C=90°，∠ABE=∠CBE， ∵点D为AB的中点， ∴DE垂直平分AB， ∴AE=BE=4， ∴∠A=∠ABE， ∴∠ABC=2∠A， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠ABC=90°， ∴∠A=30°， ∴∠ABE=∠CBE =30°， ∴， ∴AC=4+2=6． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 14．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为_______． 【答案】9 【提示】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝60°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝30°， ∵AE＝3， ∴AD＝2AE＝6， ∴AC＝2AD＝12， ∴CE＝AC−AE＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 15．如图，在中，，点D是的延长线上一点，，则__________． 【答案】2 【提示】根据等边对等角性质，解得，再由三角形外角性质解得，最后根据含30°角直角三角形的性质解题． 【解答】∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查含30°角直角三角形的性质、三角形外角性质、等边对等角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 16．如图，在中，，，，，则为____________cm． 【答案】9 【提示】先根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，根据含角的直角三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得． 【解答】解：， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 17．如图，在中，，，垂直平分，交于点E，，则的值是________． 【答案】4 【提示】先由线段垂直平分线性质得AE=BE，从而得∠BAE=，继而∠AEC=∠BAE+∠B=30°，即可由含30度的直角三角形性质求得AE=2AC=4，即BE=4，然后由S△ABE=求解即可． 【解答】解：∵垂直平分， ∴AE=BE， ∴∠BAE=， ∴∠AEC=∠BAE+∠B=30° ∵， ∴AE=2AC=2×2=4， ∴BE=AE=4， ∴S△ABE= = =4 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度的直角三角形性质，三角形面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度的直角三角形性质是解题的关键． 18．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____． 【答案】3 【提示】如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【解答】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴是点到直线的最短距离， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题最短路线问题，涉及等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质等知识．解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值． 三、解答题 19．如图，△ABC中，线段AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，且∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数． 【答案】∠DAE=20°． 【提示】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=×80°=40°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°， ∴在Rt△AEC中，∠EAC=90°-∠C=90°-70°=20°， ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=40°-20°=20°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 20．已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE＝4cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A＝30°，求AB和CD的长. 【答案】AB=16cm，CD=8cm． 【提示】根据含30°角的直角三角形性质求解AD的长，由中点的定义可求解AB的长，再利用斜边上的中线性质求出CD． 【解答】解：∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4cm， ∴AD=2DE=8cm； ∵D为AB中点， ∴AB=2AD=16cm， ∵∠ACB=90°， ∴CD=AB=8cm． ∴AB和CD的长分别为：16cm，8cm． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上性质定理是解题的关键． 21．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． (1)求AD的长度； (2)求△ABE的面积． 【答案】(1) (2) 【提示】（1）根据三角形的面积求出AD即可； （2）根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BE，再根据三角形面积公式求出面积即可． （1） 解：在中，，是边上的高， ，，， 根据可得 ； （2） 解：在中，是边上的中线，且， ， 在中，是边上的高，且由（1）知， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，解题关键是巧用面积法求直角三角形斜边上的高． 22．如图，，O是线段的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【提示】根据直角三角形斜边上的中线性质得出OB=AC，OD=AC，等量代换，即可求出答案；． 【解答】证明：∵，O是的中点， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，掌握直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键． 23．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H． (1)求证：DH=DC； (2)若AC＝2，BD＝，∠CAD＝30°，求AH的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)-1 【提示】（1）先利用垂直关系证明∠BHD＝∠C，再利用等角对等边证明BD＝AD，进而证明△BDH≌△ADC（AAS），即可得出DH=DC； （2）先利用含30度角的直角三角形的性质求出DC，进而得出DH，又BD＝AD，则． (1) 证明：∵AD和BE是△ABC的高， ∴AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠HBD+∠BHD＝90°，∠HBD+∠C＝90°， ∴∠BHD＝∠C．    ∵∠ABD＝45°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°， ∴BD＝AD． 在△BDH和△ADC中， ， ∴△BDH≌△ADC（AAS）， ∴DH=DC． (2) 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 又∵∠CAD＝30°，AC＝2， ∴CD＝AC＝1， ∴DH=DC＝1， ∵BD＝AD=， ∴， 既AH的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是找出相应条件证明△BDH≌△ADC． 24．如图，在△中，，点为上一点，以为腰作等腰△，且，，连接． (1)求证：△≌△； (2)已知，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【提示】（1）先根据角的和差可得，再利用定理即可得证； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，从而可得，然后利用含角的直角三角形的性质可得，最后利用三角形的面积公式即可得． （1）证明：∵，∴，即，在与中，，∴． （2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 由（1）已证：，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴的面积为． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 25．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形?若能，请求出t，若不能，请说明理由． (3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形? 【答案】(1)PQ与AB垂直，理由见解析 (2)能，当时，△BPQ是等边三角形 (3)或，△BPQ是直角三角形 【提示】（1）先求出AP的长，可得点P是AB的中点，由等边三角形的性质可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解． （1） 点Q到达点C时，PQ与AB垂直，理由如下： ∵， ∴当点Q到达点C时，s， ∴， ∴点P为AB的中点， ∴； （2） 假设点P与点Q的运动过程中，△BPQ是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴当时，△BPQ是等边三角形； （3） 根据题意得，，，， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当时，同理可得， 解得． 综上所述，或，△BPQ是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 26．如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边△ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． (1)求证：∠FEA=∠FBA； (2)求∠EFC的度数； (3)点N在线段FC上且FN=FE，连接EN，证明：FE+FA=2FD． 【答案】(1)见解析 (2)∠EFC=60° (3)见解析 【提示】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明； （2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案； （3）利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证． （1）∵AD为边BC的垂直平分线， ∴AB=AC，∵△ACE为等边三角形，   ∴AC=AE，∴AB=AE，          ∴∠FEA=∠FBA； （2）解：∵AD为边BC的垂直平分线     ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，FB=FC，∠FBC=∠FCB，∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，        即∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠AEF，        ∴∠AEF=∠ACF，∵∠FME=∠CMA，        ∴∠EFC=∠CAE，∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，       ∴∠EFC=60°． （3）解：FE+FA＝2FD，证明：由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，∵FN=FE，          ∴△EFN是等边三角形，       ∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，∵△ACE为等边三角形，        ∴∠AEC=60°，EA=EC，∴∠FEN=∠AEC，∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，        即∠AEF=∠CEN，在△EFA和∠ENC中，EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，∴△EFA≌△ENC（SAS），       ∴FA=NC，∴FE+FA=FN+NC=FC，∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，            ∴∠FCB=×60°=30°，∵AD⊥BC，             ∴∠FDC=90°，∴FC=2FD，            ∴FE+FA=2FD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 、 2.6 直角三角形 一、直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 二、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 三、直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD， 求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵AD=CD， ∴∠A=∠1． 同理∠2=∠B． ∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 一、单选题 1．如图，已知，于点，若，则的度数是（       ） A． B． C． D． 2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（       ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．在中，，分别是，上的点，，则的度数（       ） A．15 B．20 C．25 D．30 4．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 5．如图，中，，，点在上，且点与点关于直线对称，则的度数为(     ) A．10° B．14° C．38° D．52° 6．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（       ） A．5 B．4 C．7 D．6 7．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 8．如图，在等边△ABC中，，E是延长线上一点，且，D是上一点，且，则的长为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．如图，中，，若，则__________． 12．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___． 13．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______． 14．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为_______． 15．如图，在中，，点D是的延长线上一点，，则__________． 16．如图，在中，，，，，则为____________cm． 17．如图，在中，，，垂直平分，交于点E，，则的值是________． 18．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____． 三、解答题 19．如图，△ABC中，线段AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，且∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数． 20．已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE＝4cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A＝30°，求AB和CD的长. 21．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． (1)求AD的长度； (2)求△ABE的面积． 22．如图，，O是线段的中点，求证：． 23．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H． (1)求证：DH=DC； (2)若AC＝2，BD＝，∠CAD＝30°，求AH的长． 24．如图，在△中，，点为上一点，以为腰作等腰△，且，，连接． (1)求证：△≌△； (2)已知，，求的面积． 25．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形?若能，请求出t，若不能，请说明理由． (3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形? 26．如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边△ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． (1)求证：∠FEA=∠FBA； (2)求∠EFC的度数； (3)点N在线段FC上且FN=FE，连接EN，证明：FE+FA=2FD． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $