2.4 等腰三角形的判定定理 教学设计 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦八年级等腰三角形及等边三角形判定定理，通过复习等腰三角形性质引导学生从角的角度提出猜想，搭建“性质探究→判定猜想→推理证明”的认知支架，梳理判定定理的形成脉络。 特色在于以“动手操作-猜想验证-应用拓展”为主线，合作学习中通过画图测量培养几何直观与抽象能力，证明环节提供多种辅助线方法发展推理能力，结合测量河宽实例强化应用意识，探究活动“分割三角形为两个等腰三角形”渗透分类思想与创新意识，为教师提供清晰的探究路径，助力学生提升逻辑推理与问题解决能力。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 2.4等腰三角形的判定定理 教学目标 1.经历等腰三角形判定定理的探索与证明过程，发展抽象能力、几何直观和推理能力。 2.掌握等腰三角形的判定定理，运用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断和计算，发展运算能力和推理能力。 3.理解等腰三角形的判定定理与性质定理的联系和区别，能正确选用定理进行条件转化，发展推理能力。 4.掌握等边三角形的判定定理，感悟从一般到特的数学思想，发展推理能力和几何直观。 教学重难点 教学重点： 等腰三角形判定定理的探索和应用。 教学难点： 从不同的角度进行思考，把一个三角形分成两个等腰三角形，并归纳出一般化结论 教学过程 （一）复习回顾 1.上一节课，我们学习了等腰三角形的性质，那接下来学习什么？ 2.等腰三角形有什么判定方法？你是如何想到的？ 3.从角的角度可以怎样判定呢？你有什么猜想？ （二）合作学习 在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A。 思考：1.量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果会与你相同吗？ 2.你发现了什么规律? 3.这个结论是否正确呢？请推理说明。 分析：教师引导学生先进行合作学习，得到定理的猜想。再对猜想进行推理证明，引导学生注意辅助线添加方法，并归纳出文字语言与符号语言。 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：△ABC是等腰三角形。 思考：1.要证明两条边AB和AC相等，我们已经有了哪些经验？ 2.如何构造以AB，AC为对应边的两个全等三角形？ 3.为了构造以AB，AC为对应边的两个全等三角形，应如何添加辅助线？ 方法一：作△ABC的角平分线AD， 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD≌△ACD（AAS）， 所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）， 即△ABC是等腰三角形。 方法二：作△ABC的高AD， 因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。 易证△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC，即△ABC是等腰三角形。 （三）新知探究 思考：反思上述证明方法，你觉得它们的本质依据是什么？(等腰三角形整体的轴对称性) 归纳：等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 简写：在同一个三角形中，等角对等边。 符号语言：在△ABC中， 因为∠B=∠C， 所以 AC=AB。（在一个三角形中，等角对等边） 即△ABC为等腰三角形。 归纳：在同一个三角形中，只要角相等，那么它们所对的边也相等。但要注意的是，前提条件是在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立。 师生活动：教师引导学生合作探究，得到等腰三角形的判定定理。 设计意图：通过“实践操作—发现规律—给出证明”的学习路径，帮助学生掌握知识，培养发现真理和检验真理的能力。 （四）新知应用 例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离。同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30°。量出AC的长，它就是河的宽度AB（即A，B之间的距离）。这个方法正确吗？请说明理由。 思考：1.要证明AC=AB，只需证明哪两个角相等？ 2.已知∠C=30°，∠CAD=60°，那么∠B的度数是多少？ 解：这个方法正确。 因为 ∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 所以∠B=∠CAD−∠C=60°−30°=30°， 所以∠B=∠C， 所以AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）。 师生活动：教师引导得到问题的解决方法。 设计意图：让学生感受知识的实际应用意义，增强他们应用知识的信心和兴趣。通过旧知识引入新的知识有利于激发学生的学习欲望，提高他们的学习积极性，提高对数学结论的认可程度。 练习1（书本P69 课内练习 第1，2题） 1.已知一个三角形的两个角的度数分别为 43°，94°，这个三角形是不是等腰三角形？说明理由。 答：根据三角形内角和为180°，P得到第三个角为180-43-94=43°。 所以这个三角形是等腰三角形。 2.已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，∠1=∠2。求证：△ABC是等腰三角形。 师生活动：学生自主完成练习。 设计意图：等腰三角形判定定理的直接应用，发展运算能力与推理能力。 （五）再探新知 根据之前所学知识，如果把等腰三角形再特殊化，我们可以得到等边三角形。 思考：1.你能类比等腰三角形判定定理的研究方法探索等边三角形的判定方法吗？ 2.一个三角形满足什么条件时会成为等边三角形？ 类似地，从等边三角形的性质反过来我们可以得到猜想： 猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 猜想2：有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。下面进行证明。 证明猜想： 猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 师生活动：学生自主完成。 设计意图：猜想1的证明较简单，由学生自主完成，检测学生的逻辑推理能力。 猜想2证明分析：①假如60度角是一个底角，因为是等腰三角形，所以另外一个底角也是60度，根据三角形三个内角的和等于180度，那么顶角等于180-60-60=60度。所以三个角相等，所以是等边三角形. ②若顶角是60度，那么下面两个角之和为120度，又因为是等腰三角形，所以两个角相等，等于120÷2=60度，所以三个角相等，所以是等边三角形. 师生活动：猜想2师生共同分析完成，教师引导学生要分类讨论。 设计意图：猜想2的证明体现数学证明表述形式的多样化。只要说清楚理由，证据充分，证明的书写可以有不同的表达方式。通过动手操作，让学生的认知更直观，亲自经历获取知识的过程，提高对数学结论的认可程度。 归纳：等边三角形的判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形。 2.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 （六）探究活动 如图，有甲、乙两个三角形.甲三角形的内角分别为10°，20°， 150°；乙 三角形的内角分别为80°，25°，75°。你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗?画一画，并标出各角的度数。 进一步探究：如果一个三角形能被分成两个等腰三角形，那么这个三角形的三个内角具有怎样的特征？ 师生活动：师生共同探究得到结论： 甲图，我们从最大的角150°入手，分成一个10°和一个140°，这样得到的两个三角形都是等腰三角形 乙图，我们从75°入手，分成一个25°和一个50°，这样得到的两个三角形也都是等腰三角形 推广到一般情况后，总结如下： 情形1.对于直角三角形，沿原三角形斜边上的中线分割成两个等腰三角形。 情形2.当三个角存在三倍关系，将3ɑ分出一个角ɑ，与原ɑ角构成一个等腰三角形，另一个三角形也是等腰三角形。 情形3.当三个角存在两倍关系，将ɑ+β分出一个角ɑ，与原ɑ角构成一个等腰三角形，另一个三角形也是等腰三角形。 但是要注意的是，当一个三角形同时满足上述情形中的多种情形时，分割的方式可能有多种。（五）课堂小结 回顾本节课所学内容，请回答以下问题： 1.等腰三角形和等边三角形有哪些判定方法？我们是如何得到的？ 2.本节课你学到了哪些证明线段相等或者角相等的方法？ 3.我们是怎样研究等腰三角形和等边三角形？ 师生活动：教师引导学生通过上述三个问题来总结本节课的知识。 设计意图：让学生感受“观察发现—归纳猜想—演绎证明”的研究路径，体会“由性质推判定”的研究思路，为今后学习直角三角形等特殊图形奠定扎实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $