精品解析：江苏省淮安市多校2025-2026学年高一下学期5月质量检测数学试题

2025—2026学年度第二学期高一年级五月份质量检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则=（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以. 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 3. 在中，若则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得， 则. 4. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间中线线、线面位置关系，逐项判定，即可得出结果. 【详解】A选项，若，，则与平面的关系可以是相交，平行或在面内，故A错； B选项，若，，则与平面的关系可以是在面内，或平行，故B错； C选项，若，，根据线面垂直的性质，可得，故C正确； D选项，若，，则与的关系可以是相交，异面或平行，故D错. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面有关命题的判定，属于基础题型，解决此类问题的关键在于熟记空间中线面、线线位置关系，考查学生的空间想象能力. 5. 设，若为实数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数. 【详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 6. 已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为，， ， 所以向量与的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目. 7. 求的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式将拆分为展开化简，即可求得原式的值. 【详解】由题意 ， 可得  ，由于， 约去分母的后得  . 8. 如图，在棱长为的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 的取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，易得平面，即为平面，进而由与不垂直，即可判断；对于B，连接，设，，结合余弦定理及勾股定理表示出，进而判断即可；对于C，易得平面，进而结合等体积法求解判断即可；对于D，先得到，，进而得到，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由于P为线段上的动点（不含端点）， 则平面，即为平面， 而与不垂直，则与平面不垂直，故A错误； 对于B，连接，设，， 在中，，，， 由余弦定理得， 因为平面，平面，所以， 在中，，，， 则， 在中，由余弦定理可得 ， 当时，，此时为钝角，故B错误； 对于C，在正方体中，， 而P为线段上的动点（不含端点），且平面， 则到平面的距离即为， 所以，故C错误； 对于D，连接， 在正方形中，，则， 因为平面，平面，所以， 所以，随着的增大而增大， 而，即为中点时，取得最小值为， 则的最小值为，故D正确. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的虚部为 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数和复数的模的概念逐一判断. 【详解】对于A，只有两个复数均为实数时才能比较大小.,仅能说明为正实数，无法保证均为实数，故A错误； 对于B，复数，是实部，是虚部，故B正确； 对于C，，所以，而，，不能得到，故C错误； 对于D，，， ，所以，故D正确； 10. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，H为的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四面体的体积为1 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 四面体外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据翻折前后图形之间的关系再由直线与平面垂直的判定可判断 A，利用三棱锥的体积公式求解，判断B，找到平面与平面的夹角，在直角三角形中求解其余弦值，判断C，根据四面体的外接球与为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解四面体外接球的半径，判断D. 【详解】翻折前，，，， 故翻折后，，，, 又平面，平面，故A正确； 又，，平面，平面， ，， 则，故B错误； 为的中点，，则； 又折叠前，，折叠后二者长度不变， 故，则，又平面，平面，故， 则为锐角，故为平面与平面的夹角， 且，而，，故，故C正确； 由于，故该四面体的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 故外接球半径为，D正确. 11. 在中，，，，点为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当点为边上点，时， D. 若点为内任一点，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用余弦定理求边长判断A；应用等面积法及三角形面积公式列方程求判断B；由，应用向量数量积的运算律求线段长度判断C；构建合适的直角坐标系，应用坐标法求数量积，进而确定最小值判断D. 【详解】对于A：中，，，， 故，A正确； B：当为角的角平分线时，, 即， 所以，可得，B正确； C：由，则， 所以，C错误； D：构建如下图的平面直角坐标系，则，设， 所以， 则 ， 当时，在三角形内满足题设，此时的最小值为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为____． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，，则，， 所以向量在向量的方向上的投影向量的坐标为. 13. 如图，两座建筑物，的高度分别是6和10，从建筑物的顶部看建筑物的张角，则这两座建筑物和的底部之间的距离______. 【答案】 12 【解析】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，利用正切函数的和角公式建立关于的方程求解． 【详解】如图，过点作于点． 由题意可知，四边形为矩形， 所以，． 因为，所以． 设，则． 在中，， 在中，． 因为， 所以， 即， 整理得，即， 解得或（舍去）． 所以这两座建筑物和的底部之间的距离为． 14. 如图，将矩形纸片的左下角沿着折痕折起，使得顶点落在矩形的右边上点，那么折痕长度l取决于角（)的大小，已知的长度为8，请用表示，则______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据题意，求得，在直角中，求得，再在直角中，求得的长，即可得到答案. 【详解】根据折叠的性质，折叠前后两个图形全等，即， 所以， 因为，所以， 在直角中，可得，即， 因为，所以，所以， 在直角中，，即. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，求得，进而求得的值； （2）化简得到，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，且，可得，所以， 则. 【小问2详解】 . 16. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数λ的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式求解；（2）利用数量积公式求解. 【小问1详解】 因为，，所以 ； 【小问2详解】 因为，，所以， ， ，； 因为向量与夹角为， ， 所以，即，所以， 解得或 所以实数λ的值是或. 17. 如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取的交点为，连接，如下图所示： 因为菱形，所以，且为的中点， 又，可得， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）存在；为线段的中点； 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质以及等腰三角形性质可证明平面，再由面面垂直判定定理可证明得出结论； （2）利用线面平行判定定理证明可得当为线段的中点时，满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，为线段的中点，满足平面； 连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因此存在点，当为线段的中点时，满足平面. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. （1）求； （2）若的面积为=，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，再使用余弦定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （3）利用三角形的内角和及得到，使用二倍角公式与两角差的余弦公式得到，利用锐角三角形的条件得到角的范围，转化为三角函数的范围求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式，得①， 由余弦定理知，即，得②， 由①②解得，. 【小问3详解】 因为，，所以，则，即， ， 又 ，所以， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 所以，所以， 即的取值范围是. 19. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则及中点性质求解； （2）利用三点共线的充要条件建立方程求解； （3）利用三角形面积公式表示面积，再求解范围. 【小问1详解】 因为是中点，所以 ，又因为是中点， 所以，所以； 【小问2详解】 已知，， 将其代入 （1）的结论 所以三点共线，所以 ，得； 【小问3详解】 正三角形边长为，，由（2）知，， 面积是， 由，得， 在线段上，在线段上，，代入： 解不等式， ，，得； ，结合，得, 综上参数范围：，， 令，，由得，所以， 由对勾函数性质：在与处取最大值，在处取最小值， 时，； 或时，，所以， 因为，因此，所以面积的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一年级五月份质量检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则=（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在中，若则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 设，若为实数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角 7. 求的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，在棱长为的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 的取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的虚部为 C. 若，则 D. 10. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，H为的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四面体的体积为1 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 四面体外接球的半径为 11. 在中，，，，点为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当点为边上点，时， D. 若点为内任一点，的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为____． 13. 如图，两座建筑物，的高度分别是6和10，从建筑物的顶部看建筑物的张角，则这两座建筑物和的底部之间的距离______. 14. 如图，将矩形纸片的左下角沿着折痕折起，使得顶点落在矩形的右边上点，那么折痕长度l取决于角（)的大小，已知的长度为8，请用表示，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 16. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数λ的值． 17. 如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. （1）求； （2）若的面积为=，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $