精品解析：江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度春学期高一数学课堂检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数是. 故选：C 2. 为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A. 抽签法抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 随机数表法抽样 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义进行判定，即可求解. 【详解】由于男女生视力情况差异不大，但是小学、初中、高中三个学段的学生视力情况差异较大，故采用按学段分层抽样的方法. 故选：C． 3. 在中，若，，，则满足条件的三角形有（ ）个 A. B. 1 C. 2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用来判断三角形解得情况. 【详解】在中，，，，则， 所以，有两解. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题． 4. 在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式即可求角C. 【详解】由题可知，， 由余弦定理可知， ，， ∵，﹒ 故选：B﹒ 5. 设四边形为平行四边形，若点，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，得到，即可求解. 【详解】由题意，在四边形为平行四边形，若点，满足， 可得， 又由，所以，. 故选：A． 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子有种情况， 则两个点数相等的情况有6种， 所以两个点数相等的概率为. 故选：A. 7. 设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到在方向上的投影向量为，再计算求解即可. 【详解】所以在方向上的投影向量. 故选：D. 8. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径. 【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示： 由最短路径为，即， 由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为， 则圆锥底面圆的周长为， 则底面圆的半径为， 故选：B. 【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则⊥ B. 若，，则 C. 若，m，，则 D. 若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项. 【详解】A.，，则，又，则存在，，所以，A正确； B.，，则，故B正确； C. 当，可以存在，m，，则C不正确； D. 时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等， 又，,则m与所成的角和n与所成的角相等，D正确. 故选：ABD. 10. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 下列说法中正确的是（ ） A. 甲、乙这次射击成绩的极差相同 B. 甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C. 这次射击中乙比甲的成绩稳定 D. 甲的射击成绩的第60百分位数为7.5 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别根据极差，平均数和方差的计算公式，以及百分位数的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】根据数据的极差的概念，可得甲的极差是6，乙的极差是4，故A错误； 根据平均数的计算公式，可得甲的平均数是， 乙的平均数是，故B正确； 由方差的计算公式，可得此次射击甲的方差， 乙的方差为， 所以，故乙的成绩比较稳定，所以C正确； 由，故甲的第60百分位数是将甲的成绩从小到大排列后的第6和第7个数的平均数，计算得7.5，故D正确． 故选BCD． 11. 有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A为“只选甲套餐”，事件B为“至少选一种套餐”，事件C为“至多选一种套餐”，事件D为“不选甲套餐”，事件E为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是 A. A与C是互斥事件 B. B与E是互斥事件，且是对立事件 C. B与C不是互斥事件 D. C与E是互斥事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，将每个事件的基本事件列出来，对照即可判断. 【详解】事件A为“只选甲套餐”； 事件B为“至少选一种套餐”， 包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选； 事件C为“至多选一种套餐”， 包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选； 事件D为“不选甲套餐”， 包括选乙套餐，甲乙两种都不选； 事件E为“一种套餐也不选”. A.事件A与C既不互斥也不对立，故A错误； B.事件B与E是互斥事件，且是对立事件，故B正确； C.事件B与C不互斥，故C正确； D.事件C与E不互斥，故D错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，且，则实数的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量平行坐标交叉相乘相等，即可得答案. 【详解】∵，∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于点，②在点的正西方点测得旗杆顶端的仰角为45°，③在点南偏东60°的点处测得点的仰角为60°，④测得，两点处的距离为米，则该旗杆顶端距离地面的高度为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】由题意设，则，然后在中利用余弦定理可求出的值，进而可求出的值 【详解】解：设，由于在直角中，,在直角三角形，，则， ∵，则， 故， 即，故，， ∴． 故答案为：12 14. 已知三棱锥中，，平面，，则到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等体积法求出到平面的距离. 【详解】三棱锥中，，平面，而平面， 则，，又，则， 因此等腰底边上的高，， ，令到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)当时，求的值; (2)是否存在实数，使与的夹角为?若存在，求出的值，若不存在，说明理由 【答案】(1)4;(2)，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）求出向量的坐标，进而求得的坐标，再利用模的计算公式，即可得答案； （2）利用向量的夹角公式，可得关于的方程，解方程即可得答案. 【详解】∵， (1)当时，， 所以 (2)假设存在实数，满足与的夹角为. 因为， 又 ， 所以，，即， 解得. 所以存在实数，使与的夹角为. 【点睛】本题考查向量模的坐标运算、向量的数量积公式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准．用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表： 组号 分组 频数 频率 1 1240 0.31 0.031 2 0.046 3 776 0.194 0.0194 4 72 0.018 5 48 0.012 0.0012 6 0.006 0.0006 （1）求，，，的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率； （2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率． 【答案】（1），，，，0.036；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率、频数、样本容量之间的关系进行分析求解即可； （2）先用分层抽样求出在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的户数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意得， ，，， 所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为． （2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1， 设上述6户为，，，，，（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为）， 在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，具体为： 记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件， 因为， 所以， 所以在这6户中任选2户进行座谈会，这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】（1） 由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面． （2） 由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用面面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，角所对的边分别是. （1）若是的中点，且，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得，在中利用余弦定理求出，从而可求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简，得，然后求出角的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案. 【小问1详解】 由余弦定理得， 所以 由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以. 所以的面积； 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 即的取值范围是. 19. 已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． （1）求直线和平面的夹角的正弦值； （2）求证：平面平面； （3）棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3）存在点，且，使得平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面角定义得出线面角为，再结合边长关系计算求解； （2）在直角梯形中，过点作于，根据得到，利用线面垂直的性质得到，从而得到面，再利用面面垂直的判定即可证明平面平面. （2）存在点，且，则在上取点，使，连接，，，易证，，从而得到平面，平面，利用面面垂直的判定得到平面平面，从而得到平面． 【小问1详解】 四棱柱是直四棱柱，所以平面， 所以直线和平面的夹角为， 在直角梯形中，过点作于，如图所示： 由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形，所以， 所以， 在中， 所以； 【小问2详解】 由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形， 所以，，所以， 所以， 从而得到， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 存在点，且，使得平面， 则在上取点，使，连接，，，如图所示： 此时，， 所以，即， 在平面中，，所以， 此时由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度春学期高一数学课堂检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A. 抽签法抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 随机数表法抽样 3. 在中，若，，，则满足条件的三角形有（ ）个 A. B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于( ) A. B. C. D. 5. 设四边形为平行四边形，若点，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则⊥ B. 若，，则 C. 若，m，，则 D. 若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 10. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 下列说法中正确的是（ ） A. 甲、乙这次射击成绩的极差相同 B. 甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C. 这次射击中乙比甲的成绩稳定 D. 甲的射击成绩的第60百分位数为7.5 11. 有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A为“只选甲套餐”，事件B为“至少选一种套餐”，事件C为“至多选一种套餐”，事件D为“不选甲套餐”，事件E为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是 A. A与C是互斥事件 B. B与E是互斥事件，且是对立事件 C. B与C不是互斥事件 D. C与E是互斥事件 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，且，则实数的值是________. 13. 立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于点，②在点的正西方点测得旗杆顶端的仰角为45°，③在点南偏东60°的点处测得点的仰角为60°，④测得，两点处的距离为米，则该旗杆顶端距离地面的高度为______米． 14. 已知三棱锥中，，平面，，则到平面的距离为______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)当时，求的值; (2)是否存在实数，使与的夹角为?若存在，求出的值，若不存在，说明理由 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准．用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表： 组号 分组 频数 频率 1 1240 0.31 0.031 2 0.046 3 776 0.194 0.0194 4 72 0.018 5 48 0.012 0.0012 6 0.006 0.0006 （1）求，，，的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率； （2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，证明：平面平面． 18. 在中，角所对的边分别是. （1）若是的中点，且，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． （1）求直线和平面的夹角的正弦值； （2）求证：平面平面； （3）棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $