第16讲 对数（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第16讲 对数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 对数的概念 在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y=1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决? 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高三下·四川攀枝花·阶段检测）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 模块三 对数的运算 【知识点2 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算】 【例3】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-1】（25-26高一上·广西钦州·期末）（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3-2】（2026高一上·重庆·专题练习）设，，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 【题型4 对数的运算性质的应用】 【例4】（25-26高一上·陕西·期末）的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-1】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式4-2】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 运用换底公式化简计算】 【例5】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 【题型6 指、对数方程的求解】 【例6】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）若是方程的两个实根，则ab的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【变式6-1】（25-26高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【变式6-3】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型7 带附加条件的指、对数问题】 【例7】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知，，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）若，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式7-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）对下列两个式子进行求值． (1)已知，求的值． (2)若，用表示． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）计算： (1)已知，求的值； (2)； (3)设，求的值． 【题型8 运用换底公式证明恒等式】 【例8】（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【变式8-1】（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值： (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【变式8-2】（25-26高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【变式8-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 模块四 对数的实际应用 【知识点3 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型9 对数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【变式9-1】（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【变式9-2】（25-26高一上·四川德阳·期末）人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式9-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 3．（25-26高一上·江苏徐州·期末）化简的结果为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川凉山·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·四川广安·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．6078 B．2025 C．2026 D．6079 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（25-26高一上·江西新余·期末）下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南京·期末）计算：__________. 13．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知，则的值为__________. 14．（25-26高一上·福建宁德·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 16．（25-26高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 18．（25-26高一上·福建·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 19．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 对数的概念 在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y=1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决? 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【解答过程】由题. 故选：C. 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【解答过程】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【解答过程】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数式和对数式的互化可得结果. 【解答过程】因为，所以，. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高三下·四川攀枝花·阶段检测）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数对数互化，结合指数幂的运算求解. 【解答过程】由题意，， 于是， 于是. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【解答过程】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【解答过程】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 模块三 对数的运算 【知识点2 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型3 对数的运算】 【例3】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据对数运算求得正确答案. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·广西钦州·期末）（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】依据对数运算法则即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式3-2】（2026高一上·重庆·专题练习）设，，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数的运算法则计算可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，当时，无意义， 当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 【答案】A 【解题思路】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【解答过程】 . 故选：A. 【题型4 对数的运算性质的应用】 【例4】（25-26高一上·陕西·期末）的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】利用对数运算性质求解即可. 【解答过程】由. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】根据对数的运算性质，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以，解得. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数运算性质化简即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数的运算性质和特殊值法判断即可. 【解答过程】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 【题型5 运用换底公式化简计算】 【例5】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用换底公式化简对数，再结合题意代入变量求解即可. 【解答过程】由题意得 ， 故B正确. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换底公式以及对数的运算法则直接求解即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以， 又， 所以 . 故选：D． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式换成以为底的形式，再拆分分子分母的对数结合对数运算法则,化为已知和的组合. 【解答过程】已知， . 故选：B. 【题型6 指、对数方程的求解】 【例6】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）若是方程的两个实根，则ab的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【解题思路】由韦达定理及对数的运算法则即可得解. 【解答过程】因为是方程的两个实根， 故由韦达定理可知，， 即，得. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【解答过程】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【解题思路】由韦达定理可得：，再由对数的运算即可求得. 【解答过程】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】利用根与系数的关系结合对数的运算法则计算即可. 【解答过程】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以 . 故选：D. 【题型7 带附加条件的指、对数问题】 【例7】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对数的运算性质进行计算即可. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）若，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】首先根据换底公式得到，从而得到或，得或，再结合，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以， ，解得或， 得或， 当时，由，得， 得，由于，得，则，得， 当时，由，得， 得，由于，得，则，得， 综上知，． 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）对下列两个式子进行求值． (1)已知，求的值． (2)若，用表示． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用完全平方公式，化简计算，即可得答案. （2）根据对数的运算性质及换底公式，化简计算，即可得答案. 【解答过程】（1）因为，所以，则， 又，且， 所以，所以. （2）因为，所以，则， 所以 . 【变式7-3】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）计算： (1)已知，求的值； (2)； (3)设，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【解题思路】（1）由已知等式两边平方，即可求解； （2）由指数幂和对数的运算法则，即可求解； （3）指对互化可得，再代入，通过对数运算即可求解. 【解答过程】（1）由，则， 即. （2）． （3）因为， 所以， 则 【题型8 运用换底公式证明恒等式】 【例8】（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 【变式8-1】（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值： (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【解答过程】（1） ， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 【变式8-2】（25-26高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【解题思路】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【解答过程】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 【变式8-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）8； （3）证明见解析； 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 模块四 对数的实际应用 【知识点3 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型9 对数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·河北邢台·期末）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【解题思路】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【解答过程】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 【变式9-1】（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【解题思路】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【解答过程】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·四川德阳·期末）人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【解题思路】利用已知关系式结合已知条件建立对数关系，再利用对数运算法则计算求解． 【解答过程】设里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是，里氏5.8级地震发生时所释放出的能量是， ， ， ，解得，故D正确． 故选：D． 【变式9-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【解题思路】利用公式及一杯的热水降至大约用时1分钟求得，再将数据代入得方程，利用对数的运算律计算即可得到答案. 【解答过程】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解. 【解答过程】因为， 故选：A. 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则将对数符号去掉，即可得解. 【解答过程】由题得，解得， ， 解得或（舍），故. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏徐州·期末）化简的结果为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【解题思路】利用指数、对数的性质及运算法则直接求解. 【解答过程】原式， ， ， . 故选：A. 4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【解答过程】由题可得，所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【解答过程】由题意有：， 故选：B. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【解答过程】设， 则，，， 所以 ， 又，，则，所以. 故选：C. 7．（25-26高一上·四川凉山·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意由指数与对数的关系和指数的运算性质计算可得. 【解答过程】由题意可得，， 所以. 故选：D. 8．（25-26高一上·四川广安·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．6078 B．2025 C．2026 D．6079 【答案】D 【解题思路】由指数与对数的互化和对数的运算性质计算可得. 【解答过程】因为且， 则，所以，即， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】利用对数运算法则和换底公式计算，得到答案. 【解答过程】A选项，，A错误； B选项，，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD. 10．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【解题思路】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD. 11．（25-26高一上·江西新余·期末）下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】AB 【解题思路】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南京·期末）计算：__________. 【答案】 【解题思路】根据指数运算性质和对数运算性质求解. 【解答过程】， 故答案为：. 13．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知，则的值为__________. 【答案】1 【解题思路】利用指数式与对数式的互化，结合换底公式和对数的运算规则求解. 【解答过程】已知，则有， 所以，得. 故答案为：1. 14．（25-26高一上·福建宁德·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】10 【解题思路】设出未知数，得到不等式，两边取对数，得到，求出答案. 【解答过程】因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减， 设t小时后驾驶员体内的酒精含量为，， 依题意得：，解得 由，得，整理得，两边取对数 解得 所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶. 故答案为：10. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【解题思路】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解. 【解答过程】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 16．（25-26高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 17．（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）. 18．（25-26高一上·福建·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2)8 (3) 【解题思路】（1）利用指数、对数的运算求解； （2）利用根式、指数幂的运算求解即可； （3）利用对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意得 ； （2）由题意得； （3）由，得①， 由，得②， 由①②得， 所以， 所以． 19．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【答案】（1）①；②证明见解析； （2）①；② 【解题思路】（1）①直接写出换底公式；②利用对数换底公式证明； （2）①利用换底公式求值；②由已知得，再利用换底公式和对数运算性质求值. 【解答过程】（1）①对数的换底公式：； ②； （2）①； ②因为， 则， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $