精品解析：2022年江苏省南通市中考数学考前模拟预测试卷

2022年江苏南通中考数学考前模拟预测试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 计算（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 根据“数据安徽”APP发布的最新数据，2019年上半年安庆市财政总收入182.9亿元，增速9.19%，在全省各市排名中上升一位，排名第五位，将182.9亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.829×109 B. 1.829×1010 C. 1.829×1011 D. 1.829×1012 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解八（1）班学生校服的尺码情况 B. 检测一批电灯泡的使用寿命 C. 调查《最强大脑》栏目的收视率 D. 了解全国中学生的视力情况 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ） A. ﹣4＜a＜﹣3 B. ﹣4≤a＜﹣3 C. a＜﹣3 D. ﹣4＜a＜ 9. 已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（ ） A. 4 B. 4 C. 3 D. 3 10. 如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则的值为（ ） A. －4 B. －6 C. －8 D. －10 二．填空题（共8小题，满分30分） 11. 因式分解：_____． 12. 如图，五边形ABCDE中，∠A＝140°，∠B＝120°，∠E＝90°，CP和DP分别是∠BCD、∠EDC的外角平分线，且相交于点P，则∠CPD＝__________°． 13. 若圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是一个半径为6cm的扇形，该圆锥的侧面积是 _____cm2． 14. “赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程假设乙队全程都是匀速运动，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动．甲、乙两队之间的距离（米）与乙队行驶（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有______米． 15. 一艘轮船以千米/时的速度向正东方向航行，到达点时测得小岛在点北偏东方向，继续航行半小时到达点，这时测得小岛在点的东北方向；再继续航行_____小时，轮船刚好到达小岛的正南方向（，）． 16. 已知，的是一元二次方程的两个实数根，则 _____． 17. 定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”． （1）若点的坐标为，点的坐标为，则在点，，中，的“等高点”是_____； （2）若，，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是_____． 18. 等腰直角三角形中，斜边长为，则直角边长为_____． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19. （1）解方程：； （2）化简求值：，其中． 20. 在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 21. 某中学开展歌咏比赛，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写表格： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 九（2） 85 100 （2）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩稳定． 22. 一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从口袋中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是　 　； （2）先从口袋中随机摸出一个球，不放回，再从中口袋中随机摸出一个球．请用列举法（画树状图或列表）求摸出一个红球和一个白球的概率． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E． （1）求证：BE＝EC． （2）填空：若∠B＝30°，DE＝，则弧DC的长度为 　 　． 注：第（2）小题直接写出结果． 24. 某学校欲购置一批标价为4800元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两个专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠． 设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲（元），乙店购买费用为y乙（元）． （1）分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x（台）之间的函数关系式； （2）对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？ 25. 矩形纸片ABCD中，AB=4． 实践思考： （1）连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若ADAB，如图①． ①BD=______，tan∠ADB=______； ②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形； ③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______； （2）若AD=（1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数； 拓展探究： （3）若ADAB，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______． 26. 定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，则这两个函数互为“旋转函数”．请解决下列问题： （1）求出二次函数的旋转函数的顶点坐标； （2）若二次函数与互为“旋转函数”，直线l与函数，的图象都只有一个公共点，求的值以及直线l的解析式； （3）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知点，与y轴相切，交x轴正半轴于点A，点B在上，且，与关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过、O、与A、O、B三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年江苏南通中考数学考前模拟预测试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 计算（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：． 2. 根据“数据安徽”APP发布的最新数据，2019年上半年安庆市财政总收入182.9亿元，增速9.19%，在全省各市排名中上升一位，排名第五位，将182.9亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.829×109 B. 1.829×1010 C. 1.829×1011 D. 1.829×1012 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将182.9亿用科学记数法表示为182.9×108＝1.829×1010． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断每个选项中的运算属于整式运算的哪类，若是同类项合并的运算，先判断所含字母及对应字母的指数是否相同，确认是同类项后，合并时系数相加，字母和字母的指数保持不变．若为同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加进行验证．若为幂的乘方运算，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘进行验证． 【详解】解：A，，故此选项不符合题意； B，，故此选项不符合题意； C，与不是同类项，不可以合并，故此选项不符合题意； D，，故此选项符合题意． 4. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解八（1）班学生校服的尺码情况 B. 检测一批电灯泡的使用寿命 C. 调查《最强大脑》栏目的收视率 D. 了解全国中学生的视力情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查与抽样调查的适用范围判断即可，普查适用于范围较小，调查无破坏性，对结果精度要求高的情况． 【详解】解：调查对象为八(1)班全体学生，范围小，需要获取准确的尺码数据，A适宜采用普查； 检测电灯泡使用寿命具有破坏性，B适宜抽样调查； 调查栏目收视率，调查范围广，工作量大，C适宜抽样调查； 调查全国中学生视力情况，调查范围广，工作量大，D适宜抽样调查． 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察主视图发现右上角缺失三角形，排除B、C选项； 观察俯视图发现右下角缺失三角形，D选项俯视图缺失长方形，排除D选项； ∴该几何体可能是A选项． 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO， ∴BC＝＝＝5， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE， ∴AE＝＝． 在Rt△ABE中，BE＝＝＝ ， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝， ∴的值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分． 7. 在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接列方程组即可． 【详解】解：∵八年级（1）班共有40名同学， ∴； 又∵八年级（1）班共捐款275元， ∴． ∴所列方程组为． 8. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ） A. ﹣4＜a＜﹣3 B. ﹣4≤a＜﹣3 C. a＜﹣3 D. ﹣4＜a＜ 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是﹣4≤a＜﹣3． 【详解】解不等式x﹣a＞0，得：x＞a， 解不等式3﹣2x＞0，得：x＜1.5， ∵不等式组的整数解有5个， ∴﹣4≤a＜﹣3， 故选:B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围． 9. 已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（ ） A. 4 B. 4 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由当与AB重合时，即，此时走过的距离为m，重叠部分面积达到最大值，为的面积，结合题意即可求出m的值．再根据，当与AC重合时，此时．此时走过的距离为m+4，由此可求出的长，从而可求出BC的长，进而即可求出结果． 【详解】如图，当与AB重合时，即点到达B点，此时．此时走过的距离为m，即为的长．且此时重叠部分面积达到最大值，为的面积，大小为1． ∵为等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴． 如图，当与AC重合时，即点到达C点，此时．此时重叠部分面积即将变小，且走过的距离为m+4． ∴此时． ∴，即． ∵为等腰直角三角形， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的关键是通过函数图象得到平移过程中重合部分的形状． 10. 如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则的值为（ ） A. －4 B. －6 C. －8 D. －10 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F，先证明S△OBC＝S△ABC＝10，由，得出S△OPB＝，S△OPC＝，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OBE＝，进一步得出S△PBE＝，通过证明△BEP∽△CFP，得出S△CFP＝，然后根据S△OCF＝S△OCP －S△CFP求得△OCF的面积为4，从而求得k的值． 【详解】解：连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F． ∵OA//BC， ∴S△OBC＝S△ABC＝10， ∵， ∴S△OPB＝，S△OPC＝， ∵S△OBE＝， ∴S△PBE＝， ∵△BEP∽△CFP， ∴S△CFP＝4×＝， ∴S△OCF＝S△OCP －S△CFP＝， ∴k＝−8． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度． 二．填空题（共8小题，满分30分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，五边形ABCDE中，∠A＝140°，∠B＝120°，∠E＝90°，CP和DP分别是∠BCD、∠EDC的外角平分线，且相交于点P，则∠CPD＝__________°． 【答案】95 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理：（n-2）•180°，可得出∠BCD、∠EDC的和，从而得出相邻两外角和，然后根据角平分线及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：五边形ABCDE的内角和为：（5-2）×180°=540°， ∴∠BCD+∠EDC=540°-140°-120°-90°=190°， 又∵CP和DP分别是∠BCD、∠EDC的外角平分线， ∴∠PCD+∠PDC=（360°-∠BCD-∠EDC）=85°， 根据三角形内角和定理得：∠CPD=180°-85°=95°． 故答案为：95． 【点睛】本题考查多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理，熟记定理和性质是解题的关键． 13. 若圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是一个半径为6cm的扇形，该圆锥的侧面积是 _____cm2． 【答案】 【解析】 【分析】侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：(cm2)． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式． 14. “赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程假设乙队全程都是匀速运动，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动．甲、乙两队之间的距离（米）与乙队行驶（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有______米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据图像明确整个的比赛过程，先求得乙队的速度，再设甲队提速前的速度为p m/s，则提速后的速度为（1+）p，利用45秒时，甲乙两队的赛程相等建立方程求得甲队速度，第二次甲乙两队的距离最大时，即为甲队到达终点时，设时间为t，利用甲队总共用了t秒，赛完全程列方程，求得t，从而得到乙还需赛的时间，进而求得此时乙队离终点的距离； 【详解】解：由图可知，乙队在第15秒时，领先甲队最远，而后甲队提速，在第45秒时追平了乙队，继而反超，到某个时间点先到达终点，且此时反超乙队最远，而后乙队在第100秒时到达终点．故乙队用了100秒的时间赛完全程，得到乙队的速度为300÷100=3 m/s； 设甲队提速前的速度为p m/s，则15秒后提速，速度为（1+）p，由图可知，甲队45秒所赛路程等于乙队45秒所赛路程，依次列方程得： 15p+30(1+)p=3×45， 解得：p=2 即甲队的速度为2 m/s， 设甲队在t秒时，到达终点，依题意有 15×2+2（1+）（t-15）=300， 解得：t=， 故乙队在甲队到达终点后又赛了（100-）=秒，故此时距离终点为×3=米 故答案为： 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息及一元一次方程的应用，根据图象，分析得出整个的比赛的变化过程，结合方程的思想求解是解决本题的关键． 15. 一艘轮船以千米/时的速度向正东方向航行，到达点时测得小岛在点北偏东方向，继续航行半小时到达点，这时测得小岛在点的东北方向；再继续航行_____小时，轮船刚好到达小岛的正南方向（，）． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，过作交的延长线于， 由题意得：（千米），，， 是等腰直角三角形，， ， 设千米，则千米， ， ，解得， ， （小时）， 即再继续航行小时，轮船刚好到达小岛的正南方向． 16. 已知，的是一元二次方程的两个实数根，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系定理计算即可． 【详解】∵，的是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，正确理解定理是解题的关键． 17. 定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”． （1）若点的坐标为，点的坐标为，则在点，，中，的“等高点”是_____； （2）若，，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是_____． 【答案】 ①. A或B ②. Q（）或Q（） 【解析】 【分析】（1）根据“等高点”定义，即点到线段所在直线的距离为2，由 ， 纵坐标均为 2可知线段 平行于 轴，故只需验证各候选点纵坐标是否满足 即可筛选出符合条件的点； （2）求“等高距离” 的最小值，利用几何性质可知，当 关于高 对称（即 ）时，腰长之和最小，此时结合勾股定理求出腰长 ，再设 ，利用 和 建立方程组，求解 点坐标，注意 点可能位于 轴两侧，需分类讨论得出两个解． 【详解】（1）解：，， 点，到的距离为． 的“等高点”是或． (2)如图2，过的“等高点”作于点， ，． 设，则， 在和中，由勾股定理得： ， 当最小时也最小，此时， 即， 为等腰三角形， ， 如图3，设坐标为，过点作轴于点， 则在和中由勾股定理得： 解得， 当点在第一象限时，当点在第二象限时， ∴故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义型几何问题、点到直线的距离公式、勾股定理以及利用几何性质（如对称性、等腰三角形性质）求线段和的最小值，关键是准确理解“等高点”与“等高距离”的定义，将代数坐标运算与几何图形性质相结合，特别是在第二问中，能够识别出当为等腰三角形时取得最小值，并熟练运用勾股定理建立方程求解点的坐标． 18. 等腰直角三角形中，斜边长为，则直角边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设等腰直角三角形的直角边长为（），根据勾股定理可得：，解方程求出即为等腰直角三角形的直角边长． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为（）， 则， 解得：． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19. （1）解方程：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和整式的混合运算，熟练掌握解分式方程的步骤和整式的运算法则是解题关键． （1）首先去分母，然后再解整式方程，最后进行检验即可； （2）首先去括号合并同类项，化简后，再代入a的值计算即可． 【详解】解：（1）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2） ， 当时， 原式． 20. 在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【解析】 【分析】解题时先结合题图获取伞高、伞面宽度、原有阴影长度、人的身高这些已知数值，依托平行投影光线平行的几何特征证明两个直角三角形相似，代入边长比例式计算出人头顶影子最远点到伞脚的距离，结合原有阴影下限，划定出不受光照的距离范围． 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 21. 某中学开展歌咏比赛，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写表格： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 九（2） 85 100 （2）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩稳定． 【答案】（1）九（1）班平均数为85，众数为85，九（2）班中位数为80；（2）70；（3）九年级（1）班复赛成绩的方差为70，九（1）班的方差小，成绩更稳定些． 【解析】 【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数、众数的定义和平均数的求法即可得答案； （2）根据方差公式计算可得九年级（1）班复赛成绩的方差，根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定即可得答案． 【详解】（1）由图可知：九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100， 九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、75、80、100、100， 九（1）班的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85， ∵九（1）班的5个成绩中，85出现2次， ∴九（1）的众数为85， ∵九（2）班的5个成绩中，中间的数是80， ∴九（2）班的中位数为80， 填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 85 85 九（2） 85 80 100 （2）∵九（1）班平均数为85， ∴九（1）班方差s12=[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]=70， ∵九（2）班的方差为160，70<160， ∴九（1）班的成绩更稳定些． 【点睛】本题考查平均数、中位数、众数及方差，将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数；方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；熟练掌握相关定义及方差公式是解题关键． 22. 一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从口袋中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是　 　； （2）先从口袋中随机摸出一个球，不放回，再从中口袋中随机摸出一个球．请用列举法（画树状图或列表）求摸出一个红球和一个白球的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好一红一绿的结果数，然后根据概率公式进行计算． 【详解】解：（1）若从中任意摸出一个球，摸出红球的概率P（红球）＝． 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中摸出一个红球和一个白球的结果数为4， 所以摸出一个红球和一个白球的概率==． 【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法并能利用列举法列出所有等可能结果是解题的关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E． （1）求证：BE＝EC． （2）填空：若∠B＝30°，DE＝，则弧DC的长度为 　 　． 注：第（2）小题直接写出结果． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由题意知，，由，可得，，证明，可得，进而结论得证； （2）如图1，连接，由三角形外角的性质可得，进而说明是等边三角形，故有． 【小问1详解】 证明：如图，连接 由题意知， ∵， ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ 在中，， ∴，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线，等腰三角形的判定，三角形全等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 24. 某学校欲购置一批标价为4800元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两个专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠． 设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲（元），乙店购买费用为y乙（元）． （1）分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x（台）之间的函数关系式； （2）对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？ 【答案】（1），y甲＝3840x（6≤x≤15）；y乙＝4320x﹣4320（6≤x≤15）；（2）当购买9台电脑时，到两家商店购买费用相同；当10≤x≤15时，到甲商店更合算；当6≤x≤8时，到乙商店更合算 【解析】 【分析】（1）根据两家电脑商的优惠方法可得y甲（元），乙店购买费用为y乙（元）； （2）根据（1）的结论列方程或不等式解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：y甲＝4800×0.8x＝3840x（6≤x≤15）； y乙＝4800×0.9（x﹣1）＝4320x﹣4320（6≤x≤15）； （2）当3840x＝4320x﹣4320时， 解得x＝9， 即当购买9台电脑时，到两家商店购买费用相同； 当3840x＜4320x﹣4320时， 解得x＞9， 即当10≤x≤15时，到甲商店更合算； 当3840x＞4320x﹣4320时， 解得x＜9， 即当6≤x≤8时，到乙商店更合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家电脑商的优惠方法并表示出y甲、y乙与所购电脑x（台）之间的函数关系式是解题的关键． 25. 矩形纸片ABCD中，AB=4． 实践思考： （1）连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若ADAB，如图①． ①BD=______，tan∠ADB=______； ②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形； ③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______； （2）若AD=（1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数； 拓展探究： （3）若ADAB，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______． 【答案】（1）①8，；②等腰；③ （2）∠DBM=22.5° （3）42 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质得∠A=90°，再由勾股定理得BD=8，然后由锐角三角函数定义得即可； ②由得∠ADB=30°，再由等腰直角三角形的性质得∠AEG=45°，然后由折叠的性质得∠GEH=∠ABD=60°，求出∠DEH=∠DHE，即可得出结论； ③由矩形的性质得∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，CD=AB=4，求出∠CDF=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后由三角形面积公式即可求解； （2）由等腰直角三角形的性质得∠AMB=45°，AM=AB=4，，再证BM=DM，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （3）作点N关于AB的对称点，则，由圆周角定理得点P在以BC为直径的半圆O上，连接交AB于Q，交半圆O于P，则OP=OB=，，此时PQ＋QN的值最小，再证'≌△BQO（AAS），得=QO，AQ=BQ=，然后由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∵AB=4，ADAB， ∴ADAB=4， ∴， ， 故答案为：8，； ②由①得：tan∠ADB， ∴∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°﹣∠ADB=60°， ∵∠A=90°，△AGE为等腰三角形， ∴∠AEG=45°， 由折叠的性质得：∠GEH=∠ABD=60°， ∴∠DEH=180°﹣∠AEG﹣∠GEH=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴∠DHE=180°﹣∠DEH﹣∠ADB=180°﹣75°﹣30°=75°， ∴∠DEH=∠DHE， ∴DE=DH， ∴△DHE是等腰三角形， 故答案为：等腰； ③∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，CD=AB=4， ∴∠DCF=90°， 由②得：∠ADB=30°， ∴∠BDC=90°﹣∠ADB=60°， ∵DF⊥BD， ∴∠BDF=90°， ∴∠CDF=90°﹣∠BDC=30°， ∴CFCD， ∴S△ACFCF×AB， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵∠A=90°，AM=AB， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB=45°，AM=AB=4，BMAB=4， ∵AD=（1）AB=44， ∴DM=AD﹣AM=4， ∴BM=DM， ∴∠DBM=∠BDM∠AMB=22.5°； 【小问3详解】 解：∵ADAB=4，N为边AD的中点， ∴ANAD=2， 作点N关于AB的对称点N'， 则AN'=AN=2， ∵∠BPC=90°， ∴点P在以BC为直径的半圆O上，连接ON'交AB于Q，交半圆O于P， 则OP=OBBC=2，QN=QN'， 此时PQ＋QN的值最小=PQ＋QN'=PN'， ∵∠N'AQ=90°=∠OBQ，∠AQN'=∠BQO，AN'=BO=2， ∴△AQN'≌△BQO（AAS）， ∴QN'=QO，AQ=BQAB=2， ∴， ∴PQ＋QN=PN'=2QO﹣OP=42， 即PQ＋QN的最小值为42， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、轴对称的性质、圆周角定理以及最小值问题等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质． 26. 定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，则这两个函数互为“旋转函数”．请解决下列问题： （1）求出二次函数的旋转函数的顶点坐标； （2）若二次函数与互为“旋转函数”，直线l与函数，的图象都只有一个公共点，求的值以及直线l的解析式； （3）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知点，与y轴相切，交x轴正半轴于点A，点B在上，且，与关于原点对称，若两个二次函数的图象分别经过、O、与A、O、B三点，求证：这两个二次函数互为“旋转函数”． 【答案】（1） （2），直线l的解析式为或 （3）证明：如图，当在第一象限时，过作轴于， ∵点，与y轴相切，交x轴正半轴于点A， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵与关于原点对称， ∴，， 设经过A、O、B三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， 设经过、O、三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， ∴满足， ∴分别经过、O、与A、O、B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 当在第四象限时，过作轴于， 同理可得，，，， 设经过A、O、B三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， 设经过、O、三点的抛物线解析式为， 代入得， 解得， ∴满足， ∴分别经过、O、与A、O、B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 综上所述， ∴经过、O、与A、O、B三点的两个二次函数互为“旋转函数”． 【解析】 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义得到函数的“旋转函数”为，再求顶点坐标即可； （2）根据“旋转函数”的定义列方程解得，即可得到，，，再根据直线l与函数，的图象都只有一个公共点，联立得到的一元二次方程都有两个相等的实数根，根据列方程求解即可； （3）先求出和的坐标，再根据对称求出和的坐标，最后分别求出函数解析式，根据系数判断即可，注意根据在第一象限或第四象限分情况讨论． 【小问1详解】 解：由二次函数可知，， ∵由“旋转函数”可得， ∴， ∴函数的“旋转函数”为； ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵与互为“旋转函数”， ∴， 解得：， ∴，，， 设直线l的解析式为， ∵直线l与函数，的图象都只有一个公共点， ∴与都有两个相等的实数根， 整理得与都有两个相等的实数根， ∴， 解得或， ∴直线l的解析式为或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $