精品解析：2022年江苏省镇江市中考数学考前模拟预测试题

2022年江苏省镇江市中考数学考前模拟预测试题 一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 1. 如果a、b、c是非零实数，且，那么的值为_____． 2. 要使有意义，x的取值范围是_____． 3. 27的立方根为_____． 4. 正六边形的一个内角的度数为________°． 5. 完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 6. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭，8月份比7月份节约用水情况统计：那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是_______m3 节水量(m3) 0.2 0.3 0.4 0.5 家庭数(个) 1 2 3 4 7. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼的时间的众数、中位数分别是_____． 8. 已知∽，若周长比为4：9，则_____________． 9. 如图，点 A、B、C、O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C、O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P、Q分别是 A、M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ2的值为___． 10. 直线经过点（0，_____）与点（_____，0），y随x的增大而_____ 11. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和1个白球，现从中任取1个球，不放回，再取出一个球，则取到的是颜色不同的两个球的概率为_____ 12. 图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cosB＝，将△ABC绕点C顺时针旋转到△DEC，点B落在点D处，点A落在点E处，如果点D在边AB上，DE与边AC相交于点F，那么CF的长____． 二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 14. 2021年10月16日0时23分我国发射了神舟十三号载人飞船，利用长征二号F运载火箭将神舟十三号载人飞船送入近地点高度200000米的近地轨道，并与天和核心舱进行交会对接．将200000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 16. 若使等式（﹣10）□（﹣5）＝2成立，则□中应填入的运算符号是（　　） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 17. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（　　） A. 15π B. 12π C. 25π D. 20π 18. 已知(取的末位数字)，(取的末位数字)，(取的末位数字) …，则的值为（ ） A. 6 B. 4028 C. 4042 D. 4048 三．解答题（共10小题，满分78分） 19. （1）计算： （2）化简： 20. 解方程和不等式组： （1）； （2）． 21. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中任意抽取牛奶饮用，抽取任意一瓶都是等可能的. （1）若小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是 ； （2）若小芳任意抽取2瓶，请用画树状图或列表法求，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率. 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形． 23. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一、书中记载:“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何？”意思是:“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱、问共有几个人？” 24. 某校学生的数学期末总评成绩由课堂表现评价、平时作业、考试成绩三部分组成，各部分所占比例如图所示，小明的课堂表现评价、平时作业、考试成绩得分如下表所示（单位：分）： 类别 课堂表现评价 平时 作业 考试 成绩 评价1 评价2 评价3 评价4 成绩 94 90 91 93 90 95 （1）计算小明课堂表现评价的平均得分． （2）请计算出小明的数学总评成绩（精确到个位）． 25. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线AB的一个交点为A（，n）． （1）求直线AB对应的函数表达式； （2）点C在y轴上，当△ABC的面积为6时，求点C的坐标； （3）在直线AB上方的平面内是否存在点D，使△ABD为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，AB是半圆O的直径，以AB为边在半圆同侧作正方形ABCD，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连接DQ，设半圆的半径为a． （1）判断直线DQ与半圆O的位置关系，并说明理由； （2）求sin∠DQP的值． 27. 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． （1）在图1中补全图形； （2）直接写出图1中； （3）当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （4）如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年江苏省镇江市中考数学考前模拟预测试题 一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 1. 如果a、b、c是非零实数，且，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知得到a、b、c两正一负或两负一正，，，，则有，然后利用绝对值的意义化简，结合实数的运算即可求解． 【详解】解：∵，a、b、c均不为0， ∴a、b、c两正一负或两负一正，，，， ∴． ①当a、b、c两正一负时， 原式； ②当a、b、c两负一正时， 原式； 综上，原式的值为． 2. 要使有意义，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，且分式的分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 整理得：， 解得：， x的取值范围是． 3. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 4. 正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角的度数为． 故答案为：120． 5. 完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. 0 ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. ⑩. 3 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤填空即可． 【详解】略 6. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭，8月份比7月份节约用水情况统计：那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是_______m3 节水量(m3) 0.2 0.3 0.4 0.5 家庭数(个) 1 2 3 4 【答案】0.4 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式即可求出答案. 【详解】这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可. 7. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻炼的时间的众数、中位数分别是_____． 【答案】8小时、9小时 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼的时间为8小时的人数是16人，人数最多， ∴众数是8小时； 将该班40名同学一周参加体育锻炼的时间从小到大排列，第20和21位置上的数都为9， ∴中位数是（小时）． 8. 已知∽，若周长比为4：9，则_____________． 【答案】4：9 【解析】 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】∵△ABC∽△DEF， ∴． 故答案为：4:9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比是解题的关键． 9. 如图，点 A、B、C、O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C、O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P、Q分别是 A、M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ2的值为___． 【答案】10 【解析】 【分析】连接PQ，AM，根据PQ=AM即可解答． 【详解】解：连接PQ，AM， 由图形变换可知：PQ=AM， 由勾股定理得：AM2=12+32=10． ∴PQ2=AM2=12+32=10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键． 10. 直线经过点（0，_____）与点（_____，0），y随x的增大而_____ 【答案】 ①. ②. ③. 增大 【解析】 【分析】将和代入求出直线经过点和点，然后根据得到y随x的增大而增大． 【详解】解：∵ ∴当时，； 当时，， 解得， 所以直线经过点和点， 因为， 所以y随x的增大而增大． 11. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和1个白球，现从中任取1个球，不放回，再取出一个球，则取到的是颜色不同的两个球的概率为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画树状图求解即可． 【详解】解：依据题意画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中取到的是颜色不同的两个球的结果数为4， 所以取到的是颜色不同的两个球的概率=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是简单的概率问题，弄清题意，画出树状图是解此题的关键． 12. 图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cosB＝，将△ABC绕点C顺时针旋转到△DEC，点B落在点D处，点A落在点E处，如果点D在边AB上，DE与边AC相交于点F，那么CF的长____． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AN⊥BC于N，可得，∠ABC=∠ACB，由，，，由旋转的性质可得，，，∠BAC=∠E，∠ACB=∠ECF，由此即可证明△CBD∽△ABC，CF=FE，从而求出，然后证明△ADF∽△ECF，得到，即可求解． 【详解】：如图所示，过点A作AN⊥BC于N， ∵AB=AC=3，AN⊥BC， ∴，∠ABC=∠ACB， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，，∠BAC=∠E，∠ACB=∠ECF， ∴∠ABC=∠CDB，∠BCD=∠ECF， 又∵∠ABC=∠CBD， ∴△CBD∽△ABC， ∴，∠BCD=∠BAC， ∴，∠ECF=∠BAC=∠E， ∴，CF=FE， ∵∠DAF=∠CEF，∠AFD=∠EFC， ∴△ADF∽△ECF， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可． 【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下： 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提． 14. 2021年10月16日0时23分我国发射了神舟十三号载人飞船，利用长征二号F运载火箭将神舟十三号载人飞船送入近地点高度200000米的近地轨道，并与天和核心舱进行交会对接．将200000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：将200000用科学记数法表示应为2×105， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 15. 如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 16. 若使等式（﹣10）□（﹣5）＝2成立，则□中应填入的运算符号是（　　） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的运算即可确定出符号． 【详解】 ∴若使等式（﹣10）□（﹣5）＝2成立，则□中应填入的运算符号是÷， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算是解题的关键． 17. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（　　） A. 15π B. 12π C. 25π D. 20π 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】这个圆锥的底面圆的半径＝＝3， 所以这个圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π． 故选A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 18. 已知(取的末位数字)，(取的末位数字)，(取的末位数字) …，则的值为（ ） A. 6 B. 4028 C. 4042 D. 4048 【答案】C 【解析】 【分析】先计算部分数的乘积，观察运算结果，发相规律，每运算5次后结果重复出现，求出++++和，再求2021次运算重复的次数，用除数5，商和余数表示2021=5×404+1，说明重复404次和的结果，（++++）×10+2计算结果即可． 【详解】， ，，，，，，，，，， 每5次运算一循环， ++++=2+6+2+0+0=10， 2021=5×404+1， =10×404+2=4040+2=4042． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义运算，读懂题目的含义与要求，掌握运算的方法，观察部分运算结果，从中找出规律，用规律解决问题是解题关键． 三．解答题（共10小题，满分78分） 19. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据幂运算的性质、绝对值的化简和特殊角的锐角三角函数值进行计算：cos30°=，，，． （2）首先化简分式：先计算括号内的，再进一步把除法化为乘法计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】此题综合考查了幂运算的性质、绝对值的化简、特殊角的锐角三角函数值、分式的化简． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式方程的求解步骤解方程即可； （2）先求解每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为该不等式组的解集． 【小问1详解】 解：方程两边都乘以得： 去括号，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 所以是原方程的解， 即原方程的解是； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是：． 21. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中任意抽取牛奶饮用，抽取任意一瓶都是等可能的. （1）若小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是 ； （2）若小芳任意抽取2瓶，请用画树状图或列表法求，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率. 【答案】（1）；（2）抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果，从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是， 故答案为：. （2）设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为 画树状图如图所示， 由图可知，共有12种等可能结果； 由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果， 所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为． 答：抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，准确画出树状图是解答本题的关键. 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠BAD=∠BCD， ∴∠1=∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）12 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF； （2）通过证明BE=DE，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：当∠ABE=10°时，四边形BFDE是菱形， 理由如下：∵△ABE≌△CDF， ∴BE=DF，AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∴AD+AE=BC+CF， ∴BF=DE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵∠1=32°，∠ADB=22°， ∴∠ABD=∠1-∠ADB=10°， ∵∠ABE=12°， ∴∠DBE=22°， ∴∠DBE=∠ADB=22°， ∴BE=DE， ∴平行四边形BFDE是菱形， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 23. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一、书中记载:“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何？”意思是:“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱、问共有几个人？” 【答案】9 【解析】 【分析】设有x个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有个人. 由题意列方程，得: 解得. 答：共有9个人. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 24. 某校学生的数学期末总评成绩由课堂表现评价、平时作业、考试成绩三部分组成，各部分所占比例如图所示，小明的课堂表现评价、平时作业、考试成绩得分如下表所示（单位：分）： 类别 课堂表现评价 平时 作业 考试 成绩 评价1 评价2 评价3 评价4 成绩 94 90 91 93 90 95 （1）计算小明课堂表现评价的平均得分． （2）请计算出小明的数学总评成绩（精确到个位）． 【答案】（1）小明课堂表现评价得分为92分 （2）小明的数学总评成绩约为93分 【解析】 【分析】根据平均数和加权平均数的计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：分， 答：小明课堂表现评价得分为92分． 【小问2详解】 解：分， 答：小明的数学总评成绩约为93分． 25. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线AB的一个交点为A（，n）． （1）求直线AB对应的函数表达式； （2）点C在y轴上，当△ABC的面积为6时，求点C的坐标； （3）在直线AB上方的平面内是否存在点D，使△ABD为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点为或；（3）存在，点为或或 【解析】 【分析】（1）将A点代入反比例函数解析式得出A点坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）根据OC是△ABC的中线得，△AOC的面积是3，即可求出OC的值，进而求出C点的坐标； （3）分AB为斜边，A点为直角顶点，B点为直角顶点三种情况讨论，分别计算出D点坐标即可． 【详解】解：（1）将点代入得：， ∴点． 设直线对应的函数表达式为， 将点代入得：，． ∴直线对应的函数表达式：． （2）∵是的中线，∴， ∴，， 点为或． （3）存在D点使△ABD是等腰直角三角形， ∵A（−3，1），B（3，−1）， 设D（x，y）， ∴AB＝，AD＝，BD= ①以AB为斜边时， 此时，AD＝BD＝AB＝2， ∴， 解得或， ∵D点在AB的上方， ∴此时，D（1，3）； ②以A点为直角顶点时， 此时，AD＝AB＝2，BD＝AB＝4， ∴， 解得或， ∵D点在AB的上方， ∴此时，D（−1，7）； ③以B为直角顶点时， 此时，BD＝AB＝2，AD＝AB＝4， ∴， 解得或，， ∵D点在AB的上方， ∴此时，D（5，5）， 综上，符合条件的D点坐标为（1，3）或（−1，7）或（5，5）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 26. 如图，AB是半圆O的直径，以AB为边在半圆同侧作正方形ABCD，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连接DQ，设半圆的半径为a． （1）判断直线DQ与半圆O的位置关系，并说明理由； （2）求sin∠DQP的值． 【答案】（1）DQ是半圆的切线，理由见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接OQ，OD，得出四边形DOBP是平行四边形，证得△AOD≌△QOD，求得∠OQD＝∠OAD＝90°，得到OQ⊥DQ，即可得证；（2）求得∠DQP＝∠ODQ，OD＝=，利用sin∠DQP＝sin∠ODQ＝即可求解. 【详解】解：（1）DC和半圆O相切 连接OQ，OD，如图 ∵DP∥OB，DP＝OB ∴四边形DOBP是平行四边形 ∴DO∥BP ∴∠AOD＝∠OBP，∠DOQ＝∠OQB ∵OB＝OQ ∴∠OBP＝∠OQB ∴∠AOD＝∠QOD ∴△AOD≌△QOD（SAS） ∴∠OQD＝∠OAD＝90° ∴OQ⊥DQ即DQ是半圆的切线 （2）由①可知，DO∥BP ∴∠DQP＝∠ODQ ∵DQ＝AD＝2a，OQ＝a ∴∠DQP＝∠ODQ ∵DQ＝AD＝2a，OQ＝a ∴OD＝= ∴sin∠DQP＝sin∠ODQ＝ 【点睛】此题主要考查四边形与圆的综合解题的关键是熟知全等三角形的判定与三角函数的定义求解. 27. 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）H点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； 【小问3详解】 解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 28. 已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． （1）在图1中补全图形； （2）直接写出图1中； （3）当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （4）如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】（1） （2）45 （3）不变；理由： 如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 的值不变； （4），5 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质和旋转的性质证明，进而得到、，根据三角形内角和定理得到，再利用三角形中位线定理求出是等腰直角三角形，从而求出的度数； （3）同（2）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，从而求出的值； （4）过点D作于点H，以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出长，根据直角三角形斜边中线的性质求出长，从而求出的最大值和最小值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：如图2，过点D作于点H， 以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 由旋转的性质得：、， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， 点为的中点， ， 的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $