4.4对数函数 课时练习 -2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数函数核心概念与性质，通过基础巩固-能力提升-综合应用三级分层设计，实现从概念理解到逻辑推理的渐进式知识巩固，适配新授课学情。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、定点、基本运算|单选1-5直接考查概念，填空题15-17强化运算，培养抽象能力| |能力提升|单调性、反函数、图像性质|单选6-12结合性质应用，填空题18-21渗透推理意识，发展逻辑思维| |综合应用|含参问题、函数综合|单选13-14及解答题25-27涉及分类讨论，体现模型意识与应用能力|

4.4对数函数 课时练习 一、单选题 1.函数f(x)=loga(4-x)(a>0，且a≠1)的定义域是（   ） A. (0，4)                  B. （4，+∞）                  C. （-∞，4）                  D. （-∞，4）∪（4，+∞） 2.已知函数 ，且 ，则 （   ） A. 4                                           B. 2                                           C.                                            D.  3.不等式log2x＜ 的解集是（   ） A. {x|0＜x＜ }                  B. {x|0＜x＜ }                  C. {x|x＞ }                  D. {x|x＞ } 4.函数 的图象过定点 （ ） A. （1，2）                          B. （2，1）                          C. （-2，1）                          D. （-1，1） 5.在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(   ) A. a>5或a<2                        B. 2<a<3或3<a<5                        C. 2<a<5                        D. 3<a<4 6.函数 与函数 互为反函数，则 （    ） A.                                         B.                                         C.                                         D.  7.已知函数 的最小值为8，则    A.                            B.                            C.                            D.  8.已知 ，则 的大小关系为（  ） A.                           B.                           C.                           D.  9.已知函数 为函数 的反函数，且函数 的图像经过点 ，则函数 的图 像一定经过点（    ） A.                                     B.                                     C.                                     D.  10.函数 的单调增区间为（   ） A.                               B.                               C.                               D.  11.下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取 ， ， ， ，则图象C1 ， C2 ， C3 ， C4对应的a值依次是（    ） A. ， ， ，                                          B. ， ， ， C. ， ， ，                                          D. ， ， ， 12.若关于 的方程 在区间 上有解，则实数 的取值范围是（   ） A.                      B.                      C.                      D.  13.已知函数 的图象与函数 （ ， ）的图象交于点 ，如果 ，那么a的取值范围是（   ） A.                         B.                         C.                         D.  14.已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=， 给出下列命题： ①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是偶函数； ③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立； ④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点． 其中正确命题的个数为（　　） A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3 二、填空题 15.方程 的根为________ 16.函数 的定义域为________． 17.设函数 在区间 上的最大值为 ，则 ________． 18.函数 的最小值为________． 19.已知幂函数 的图象经过点 ，则它的反函数 为________. 20.已知函数 ,则函数 的值域为________，单调减区间为________． 21.设函数 的定义域为A， 的定义域为B， ，则a的取值范围是________． 22.已知函数 的图象过定点 ，若点 也在函数 的图象上，则 ________． 23.已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图象过点 ，则 的值为________. 24.已知关于x方程log2（x﹣1）+k﹣1=0在区间[2，5]上有实数根，那么k的取值范围是________． 三、解答题 25.已知f（x）＝ （a>0，a≠1）. （1）求f（x）的定义域； （2）求使f（x）>0成立的x的取值范围. 26.求函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1）的单调区间及值域． 27.已知：函数f（x）= （a>0且a≠1）. （Ⅰ）求函数f（x）的定义域； （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）设a= ，解不等式f（x）>0. 答案解析部分 一、单选题 1.答案： C 解：根据题意真数大于零可得4-x>0,即可得出x<4. 故答案为：C 【分析】由真数大于零解出关于x的不等式即可求出函数的定义域。 2.答案： A 解：根据题意，f（a）=2，则log2a=2，解可得：a=4， 故答案为：A． 【分析】由已知利用对数的概念，得到log2a=2，即可求出a的值. 3.答案： B 解：依题意 ，由于 是定义域上的递增函数，故 . 故答案为：B. 【分析】利用底数a的值为2，又因为2大于1，推出对数函数的单调性，再利用对数函数的单调性求出不等式的解集。 4.答案： D 解：因为函数 必过点 ，所以当 时，有 ，所以函数 必过点 . 故答案为：D 【分析】根据对数函数 必过点 ，即可确定相应函数图象所过定点坐标. 5.答案：B 解：由对数的定义知   所以2<a<3或3<a<5. 故答案为：B. 【分析】利用对数的意义，底数大于0且不等于1，真数大于0，即可求实数a的取值范围. 6.答案： C 解：根据 得到 ，故反函数为 故答案为：C 【分析】直接利用反函数定义进行计算得到答案. 7.答案： B 解：函数 的最小值为8， 可得 ， 显然 时 的最小值不为8； 时，由对数函数的性质， 可得当 时，的最小值为 ， 由题意可得 ， 设 ， 在 递增， ， ，可得 ， 故答案为：B． 【分析】根据对数函数的单调性，结合二次函数的最值，解不等式即可求出a的取值范围. 8.答案： C 解：由题意，根据指数函数的性质，可得 ， 根据对数函数的图形与性质，可得 ， 所以 的大小关系为 ， 故答案为：C. 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可. 9.答案： B 解：函数 的图像经过点 ，则函数 的图像经过点 ， 则函数 的图像一定经过点 ， 故答案为：B. 【分析】先求出函数 的图像必经过点，然后即可求出函数 的图像一定经过点. 10.答案： D 解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 . 令 ， ， 则 ，函数 在定义域内为单调递减函数， 又 在 上的单调递减区间为 ， 单调递增区间为 . 故答案为：D. 【分析】根据对数函数的基本性质：当底数时，且真数单调递减时，该函数便单调递增，代入数据计算，即可得出答案。 11.答案：D 解：过（0，1）作平行于x轴的直线，与C1 ， C2 ， C3 ， C4的交点的坐标， 为（a1 ， 1），（a2 ， 1），（a3 ， 1），（a4 ， 1）， 其中a1 ， a2 ， a3 ， a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4 ， 所以C1 ， C2 ， C3 ， C4对应的a值依次是 ， ， ， ． 故答案为:D. 【分析】根据对数函数图象和性质判断. 12.答案： A 解：由题意可得：函数 在区间 上的值域为 ， 实数 的取值范围是 故答案为： 【分析】由函数在定义域上单调,则由函数的值域得到关于m的不等式,求m的范围. 13.答案：D 解：由已知中两函数的图象交于点 ， 由指数函数的性质可知，若 ，则 ，即 ， 由于 ，所以 且 ，解得 ， 故答案为：D. 【分析】由指对数函数的性质,两函数的交点坐标应满足的条件求出a的范围. 14.答案： D 解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0）， 定义函数F（x）=， ∴|f（x）|=|a|log2x|+1|， ∴F（x）≠|f（x）|； 故①不对； （2）∵F（﹣x）==F（x） ∴函数F（x）是偶函数； 故②正确； （3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1， ∴|log2m|＞|log2n|， ∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1， 即F（m）＜F（n）成立， 故F（m）﹣F（n）＜0成立； 所以③正确； （4） ∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=， ∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增 ∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1， 故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点， ∵函数F（x）是偶函数， ∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点 故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点． 所以④正确， 【分析】（1）|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对：（2）F（﹣x）==F（x），函数F（x）是偶函数；故②正确；（3）|log2m|＞|log2n|，a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确；（4）x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，运用图象判断即可． 二、填空题 15.答案： 3 解： ， ， ， 且 ， ，故答案为3. 【分析】根据对数式的真数大于0，求出x的取值范围，结合两对数相等，解方程即可求出x的值. 16.答案： 解：   函数 的定义域为 故答案为 【分析】由根号内非负得到不等式,求函数的定义域. 17.答案：4 解：因为 在区间 上单调递增， 所以 ， 解得 . 【分析】结合对数函数性质，判断f(x)的单调性，即可得出答案。 18.答案： 解： 所以，当 ，即 时， 取得最小值 . 所以答案应填： . 【分析】运用对数的计算性质，转化成二次函数，结合其性质，计算最小值，即可得出答案。 19.答案： 解：因为函数 为幂函数，设 ，则 ，则 ， 即幂函数解析式为 ， , 即 ，即函数 的反函数为 ， 故答案为： . 【分析】由函数 为幂函数，设 ，将已知条件代入可得 ， , 再用 表示 ，从而求得函数的反函数. 20.答案：； 解：， ，直线为 ， 由 得 ， 在 上递减， 上递增， 在 上递减， 故答案为 ， . 【分析】（1）掌握对数函数的基本性质（真数恒大于0），即可得出答案。 （2）由题意分析知，当递增时，函数单调递增，否则单调递减，即可得出答案。 21.答案： 解：由 ，可得 ， ， 由 ，可得 或 ．所以 ， ， 或 ，或 ． 故答案为： 【分析】根据函数定义域的求法：真数大于零求解出x的取值范围即为集合A，然后由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再由边界点之间的关系求解出a的取值范围。 22.答案： 解：当 时 ，所以定点 ，代入 中得 【分析】由已知利用对数的性质，得到定点坐标，代入 解出b，利用对数的运算即可得结果. 23.答案：4 解：由题f（x）过点（4,2）,所以 . 【分析】由y=f-1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题． 24.答案：[﹣1，1] 解：关于x方程log2（x﹣1）+k﹣1=0，即 log2（x﹣1）=1﹣k． 当2≤x≤5时，0≤log2（x﹣1）≤2，∴0≤1﹣k≤2，求得﹣1≤k≤1， 故答案为[﹣1，1]． 【分析】当方程log2（x﹣1）+k﹣1=0，即 log2（x﹣1）=1﹣k，在区间[2，5]上，log2（x﹣1）的值域为[0，2]，解出即可得到0≤1﹣k≤2，从而得到k的取值范围. 三、解答题 25.答案：（1）解：由 >0，得−2<x<2，故f（x）的定义域为（−2，2） （2）解：①当a>1时，由 >0＝loga1得 >1，∴0<x<2. ②当0<a<1时，由 >0＝loga1得0< <1，∴−2<x<0. 故当a>1时，所求  的取值范围为 ； 当0<a<1时，所求  的取值范围为 【分析】(1)求对数型函数的定义域,由真数大于0得不等式,求出定义域; (2)对数型不等式,要对底数大于1和小于1分类讨论,由函数的单调性求解. 26.答案：解：函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1） ∴x﹣x2＞0，解得：0＜x＜1， 所以函数y=loga（x﹣x2）的定义域是（0，1）． ∴0＜x﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ≤ ， 所以，当0＜a＜1时，loga（x﹣x2）≥loga，函数y=loga（x﹣x2）的值域为[loga，+∞）， 当a＞1时，loga（x﹣x2）≤loga，函数y=loga（x﹣x2）的值域为（﹣∞，loga]， 当0＜a＜1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是减函数，在[ ，1）是增函数． 当a＞1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是增函数，在[ ，1）是减函数 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得单调区间，利用对数函数的性质和二次函数的性质可得函数y的值域． 27.答案：解：（Ⅰ）由题知： ，解得：-1<x<1， 所以函数f（x）的定义域为（-1，1）； （Ⅱ）奇函数， 证明：因为函数f（x）的定义域为（-1，1），所以对任意x∈（-1，1）， f（-x）= = =-f（x） 所以函数f（x）是奇函数； （Ⅲ）由题知： 即有 ，解得：-1<x<0， 所以不等式f（x）>0的解集为{x|-1<x<0} 【分析】（Ⅰ）直接利用对数的真数为正数求出结果． （Ⅱ）利用奇函数的定义求出结果． （Ⅲ）利用对数函数的单调性与特殊点解对数不等式求出结果． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $