4.4.1 对数函数的概念 同步练 2026-2027学年 高中数学高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念辨析到综合情境应用梯度递进，适配新授课对数函数知识巩固，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对数函数定义、基本性质|以第1题概念辨析、第6题性质验证巩固核心概念| |中档|定义域、函数相等、复合函数|通过第2题定义域求解、第4题函数相等判断提升理解| |提升|实际应用、参数问题|结合北极燕鸥飞行（第14题）、视力表（第15题）情境培养模型意识，多选题（8、9）及参数题（16）发展推理能力|

4.4 练习1　对数函数的概念 1. 下列函数中，属于对数函数的是(　 　) A. y＝2＋log3x B. y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1) C. y＝logax2(a＞0，且a≠1) D. y＝ln x 2. 函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为(　 　) A. (1，4] B. (1，4) C. [1，4] D. [1，4) 3. 若函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，a≠1)的图象过点(7， 3)，则a的值为(　 　) A. B. 2 C. D. 4. 下列各组函数中，相等的是(　 　) A. y＝log3x2与y＝2log3x B. y＝lg 10x与y＝1 C. y＝log3x2与y＝2log3|x| D. y＝lg x与y＝ln x 5. 已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　 　) A. f(x)＝x2 B. f(x)＝2x C. f(x)＝log2x D. f(x)＝eln x 7. 设函数f(u)＝log2u的定义域为(0， 1)，则函数f(ex)的定义域为(　 　) A. (0，1) B. (－1，0) C. (0，＋∞) D. (－∞，0) 8. (多选)函数y＝log(a－2)[(5－a)x]的定义域为{x|x＞0}，则实数a的值可能是(　 　) A. B. 3 C. 4 D. 5 9. (多选)(2024·湖北恩施高中高一月考) 已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则实数a的值可以是(　 　) A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 10. 设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝　 　.  11. 某公司为了调动销售人员的工作积极性，制定了一个奖励方案：当销售额为x万元时，奖金为y万元，若公司的奖励方案为y＝3log3x－2，某业务员要想得到7万元的奖励，则他的销售额应为　 　万元.  12. 若函数y＝(a2－5a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a的值为　 　.  13. (2024·诸暨中学高一检测)求下列函数的定义域： (1)y＝log4(1－x)；(2)y＝log3； (3)y＝. 14. 北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度v(单位：km/min)可以表示为v＝log2－lg x0，其中x表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差(取lg 2＝0.3). (1)当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6 400个单位时，它的飞行速度为1.7 km/min，求此时x0的值； (2)当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍，试问：甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍? 15. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式L＝5＋lg V.已知五分记录法的评判范围是[4.0，5.2]，设lg a＝1.4，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的(　 　) A. B. C. D. 16. 已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1).当x∈时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 练习1　对数函数的概念 1. 下列函数中，属于对数函数的是(　D　) A. y＝2＋log3x B. y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1) C. y＝logax2(a＞0，且a≠1) D. y＝ln x 【解析】判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C错误，D正确. 2. 函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为(　A　) A. (1，4] B. (1，4) C. [1，4] D. [1，4) 【解析】由题意得∴1＜x≤4. 3. 若函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，a≠1)的图象过点(7， 3)，则a的值为(　B　) A. B. 2 C. D. 【解析】由题意得3＝loga(7＋1)，可得a3＝8，则a＝2. 4. 下列各组函数中，相等的是(　C　) A. y＝log3x2与y＝2log3x B. y＝lg 10x与y＝1 C. y＝log3x2与y＝2log3|x| D. y＝lg x与y＝ln x 【解析】由函数的三要素可知，只有C成立. 5. 已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　A　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【解析】由题意得f(－1)＝(－1)2＝1，∴f[f(－1)]＝f(1)＝2－log41＝2. 6. 满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是(　C　) A. f(x)＝x2 B. f(x)＝2x C. f(x)＝log2x D. f(x)＝eln x 【解析】∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f(x)＝log2x满足题目要求. 7. 设函数f(u)＝log2u的定义域为(0， 1)，则函数f(ex)的定义域为(　D　) A. (0，1) B. (－1，0) C. (0，＋∞) D. (－∞，0) 【解析】函数f(u)的定义域为(0，1)，即u∈(0，1)，∴0＜ex＜1，解得x∈(－∞，0)，故函数f(ex)的定义域为(－∞， 0).　 8. (多选)函数y＝log(a－2)[(5－a)x]的定义域为{x|x＞0}，则实数a的值可能是(　AC　) A. B. 3 C. 4 D. 5 【解析】由题意可知，即因此2＜a＜5，且a≠3，A，C正确. 9. (多选)(2024·湖北恩施高中高一月考) 已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则实数a的值可以是(　BC　) A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 【解析】当a＜2时，＝3，解得a＝－1；当a≥2时，log3(a2＋2)＝3， 可得a＝5.综上，a＝5，或a＝－1. 10. 设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝　6　.  【解析】∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)＝＝2＋＝2＋4＝6. 11. 某公司为了调动销售人员的工作积极性，制定了一个奖励方案：当销售额为x万元时，奖金为y万元，若公司的奖励方案为y＝3log3x－2，某业务员要想得到7万元的奖励，则他的销售额应为　27　万元.  【解析】依题意得7＝3log3x－2，即3log3x＝9，得log3x＝3，∴x＝33＝27， 即他的销售额应为27万元. 12. 若函数y＝(a2－5a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a的值为　5　.  【解析】∵函数y＝(a2－5a＋1)log(a＋1)x是对数函数，∴解得a＝5. 13. (2024·诸暨中学高一检测)求下列函数的定义域： (1)y＝log4(1－x)；(2)y＝log3； (3)y＝. 解：(1)要使函数y＝log4(1－x)有意义，需满足1－x＞0，解得x＜1，故函数定义域为(－∞，1). (2)要使函数y＝log3有意义，需满足即(1－x)(1＋x)＞0，解得 －1＜x＜1，故函数定义域为(－1，1). (3)要使函数y＝有意义，需满足即故函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞). 14. 北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度v(单位：km/min)可以表示为v＝log2－lg x0，其中x表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差(取lg 2＝0.3). (1)当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6 400个单位时，它的飞行速度为1.7 km/min，求此时x0的值； (2)当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍，试问：甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍? 解：(1)将v＝1.7，x＝6 400代入v＝log2－lg x0，得1.7＝log2－lg x0，即lg x0＝0.3，解得x0＝2，∴此时x0的值为2. (2)设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为x1，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量为x2，乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为x0'，∵甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍，∴甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为10x0'.由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度v1＝log2－lg(10x0')＝·log2－lg x0'－1，乙北极燕鸥的飞行速度v2＝·log2－lg x0'，由v1＝v2，得log2log2＝1，即log2＝3，∴＝8，即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍. 15. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式L＝5＋lg V.已知五分记录法的评判范围是[4.0，5.2]，设lg a＝1.4，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的(　C　) A. B. C. D. 【解析】设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为V1，最小值对应的小数记录法数据为V2，则两式相减得1.2＝lg V1－lg V2＝lg ，则＝101.2，且lg a＝1.4，可得a＝101.4，∴＝(102.4＝(10×1，C正确，检验可知其余选项均不符合. 16. 已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1).当x∈时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. 解：设t＝3－ax，∵a＞0，且a≠1，∴t＝3－ax为R上的减函数，∴当x∈时，t＝3－ax的最小值为3－a.又当x∈时，f(x)恒有意义，即t＞0对x∈恒成立，∴3－a＞0，∴a＜2，又a＞0，且a≠1，∴实数a的取值范围是(0，1)∪(1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $