辽宁朝阳市建平县普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

数学 参考答案．提示及评分细则 1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．D 8．C 9．BC 10．BC 11．ACD 12．30 13． 14． 15．解：（1）由得， 2分 因为，所以． 4分 （2）由（1）知， 所以， 7分 由，，得，， 9分 由，，得，， 11分 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，． 13分 16．（1）证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点，所以，． 1分 又在三棱柱中，，是线段的中点，所以，． 2分 所以，，所以四边形为平行四边形，所以． 4分 又平面，平面，所以平面． 6分 （2）解：取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点，所以，又平面，，平面，所以，，又，所以，． 8分 在中，，所以是以为底边的等腰直角三角形，又是线段的中点，所以． 9分 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，． 10分 设平面的法向量为， 由得令，解得所以； 12分 设平面的法向量为，由得令，解得所以． 14分 设二面角为，则，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是． 15分 17．解：（1）由题意得的定义域为，， 因为在处取得极值，所以，解得， 2分 此时，， 4分 其中恒成立，当时，，当时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，并且在处取得极大值． 6分 （2）即，令，则， 7分 ，令，则， 所以在上单调递减， 8分 又，， 所以存在唯一的，使得，即，所以． 10分 当时，，，当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 12分 所以，又，所以，又在上单调递增，故， 14分 又，所以整数的最小值为1． 15分 18．解：（1）的焦点，准线方程为， 1分 因为点在上，，所以，， 2分 所以的方程为． 3分 （2）①，设为，代入，消去，得． 4分 设，，则，． 5分 所以，， 6分 又，所以的面积为，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． 8分 ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得， 10分 又是直线与的交点，所以，， 11分 同理，所以， 12分 当时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 13分 当时，，直线的斜率． 15分 此时，可设直线的方程为，与联立，消去得，所以， 又，所以，， 所以的方程化为，直线过． 16分 综上，直线过定点． 17分 19．（1）解：第1次传花后到乙或丙手里，，第2次传花后乙或丙有的概率将花传到甲手里，故， 1分 经过4次传花共有16种情形，其中花回到甲手里共有6种情形，根据古典概型得 3分 （2）解：结合题意得概率为经过次传花后花回到甲手里，要使传花次后，花回到甲手里，则第次传花，花不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传花都有的概率将花传到甲手里，故，所以与（）之间的递推关系为：． 7分 （3）证明：结合（2）得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 8分 所以，所以， 9分 设，其中，， 所以 故． 11分 所以， 12分 因此， 13分 设数列的前项和为，则，① 14分 所以，② 由①-②得， ， 16分 所以，即，得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市建平县普通高中2025-2026学年度下学期高二期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 4．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．通过抽样获得了100户居民的月均用水数据（单位：），制成如下频率分布表． 分组 频率 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05 0.03 0.04 0.02 如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是 A．15 B．14 C．13 D．12 5．已知直线，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．过圆：外一点作圆的切线，切点分别为，，则 A． B． C． D． 7．在中，，，，为边上一点，且平分，则 A． B． C． D． 8．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于另一点，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则 A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 10．已知函数关于的方程，下列命题正确的是 A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 11．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，（），则 A．， B．，使得，，成等比数列 C．，对，，，成等差数列 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项为_________． 13．已知双曲线：（，），若直线为的一条渐近线，则的离心率为_________． 14．印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体、圆柱体等、陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）．图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”。（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数（），． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16．（本小题满分15分） 已知在三棱柱中，平面，，， ，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数（）在处取得极值． （1）求的单调区间； （2若恒成立，求整数的最小值参考数据：，． 18．（本小题满分17分） 已知抛物线：的焦点为，点在上，． （1）求的方程； （2）设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙．接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去．从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响． （1）求和的值； （2）探究与（，）之间的递推关系； （3）设，数列的前项和为，若．证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $