精品解析：辽宁省朝阳市建平县高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

建平县高中2024~2025学年度第二学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：人教B版必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 以 ， 分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 5. 记单调递增的等差数列的前 项和为，若 且，则（ ） A. 70 B. 65 C. 55 D. 50 6. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 直线被圆截得的最短的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点 在侧面上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，则的面积可以是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 设椭圆的左右焦点为，， 是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数的极小值为 D. 若有3个不等实根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知等比数列的前 项和为，且，则__________. 13. 已知的展开式中含的项的系数为，则__________. 14. 设函数，若 恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求的值； （2）若，求 的面积. 16. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. （1）若一共有200人应聘，他们的笔试得分 服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩 的数学期望. 附：若，则，，. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，M是PB的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知双曲线过点，左、右顶点分别为 ， ，直线与直线的斜率之和为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于 ， （ 在第一象限）两点，， 是双曲线上一点，的重心在 轴上，求点 的坐标． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若恰有3个零点，求 的取值范围； （3）若在定义域上单调，求整数 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县高中2024~2025学年度第二学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：人教B版必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数单位的性质进行运算，求得复数z，以及，根据复数的几何意义即可得答案. 【详解】由题意得，，其对应点位于第二象限， 故选：B 2. 某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】线性回归模型中越接近1，效果越好，即可得出答案. 【详解】越大，模型的拟合效果越好，因为， 所以模型丙拟合效果最好. 故选：C 3. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【详解】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 4. 以 ， 分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为. 故选：D. 5. 记单调递增的等差数列的前 项和为，若 且，则（ ） A. 70 B. 65 C. 55 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量与性质求解公差，从而可得通项公式，再由等差数列的前 项和公式求解. 【详解】由等差数列，设，为公差， 由于，则，化简得， 由于数列单调递增，因此，解出，因此，则. 故选：B. 6. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行判定定理、线面平行的性质定理及线线、线面、面面关系逐一分析即可. 【详解】对于A：根据面面平行判定定理，直线应为相交直线，故A错误； 对于B：直线 可能在平面α内，故B错误； 对于C：若，，， 则 与β垂直、平行，相交不垂直或，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确． 故选：D． 7. 直线被圆截得的最短的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 8. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点 在侧面上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，由空间中垂直关系的转化可得，从而可得 的轨迹，故可求的最小值. 【详解】如图，取的中点，连接， 由正三角形可得， 而由正三棱柱可得平面， 因平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，而平面，故， 所以点 在以线段 为直径的圆与长方形相交的部分，记 的中点为 ． 又由， 故的最小值为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，则的面积可以是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵， 由余弦定理得， ∴， ∴，或 ， ∴由的面积公式得或， 故选：AD． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 10. 设椭圆的左右焦点为，， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得 ，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，可得， 所以焦点为, 根据椭圆的定义，所以A正确； 椭圆的离心率为，所以B错误； 其中面积的最大值为，所以C错误； 由原点到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确. 故选：AD 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数的极小值为 D. 若有3个不等实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项. 【详解】对于A，因为， 所以 ，， ，，函数在上单调递增， ，， 则函数在上单调递减，故A错误； 对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 所以当时，取极小值，故C正确； 对于D，， 故 ， 根据待定系数法得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知等比数列的前 项和为，且，则__________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前 项和为， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 13. 已知的展开式中含的项的系数为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出含的项的系数，结合已知即可得解. 【详解】的展开式中含的项的系数为，解得. 故答案为： . 14. 设函数，若 恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后讨论三种不同情况下满足要求的的最小值，根据判断函数的单调性确定最大值即可确定之间的关系，进而构造新函数判断单调性即可求得最小值. 【详解】因为，所以. 对函数求导得：. ①当时，，此时，那么函数在上单调递减. 要使得，则并不恒成立，所以. ②当时，令，则，即. 所以此时函数在上单调递增； 令，则，即. 所以此时函数在上单调递减； 此时函数在上取得最大值为. 要使得恒成立，则，即， 此时. 令，求导得， 因为，所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 此时，所以的最小值为. ③当时，因为，则， 所以，所以此时函数在上单调递减.此时函数无最大值， 那么并不恒成立. 综上所述，只有当时，恒成立，此时的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求的值； （2）若，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 为锐角， 因为，所以， 所以 ， 故 的面积为. 16. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. （1）若一共有200人应聘，他们的笔试得分 服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩 的数学期望. 附：若，则，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质求出，即可估计人数； （2）依题意可得 的可能取值为 ， ， ， ，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 因为 服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为 人. 【小问2详解】 由题意可知， 的可能取值为 ， ， ， ， 则； ； ； ； 所以. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，M是PB的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接BD，与AC相交于点N， 因四边形为矩形，对角线BD，AC相交于点N，则， 又因M是PB的中点，则， 因，，则， 因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明可完成证明； （2）先由（1）可得平面，然后如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，最后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，，平面平面，平面ABCD，所以平面， 则以所在的直线分别为y轴，z轴，过点A，在平面内作AB的垂线为x 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 由，，，可得，可得点P的坐标为， 各点坐标如下：，，，，， 设平面PCD的法向量为，由，， 有，取，，， 可得平面PCD的一个法向量为， 设平面AMC的法向量为，由，， 有，取，，， 可得平面AMC的一个法向量为， 又由，，，有， 故平面PCD与平面AMC的夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线过点，左、右顶点分别为 ， ，直线与直线的斜率之和为 ． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于 ，（ 在第一象限）两点，， 是双曲线上一点，的重心在 轴上，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【小问1详解】 依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在 轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若恰有3个零点，求 的取值范围； （3）若在定义域上单调，求整数 的最大值． 【答案】（1） 的极小值为，无极大值 （2）且 （3）1 【解析】 【分析】直接对  求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值. 分析  的单调性和极值，结合图像判断参数  的范围. 函数  在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数  的最大值. 【小问1详解】 函数  的定义域为 , ， ， 又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0； 所以在单调递减，在单调递增； 所以 的极小值为；无极大值. 【小问2详解】 函数  可因式分解为： 显然， 是一个零点. 零点由  和方程  的解组成. 令，求导：， 令导数为零：； 又因为在R上单调递增， 所以在小于0，在大于0， 所以在单调递减，在单调递增， 所以. 又，，; 当 ，；  的解的个数： 当 ，有两个解： 和一个在 ； 当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ； 当 ，有一个解（)； 当 ，无解. 讨论的零点个数：  总是零点； 分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点； 当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点； 当 ，有与两个零点； 当 ，只有一个零点. 因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且. 【小问3详解】 函数 ，定义域为 . 求导：， 化简得：， 在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增； 当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0， 而时，，所以这种情况不成立； 所以只可能在定义域上单调递增； 所以对恒成立， 即恒成立， 令 ，则只需 求导：， 易知在上单调递增，且, ,所以存在,使， 所以在上小于0，在大于0； 所以在上单调递减，在单调递增； 所以,又代入得 , 又，所以, 又且， 所以. 故整数 的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $