精品解析：辽宁朝阳市建平县2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025—2026学年高一年级下学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 第一象限角都比第二象限角小 B. 小于的角是锐角 C. 终边相同的角一定相等 D. 终边在轴非负半轴上的角的集合是 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知（），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法正确的有（ ） A. 线段平行于轴 B. C. 梯形是直角梯形 D. 梯形的面积是3 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若的图象关于直线对称，则的最小值是2 D. 若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为______． 13. 某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1∶3．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为__________ 14. 单位圆的内接，满足，则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，且； （1）求与的夹角； （2）若，求的值． 16. 已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数a的值； （2）若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限．求实数a的取值范围． 17. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 19. 记的内角的对边分别为，面积为，已知，． （1）求； （2）若边上的中线，求； （3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一年级下学期期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误， C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆锥，下方为圆锥，与题设不合，故C错误. 2. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知角终边经过点，记， 点到原点距离， 故． 3. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 第一象限角都比第二象限角小 B. 小于的角是锐角 C. 终边相同的角一定相等 D. 终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【解析】 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在题干等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，等式两边平方可得， 所以，解得. 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合投影向量的定义求解. 【详解】由，得，则， 因此， 所以在方向上的投影向量为. 7. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，则m， 在中，m. 8. 已知（），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的性质和题给不等式可确定为的最小值，为的最大值，进而得到的周期，确定的最小值. 【详解】已知对任意的实数x，都有成立， 所以，， 当最小时，的最小正周期最大，此时有，即， 则，得，故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法正确的有（ ） A. 线段平行于轴 B. C. 梯形是直角梯形 D. 梯形的面积是3 【答案】ABC 【解析】 【分析】将直观图还原为原图形，得到各边长和梯形面积，即可进行判断. 【详解】 直观图还原为原图形，是直角梯形， 如图，其中，，，线段平行于轴，故ABC正确； 梯形的面积为，故D错误； 故选：ABC． 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若的图象关于直线对称，则的最小值是2 D. 若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式及辅助角公式可判断A，由，求得 的范围，可判断B，通过对称轴代入，可判断C，由，求得 的范围，再结合正弦函数性质可判断D. 【详解】因为A正确； 因为，所以，所以在区间上不单调，B错误； 因为的图象关于直线对称， 所以，所以， 又因为，所以，所以当时，取得最小值，最小值是，C正确； 因为，所以， 因为在区间上有且只有一个最大值， 所以，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，化简求值. 【详解】由题意得． 13. 某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1∶3．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为__________ 【答案】 【解析】 【详解】设两个圆锥的底面半径为，上面圆锥的高为，下面圆锥的高为. 由题意，上面圆锥的高与底面半径相等，即. 设上下圆锥体积分别为，所以， 已知，所以，又， 代入得：. 设上下圆锥母线分别为， 则， 所以母线之比为：. 14. 单位圆的内接，满足，则____． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，， 则，即， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，且； （1）求与的夹角； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解. 【小问1详解】 因为向量，，，且， 所以，解得， 所以，，得， 所以， 即与夹角的余弦值为． 又因为， 所以，即与的夹角为． 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以，， 所以，解得． 所以的值为 16. 已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数a的值； （2）若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限．求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义以及纯虚数的定义即可求解； （2）先根据复数的除法对复数进行化简，再根据复数的几何意义即可求解. 【小问1详解】 由复数，可得， 则， 因为复数为纯虚数，则满足， 解得． 【小问2详解】 由复数， 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得，所以实数a的取值范围为． 17. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，求得，进而求得的值； （2）化简得到，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，且，可得，所以， 则. 【小问2详解】 . 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； 【小问3详解】 因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 19. 记的内角的对边分别为，面积为，已知，． （1）求； （2）若边上的中线，求； （3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. （2）根据余弦定理求出，以及三角形面积公式求解即可. （3）根据三角形面积以及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 已知，则，解得. 因为，所以. 【小问2详解】 ，是边上的中线， 在中，. 根据余弦定理，，代入化简得. 已知，，所以，即. 由（1）知，因此. 所以. 【小问3详解】 由，，解得，. 由正弦定理，解得，， 则. 设，，由平分面积得 . 结合得. 由余弦定理， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $