2.3二次根式（八大题型2）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以二次根式为核心，通过8类题型系统覆盖化简求值、大小比较、实际应用等考向，体现从基础运算到综合应用的递进逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知字母值化简求值|3题|直接代入与化简结合|二次根式性质的直接应用| |已知条件式化简求值|3题|条件等式转化与整体代入|代数式变形与二次根式运算结合| |比较大小|3题|数值比较与规律探究|二次根式估值与转化思想| |应用|3题|几何面积与实际问题|二次根式与几何、生活情境结合| |混合运算|3题|运算法则与顺序应用|二次根式与实数运算融合| |新定义运算|3题|自定义规则应用|创新思维与运算能力结合| |实际应用|3题|面积、比例等问题|模型意识与应用能力| |规律题|3题|数列与等式规律探究|推理意识与归纳能力培养|

2.3 二次根式 题型一 已知字母的值，化简求值 1．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知：，，则的值为__________． 3．计算： (1) (2)当时，求代数式的值 题型二 已知条件式，化简求值 4．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 5．已知，那么的值等于________ 6．某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 题型三 比较二次根式的大小 7．下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 8．比较大小： _______(填“”“”或“”) 9．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 题型四 二次根式的应用 10．如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 11．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 12．如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 题型五 实数的混合运算 13．已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 14．计算：____________． 15．计算： (1)； (2) 题型六 新定义下的实数运算 16．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 17．规定一种新的定义：，若，，则______． 18．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    题型七 实数运算的实际应用 19．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 20．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 21．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 题型八 与实数运算相关的规律题 22．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 23．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 24．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次根式 题型一 已知字母的值，化简求值 1．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 2．已知：，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 3．计算： (1) (2)当时，求代数式的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式完成计算． （2）将整体代入代数式，分步化简求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ． 题型二 已知条件式，化简求值 4．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 5．已知，那么的值等于________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 6．某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； ，， ， ． 题型三 比较二次根式的大小 7．下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 8．比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 9．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 题型四 二次根式的应用 10．如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． 11．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知，，， 将各值代入公式 先计算各边的平方，得，， 计算 计算，可得 将结果代入公式，得 12．如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由正方形甲的面积为，正方形乙的面积为可得正方形边长，进一步求解即可． （2）设正方形丙的边长为．求出正方形甲的边长为，得到，进一步可得，设正方形乙的边长为，得到，进而推导出，则阴影部分②的面积，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，正方形甲的面积为，正方形乙的面积为， ∴正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 由图可知，的长等于正方形乙的边长与正方形甲的边长之和， ． （2）解：如图：设正方形丙的边长为． ∵甲的面积是丙面积的倍， ∴正方形甲的边长为， ， ∵阴影部分①的面积为，且， ， 设正方形乙的边长为， 由图可知，， ， 阴影部分②的面积． 题型五 实数的混合运算 13．已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，，其中 是整数， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意； 当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意； 故选：D． 14．计算：____________． 【答案】/ 【分析】先分别化简绝对值、二次根式、立方根、零次幂，再合并有理数完成计算． 【详解】解： ． 15．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 题型六 新定义下的实数运算 16．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 17．规定一种新的定义：，若，，则______． 【答案】 【分析】根据定义求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 18．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【答案】(1)11 (2)3 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 题型七 实数运算的实际应用 19．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 20．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 21．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 题型八 与实数运算相关的规律题 22．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 23．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 24．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $