2.3 二次根式（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本同步练习通过A/B/C组+中考拓展的分层设计，构建从二次根式基础概念到综合创新应用的巩固路径，适配新授课差异化教学，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|二次根式的认识、成立条件、性质应用等基础概念|以单选、填空为主，聚焦基础考点，如二次根式有意义的参数问题，夯实运算能力| |B组能力进阶|最简/同类二次根式、分母有理化等综合运算|增加解答题比重，如复合二次根式化简，发展推理意识| |C组思维拔高|新定义运算、实数配方法等拓展内容|设计探究性问题，如阅读材料题，提升创新意识| |拓展链接中考|实际应用、跨知识综合题|结合中考题型，如几何图形面积计算，强化应用意识|

分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次根式的认识 题型02二次根式的成立条件 题型03 二次根式含参数问题 题型04 二次根式性质的应用 题型05 实数范围内配完全平方 题型06 最简二次根式 题型07 同类二次根式 题型08 二次根式的综合运用 题型09 分母有理化 题型10 实数运算的新定义题型 题型11 二次根式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 2.3 二次根式 二次根式的认识题型01 一、单选题 1．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 二次根式的成立条件题型02 一、单选题 1．二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．二次根式中，x的取值范围是_________________． 4．若，则___ （用“”填空） 5．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 三、解答题 6．已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 7．按要求解答下列各题： (1)已知x，y为实数，且，求的值． (2)设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 二次根式含参数问题题型03 一、单选题 1．若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 二、填空题 2．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 3．当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 4．若实数m满足，则m的取值范围是 ___________． 二次根式性质的应用题型04 一、单选题 1．下列各式中运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 二、填空题 4．计算的结果是______（结果保留）． 5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 6．当时，化简：________． 三、解答题 7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 实数范围内配完全平方题型05 一、填空题 1．_____． 2．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 二、解答题 3．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 最简二次根式题型06 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 三、解答题 6．判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 同类二次根式题型07 一、单选题 1．下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 4．化简：___________． 5．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 7．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 二次根式的综合运算题型08 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列算式中，运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 4．下列式子变形错误的是（    ） A． B． C． D． 5．有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（     ） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 二、填空题 6．计算：______；______； ______． 7．化简：________． 三、解答题 8．计算： (1) (2) 9．计算： (1) (2) (3) (4) 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 12．按要求完成作答： (1)已知：，，求代数式； (2)实数，，在数轴上位置如图，化简式子． 13．计算： (1)； (2)． (3)已知 ，求代数式 的值． 分母有理化题型09 一、填空题 1．化简______． 2．计算：________． 3．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 二、解答题 4．计算： (1)； (2)． 5．计算：． 6．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 7．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 实数运算的新定义题型题型10 一、单选题 1．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．定义新运算“☆”：，则________． 三、解答题 3．对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 4．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 5．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 二次根式的实际应用题型11 一、单选题 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 二、解答题 2．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 3．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 6．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 二、填空题 7．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 8．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 9．已知，代数式的值为________． 10．若，则_____________． 11．如图，长方形内两个正方形的面积分别为、，图中两块阴影部分的面积和为_____． 12．已知，分别是的整数部分和小数部分，则______． 13．与最简二次根式是同类二次根式，则________． 14．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，若，则整数________． 三、解答题 15．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 18．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ，， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 19．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 20．中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 （秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)利用上述公式求的面积． ①的三边长分别为5，6，7，则__________；（直接写出答案） ②的三边长分别为，，则__________；（直接写出答案） (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式． 一、单选题 1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．化简______． 3．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 三、解答题 4．计算：． 5．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 6．观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)写出第4个等式：__________________ (2)写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 7．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 8．阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数；它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如： ，，即 的最小值为1 阅读上述材料解决下面问题： (1)________，________； (2)求的最值； (3)已知，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 二次根式 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次根式的认识 题型02二次根式的成立条件 题型03 二次根式含参数问题 题型04 二次根式性质的应用 题型05 实数范围内配完全平方 题型06 最简二次根式 题型07 同类二次根式 题型08 二次根式的综合运用 题型09 分母有理化 题型10 实数运算的新定义题型 题型11 二次根式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次根式的认识题型01 一、单选题 1．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项B中根指数为3，是三次根式，不符合定义， 选项C中被开方数，无意义，不符合定义， 选项D中是多项式，不含二次根号，不符合定义． 2．下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项B中被开方数，不满足二次根式的要求，不是二次根式，该选项符合题意； 选项C中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项D中对任意实数都有，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意． 3．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 4．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式； ②：被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ③：根指数为2，，，满足被开方数非负，是二次根式； ④：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； ⑤：根指数为2，被开方数，是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个，故选B． 5．按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【详解】解：将已知单项式按序号整理可得： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， ... 根据规律可得，第个单项式的系数为，的次数为， ∴第个单项式为． 二、填空题 6．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 二次根式的成立条件题型02 一、单选题 1．二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“二次根式被开方数为非负数”列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数 ， ∴对于二次根式，可得不等式 ， 解不等式得． 2．在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可. 【详解】∵函数 中， 是二次根式且在分母位置， ∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ， 联立得 ， 解得 ． 二、填空题 3．二次根式中，x的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得 ， 移项得 ， 系数化为得． 4．若，则___ （用“”填空） 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再结合二次根式的性质化简等式左边，最后解方程得到与的关系． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得，即， 根据二次根式的性质，可得， 因此，解得． 5．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得 ． 三、解答题 6．已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 7．按要求解答下列各题： (1)已知x，y为实数，且，求的值． (2)设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而可得的值，再代入计算即可； （2）根据三角形的三边关系定理可得，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵一个三角形的三边长为， ∴，即， ∴，， ∴ ． 二次根式含参数问题题型03 一、单选题 1．若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先对72分解因数，将根号内整理为平方数与剩余因数乘积的形式，根据二次根式结果为整数的要求，即可求出最小正整数n． 【详解】解：∵ ∴ ∵是整数，且n为正整数 ∴是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为． 二、填空题 2．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 3．当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 4．若实数m满足，则m的取值范围是 ___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 二次根式性质的应用题型04 一、单选题 1．下列各式中运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，此项错误； B、和不是同类二次根式，不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 2．若，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质化简原式，再根据绝对值的性质列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，得， ∵ ， ∴ ， 根据绝对值的性质，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数为非负数， ∴ ， 解得 ． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，． ，，． 原式 ． 二、填空题 4．计算的结果是______（结果保留）． 【答案】 【分析】先比较出，再结合二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，进而化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 根据二次根式的性质可得， 根据绝对值的性质可得， 所以． 6．当时，化简：________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 实数范围内配完全平方题型05 一、填空题 1．_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 2．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 二、解答题 3．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 最简二次根式题型06 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可得到答案，判定条件为：被开方数不含能开得尽方的因数（或因式），且被开方数不含分母． 【详解】解： 对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 对于选项C，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 对于选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．满足条件，是最简二次根式； B．满足条件，是最简二次根式； C．满足条件，是最简二次根式； D．的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的条件，因此不是最简二次根式． 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； B、，被开方数是的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式； C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此是最简二次根式； D、，被开方数是的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式． 4．在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2. 二、填空题 5．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 三、解答题 6．判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【详解】（1）解：因为被开方数含分母， 所以不是最简二次根式； （2）解：因为被开方数可分解为，各因式的指数都为， 所以是最简二次根式； （3）解：因为被开方数含因式，它的指数不为， 所以不是最简二次根式； （4）解：因为被开方数可分解为，其中因式的指数为， 所以不是最简二次根式． 同类二次根式题型07 一、单选题 1．下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，最简二次根式的被开方数为， A选项的被开方数为，与是同类二次根式，可以合并； B选项的被开方数为，不是同类二次根式，不能合并； C选项的被开方数为，不是同类二次根式，不能合并； D选项的被开方数为，不是同类二次根式，不能合并． 2．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 3．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 二、填空题 4．化简：___________． 【答案】 【详解】． 5．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 7．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 二次根式的综合运算题型08 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算法则与算术平方根的性质，根据对应规则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，无法合并，∴ ，A错误； 根据二次根式乘法法则，可得，∴ B正确； ∵ ，算术平方根的结果为非负数，∴ C错误； 根据二次根式除法法则，可得，∴ D错误． 2．下列算式中，运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式的运算规则逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A选项：∵，∴A运算正确． B选项：与不是同类二次根式，无法合并，，∴B运算错误． C选项：∵，∴C运算正确． D选项：∵，∴D运算正确． 综上，运算错误的是B． 3．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的取值范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 4．下列式子变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、 符合乘法法则，变形正确，故此选项不符合题意； B、 左边，右边 ，左右不相等，变形错误，故此选项符合题意； C、 符合除法法则，变形正确，故此选项不符合题意； D、，代入得 ，变形正确，故此选项不符合题意． 5．有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（     ） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除运算与性质，先根据已知条件判断的符号，再利用二次根式的运算法则逐一化简判断即可； 【详解】解： ∵ ，，∴ ，. ，①成立； ，与在实数范围内无意义，②不成立； ， ∵， ∴ ，③不成立； 由③的推导可得，④成立； 二、填空题 6．计算：______；______； ______． 【答案】 4 12 1 【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的乘法运算法则，零指数幂的运算法则计算即可得得出答案． 【详解】解：，，. 7．化简：________． 【答案】 【详解】解：原式 三、解答题 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的四则混合运算法则计算即可； （4）直接运用平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 12．按要求完成作答： (1)已知：，，求代数式； (2)实数，，在数轴上位置如图，化简式子． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再根据完全平方公式变形，最后整体代入求值即可； （2）根据数轴得出，，，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． （2）解：由数轴可知，，，， 原式 ． 13．计算： (1)； (2)． (3)已知 ，求代数式 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 当 时， ， ． 分母有理化题型09 一、填空题 1．化简______． 【答案】 【分析】利用平方差公式将分母化为1即可求出答案． 【详解】解： 2．计算：________． 【答案】 【分析】先把题目中的每个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式的系数进行加减运算，最终得到结果． 【详解】解：． 3．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 二、解答题 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算：． 【答案】 【分析】先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消抵消中间项，计算剩余项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：①； ② ． 7．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 【答案】(1)； (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式的运用． （1）利用平方差公式对分母进行有理化，将分母中的根号去掉； （2）先对进行分母有理化，再通过变形求出的值，进而得到的值，最后代入式子求值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ，即， ， ． 实数运算的新定义题型题型10 一、单选题 1．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 二、填空题 2．定义新运算“☆”：，则________． 【答案】 【详解】解：由定义新运算规则可得， ， 故答案为：． 三、解答题 3．对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：由定义，得： （2）解：由定义，得： ． 4．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 5．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 二次根式的实际应用题型11 一、单选题 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、解答题 2．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 3．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式的乘除运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，选项计算错误． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式，再根据运算法则逐一计算判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类二次根式，不能直接合并， ∴A错误； 对于选项B，，计算正确， ∴B正确； 对于选项C，， ∴C错误； 对于选项D，， ∴D错误． 3．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ，且， ， ，即 ， 的值在到之间． 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为 5．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【答案】A 【分析】连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，，然后根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，． ，，． 原式 ． 二、填空题 7．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 8．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 9．已知，代数式的值为________． 【答案】 【分析】先把代数式化为的形式，再把，代入原式，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 10．若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 11．如图，长方形内两个正方形的面积分别为、，图中两块阴影部分的面积和为_____． 【答案】 【分析】根据正方形面积得到边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为、， 两个正方形的边长分别为、， 长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积和为． 12．已知，分别是的整数部分和小数部分，则______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，再将，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴； 即， 故的整数部分，小数部分， 将，代入，得 ， ， ， ． 13．与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 14．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，若，则整数________． 【答案】 11 【分析】根据图形规律利用勾股定理求出第7个直角三角形的斜边长，进而得出周长表达式，统计长度为1的线段数量，最后进行估算即可． 【详解】解：由勾股定理得：第1个直角三角形的斜边长为， 第2个直角三角形的斜边长为， 第3个直角三角形的斜边长为， ， 故第7个直角三角形的斜边长为， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由8条长度为1的线段和第7个直角三角形的斜边组成， ， ， ，即， ， 即， ， ，即． 三、解答题 15．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：． （2）解：由，可知． 所以． （3）解：． 因为，所以． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减即可； （3）先利用完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则展开，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： = ． 17．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （2）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （3）解：由（2）中规律可得： ． 18．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ，， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为分母是含有二次根式的差式，所以利用平方差公式对分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式即可化简． （2）先对a的表达式分母有理化，得到a的最简形式；再将a的最简形式变形得到关于a的一次式，两边平方后整理得到与a的关系式；因为所求代数式是二次多项式，所以将其变形为含有上述关系式的形式，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ，，             ， ． 19．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 20．中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 （秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积． 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)利用上述公式求的面积． ①的三边长分别为5，6，7，则__________；（直接写出答案） ②的三边长分别为，，则__________；（直接写出答案） (2)请由秦九韶公式推导出海伦公式． 【答案】(1)①；② (2)解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可；②根据秦九韶公式代入计算即可求解； （2）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【详解】（1）解：①一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； ②根据题意可得，，， 由秦九韶公式得：； （2）略 一、单选题 1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是， ∴，， ∴． 二、填空题 2．化简______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：原式 3．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 【答案】 【分析】分别从符号、分子的被开方数、分母三个维度寻找数字变化规律，归纳得到第n个数的一般形式，再代入化简计算即可. 【详解】解：，，，，，，， 观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为，分母为， ∵， 故第35个数的符号为负，分子为，分母为， 故第35个数是. 三、解答题 4．计算：． 【答案】 【分析】先分别计算二次根式乘法、平方差公式、二次根式除法及绝对值运算，再由二次根式加减运算法则化简即可． 【详解】解： ． 5．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 6．观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)写出第4个等式：__________________ (2)写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 【答案】(1) (2)， 证明：∵ ， 又∵ ， ∴． 【分析】（1）仿照题意写出第4个等式即可； （2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为； （2）略 7．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 8．阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数；它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如： ，，即 的最小值为1 阅读上述材料解决下面问题： (1)________，________； (2)求的最值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)的最小值为 (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、配方法的应用、平方的非负性． （1）将根号内的式子配方成完全平方式，结合二次根式的性质化简得到结果； （2）利用配方法将原式变形为完全平方式加常数的形式，根据平方的非负性求出最值； （3）从内向外逐层化简得到的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将代入得 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $