第07讲 代数式 讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学代数式核心知识点，系统梳理用字母表示数的书写规范、代数式定义与意义、正反比例关系及求值方法，衔接周长面积等公式应用，构建从概念到实际问题解决的学习支架。 资料通过即刻训练即时巩固、热点题型（整体代入、实际应用等）强化，结合中考真题与同步检测，培养抽象能力（归纳代数式定义）、模型意识（表示数量关系），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

人教版（2024）七年级上册 第07讲 代数式 学习目标 课标标准：借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式；体验用数学符号表达数量关系的过程，会把具体数代入代数式进行计算，选择适当的方法求代数式的值 素养目标：通过用含有字母的式子表示实际问题中数量关系，归纳代数式的定义（抽象能力）；能把数学问题中的数量关系和变化规律用代数式表示出来，体会用符号语言进行描述 重难点：理解用字母表示数，正、反比例关系，代数式求值 知 识 点 睛 一 代数式 1、用字母表示数 在实际应用中，为表示一些数量关系，我们用含有字母的数学式子进行表示。例如：运算律可以用字母进行表示，几何图形的面积公式等 字母表示数的书写要求：（1）数字与数字相乘依旧用“×”号，数字与字母相乘或字母与字母相乘，乘号写作“”或省略不写，相同字母相乘写成幂的形式；（2）数字因数是1或-1，1通常省略不写；（3）带分数与字母相乘，将带分数化成假分数；（4）除法运算一般用分数形式进行表示，分数线具有“÷”和括号双重作用（5）式子后面有单位且式子是和差形式，式子要用括号括起来；（6）数字因数写在字母前 2、代数式的定义 用运算符号把数或者表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。单独的一个数或字母也是代数式 注意：判断一个十字是不是代数式，只需要看是不是一个数或字母，以及是否用运算符号（等号不等号除外）把数或表示数的字母连接。 3、代数式的意义 用代数式表示数和字幕的运算关系 即刻训练：甲种食品每袋元，9折出售；乙种食品每袋元，8折出售．小明两种食品各买了1袋，那么他一共需要支付　 元 答案： 考察实际问题中用字母表示 二 正比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且比值一定（不为0），这两个量就叫做成正比例的量，他们之间的关系叫做正比例关系 如果用表示两个相关联的量，用表示它们的比值（），那么正比例关系可以用表示，叫做比例系数 注意：判断正比例关系，先确定两个量的比值，再确定比值是不是定值 三 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，他们之间的关系叫做反比例关系 如果用表示两个相关联的量，用表示它们的乘积（），那么正比例关系可以用 注意：判断反比例关系，先确定两个量的积，再确定积是不是定值 四 代数式的值 1、代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同 2、求代数式的值的步骤 用数值代替代数式中的字母，简称“代入”；进而按照代数式中明确的运算关系，计算得出的结果 注意：常用方法有直接代入法和整体代入法 3、常见的公式以及表示数量关系的式子 周长公式：正方形=4×边长；长方形=2×（长＋宽）；圆=2×π×半径；三角形-=三条边之和 面积公式：正方形=边长×边长；长方形=长×宽；圆=π×半径2；梯形=½×（上底＋下底）×高；三角形==½×底×高 体积公式：正方体=棱长3；长方体=长×宽×高；圆柱=π×半径2×高 和差倍分：依据相关要求进行加减乘除的运算 数字问题：两位数=个位数＋十位数×10；三位数=个位数＋十位数×10＋百位数×100…… 行程问题：路程=速度×时间；顺水（顺风）速度=静水（无风）速度＋水速（风速）；逆水（逆风）速度=静水（无风）速度－水速（风速）； 工程问题：工作总量（通常为1）=工作效率×工作时间×工作人数；工作总量=各部分工作量之和；工作总量=完成工作量＋未完成工作量 销售问题：利润=售价－进价（成本）=单件利润×销售量=总收入－总成本=进价×利润率；总价=数量×单价；售价=标价×折扣； 银行存款问题：利息=本金×利率×存期；到期钱数=本金＋利息 即刻训练：当时，代数式的值为（　　） A．8 B．5 C．3 D．﹣8 答案：，解：将代入到 考察直接代入求值 热 点 题 型 归 纳 （整体代入求代数式的值） 【例1】若，则代数式3的值是 　 答案：解：， 考察整体代入法求代数式的值 （流程图问题） 【例2】如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为1，则输出的结果是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 答案： 解：根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算如下： 当输入时，1×2+5＝7，7≥1，输出结果为7． 考察按照流程图进行求解 （新定义问题） 【例3】新定义运算，则3*4的结果是 　 答案：解：依据运算顺序，3*4＝3×（3﹣4）＝﹣3，考察代入求值 （实际应用问题） 【例4】如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（　　） A． B． C． D． 答案：．解：根据题意，设乙木条的长为n，则，解得． 考查代数式解决实际问题 （找规律问题） 【例5】观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42； （1） 请根据你发现的规律填空：8×10+1＝　 　 ； （2） 用含n的等式表示上面的规律：　 答案：解：（1）∵1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，… ∴8×10+1＝92． （2）根据已知中数据的变化规律得出：n（n+2）+1＝（n+1）2； 考查代数式表示规律 中 考 真 题 1．（2026•吉林）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（　　） A．元 B．9元 C．0.9元 D．0.1元 答案：，考查用代数式表示实际问题中的式子 2．（2025•长春）下列计算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：，考查代数式表示数量关系 3．（2024•长春）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：，考查代数式表示数量关系 同 步 检 测 一．选择题 1．某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（x＞30）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当x＝50时，选择方案一比方案二节省（　　） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 2．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字985，则输出结果为（　　） A．594 B．495 C．459 D．450 3．如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（　　） A．2x+4 B．4x+8 C．2y+4 D．4y+8 4．“m与3的差的2倍”用代数式可以表示成（　　） A．2m﹣3 B．m﹣6 C．2（3﹣m） D．2（m﹣3） 5．一个两位数，十位上的数字为m，个位上的数字为n，如果在它们之间添一个0，且得到一个三位数．那么用代数式表示这个三位数为（　　） A．100m+n B．10m+n C．100n+m D．10n+m 二．填空题 6．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2026次输出的结果是　 　 ． 7．若（x+1）2+4|y﹣6|＝0，则7x+8y+4x﹣6y的值为　 　 ． 8．若x2+2x＝1，则代数式3x2+6x+2026的值为　 　 ． 9．如图，在一块长AB＝50m，宽BC＝30m的长方形草地上，修建三条宽均为2m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为　 　 m2． 10．如图，大半圆得直径是a，下面图中阴影部分的面积是　 　 ． 三．解答题 11．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进x（x＞10）台相机，请回答下列问题： （1）按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为　 　 万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为　 　 万元； （2）购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 12．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为9×100+8×10+5． 设是一个四位数， （1）四位数可以表示为　 　 （用含a、b、c、d的代数式表示）； （2）若a+b+c+d可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 13．已知代数式：A＝x2﹣3y+4．若，y＝3m，请用含m的代数式表示A； 14．关于任意的正整数x，y定义一种新运算： h（x+y）＝h（x）•h（y），请根据这种新运算完成以下问题： （1）已知h（x）＝2，h（y）＝3，则h（x+y）＝　 　 ； （2）已知，则h（2）＝　 ，h（3）＝　 ； 15．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． （1）已知A+B＝3x2﹣5x+1，A﹣C＝﹣2x+3x2﹣5，求当x＝2时B+C的值． 提示：B+C＝（A+B）﹣（A﹣C）． （2）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值． 16．如图所示长方形ABCD，在AB边上有一点E，BC边上有一点F． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示BE的长度为　 　 ； （2）求阴影部分的面积（用含x的代数式表示）； （3）若x＝4，求出阴影部分的面积． 17．为落实“五育并举”教育理念，学校为我们初一年级打造了“开心农场”劳动实践基地．某班准备购买一些花卉和绿植来美化农场，已知花卉每株25元，绿植每株10元．计划购买a株花卉和b株绿植，并且绿植要比花卉多（即b＞a）．甲同学建议去学校附近的“熊奶奶的花园”购买，那里所有商品都打六折；乙同学建议在网上商城购买，网上商城的优惠方式是：每株绿植的价格保持不变，每株花卉便宜5元，且买一株花卉送一株绿植． 请解决以下问题： （1）请用含a、b的代数式分别表示按甲、乙两位同学的建议购买需要付多少钱？ （2）如果该班要买15株花卉和20株绿植，请计算哪位同学的方案更省钱？ 18．阅读材料 下面是老师布置的一道作业题：代数式x2+2x﹣1的值为5，则代数式x2+2x﹣5的值为多少？淇淇做作业时采用的方法如下： 解：由题意，得x2+2x﹣1＝5，则x2+2x＝6， 所以x2+2x﹣5＝6﹣5＝1．所以代数式x2+2x﹣5的值为1． 解决问题 （1）已知2x2﹣y＝2，求代数式2x2﹣y﹣7的值； （2）当x＝1时，代数式ax2﹣bx+5的值为2，则当x＝﹣1时，求代数式ax2+bx﹣7的值； （3）若3x2﹣2xy＝6，xy﹣y2＝﹣8，求代数式3x2﹣2y2的值． 19．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m＝2，求代数式（a+b）3+m﹣（﹣cd）2的值． 20．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，求a+b+（﹣cd）2026的值． 21．某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）． （1）若该班需购买乒乓球x盒，用含x的式子分别表示在甲、乙两家商店购买的费用； （2）若购买40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ 22．给出新定义如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|； 例如：f（2）＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3． 根据上述知识，解下列问题：若x＝﹣2，y＝3，则f（x）+g（y）＝ 　 　 ； 23．下列算式是一类两个两位数相乘的特殊计算方法： 67×63＝100×（62+6）+7×3＝4221，38×32＝100×（32+3）+8×2＝1216． （1）仿照上面方法计算，求44×46和51×59的值． （2）观察上述算式我们发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，可以使用上述方法进行计算．如果用a、b分别表示两个两位数的个位数字，c表示十位上的数字．请你用含a、b、c的式子表示上面的规律： （3）仿照（1）的计算方法，计算552×558． 答 案 解 析 1．D． 考察代数式在方案问题中实际应用 2．B． 考察流程图中，代数式的应用 3．D． 考察利用面积公式列代数式求解 4．D． 考察通过和差倍分列代数式 5．A． 考察数字的代数式问题 6．解：当输入的值x＝2时，∵2是偶数，∴代入运算程序第1次输出值为：． 当输入的值x＝1时，∵1是奇数，∴代入运算程第2次输出为：1﹣5＝﹣4． 当输入的值x＝﹣4时，∵﹣4是偶数，∴代入运算程第3次输出值为：． 当输入的值x＝﹣2时，∵﹣2是偶数，∴代入运算程第4次输出值为：． 当输入的值x＝﹣1时，∵﹣1是奇数，∴代入运算程第5次输出值为：﹣1﹣5＝﹣6． 当输入的值x＝﹣6时，∵﹣6是偶数，∴代入运算程第6次输出值为：． 当输入的值x＝﹣3时，∵﹣3是奇数，∴代入运算程第7次输出值为：﹣3﹣5＝﹣8． 当输入的值x＝﹣8时，∵﹣8是偶数，∴代入运算程第8次输出值为：． 依次类推，从第2次输出开始，结果分别以﹣4、﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8循环． ∵（2026﹣1）÷6＝337……3， ∴第2026次输出的结果是﹣1． 考察通过规律进行求解 7．解：根据平方数和绝对值的非负性，可知（x+1）2≥0，|y﹣6|≥0， 又∵（x+1）2+4|y﹣6|＝0，∴（x+1）2＝0，|y﹣6|＝0，解得x＝﹣1，y＝6， ∴7x+8y+4x﹣6y＝（7+4）x+（8﹣6）y＝11x+2y＝11×（﹣1）+2×6＝1． 考察绝对值以及代入求值 8．解：∵x2+2x＝1，∴3x2+6x+2026＝3（x2+2x）+2026＝3+2026＝2029， 考察整体代入求值 9．解：依题意：（50﹣2×2）×（30﹣2）＝46×28＝1288（m2）． 考察代数式面积问题 10．解：大半圆得直径是a，下面图中阴影部分的面积为： ， 考察代数式面积问题 11．解：（1）按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为2×0.95x＝1.9x（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为10×2+（2﹣0.2）（x﹣10）＝1.8x+2（万元）； （2）由题意，令1.9x＜1.8x+2， ∴x＜20． 又∵x＞10， ∴当10＜x＜20时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 考察代数式的实际应用 12．解：（1）可以表示为：a×1000+b×100+c×10+d， （2）a×1000+b×100+c×10+d＝999a+99b+9c+a+b+c+d＝9（111a+11b+c）+（a+b+c+d）， 因为a+b+c+d可以被9整除， 所以9（111a+11b+c）+（a+b+c+d）可以被9整除， 所以这个四位数可以被9整除． 考察代数式的数字问题 13．解：已知A＝x2﹣3y+4，，y＝3m， 代入得：； 考察直接代入法 14．解：（1）∵h（x）＝2，h（y）＝3， ∴h（x+y）＝h（x）•h（y）＝2×3＝6， （2）∵， ∴， ， 考察代数式的新定义运算问题 15．解：（1）∵A+B＝3x2﹣5x+1，A﹣C＝﹣2x+3x2﹣5， ∴B+C＝（A+B）﹣（A﹣C＝（3x2﹣5x+1）﹣（﹣2x+3x2﹣5）＝﹣3x+6， ∴当x＝2时，B+C＝﹣3x+6＝﹣3×2+6＝0； （2）∵2x2+3y+7＝8， ∴2x2+3y＝1，∴6x2+9y+8＝3（2x2+3y）+8＝3×1+8＝11． 考察整体代入 16．解：（1）由图可知BE＝5﹣x； （2）＝60﹣30﹣15+3x＝3x+15， （3）由（2）可得，当x＝4时，3x+15＝3×4+15＝27， 考察代数式面积问题 17．解：（1）甲同学方案：花卉原价每株25元，a株花卉原价总价：25a元， 绿植原价每株10元，b株绿植原价总价：10b元， 所有商品打六折（即按原价的60%付款）， 因此总费用为：甲方案费用＝0.6×（25a+10b）＝（15a+6b）（元）； 乙同学方案（网上商城，花卉便宜5元+买1株花卉送1株绿植）， 花卉优惠后单价：25﹣5＝20元， a株花卉总价：20a元， 绿植规则：买1株花卉送1株绿植，因此购买a株花卉可免费获得a株绿植， 需额外购买的绿植数量：总需b株绿植，减去免费获得的a株，即b﹣a株（因b＞a，故b﹣a＞0）， 绿植单价不变（10元/株），额外购买绿植的费用：10（b﹣a）元， 因此总费用为：乙方案费用＝20a+10（b﹣a）＝20a+10b﹣10a＝（10a+10b）（元）； （2）代入a＝15，b＝20， 甲费用＝15a+6b＝15×15+6×20＝225+120＝345（元）， 乙费用＝10a+10b＝10×15+10×20＝150+200＝350（元）， 因为345＜350， 所以甲同学的方案更省钱． 考察代数式方案问题 18．解：（1）∵2x2﹣y＝2，∴2x2﹣y﹣7＝2﹣7＝﹣5； （2）∵当x＝1时，代数式ax2﹣bx+5的值为2， ∴a﹣b+5＝2，∴a﹣b＝﹣3， ∴当x＝﹣1时，ax2+bx﹣7＝a﹣b﹣7＝﹣3﹣7＝﹣10， （3）∵xy﹣y2＝﹣8，3x2﹣2xy＝6， ∴y2＝xy+8，3x2﹣2xy＝6， ∴3x2﹣2y2＝6+2xy﹣2（xy+8）＝6+2xy﹣2xy﹣16＝﹣10． 考察整体代入问题 19．解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1；又∵m＝2， ∴原式＝03+2﹣（﹣1）2＝0+2﹣1＝1． 考察有理数和代数式结合 20．解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1，∴a+b+（﹣cd）2026＝0+（﹣1）2026＝1． 考察有理数和代数式结合 21．解：（1）在甲商店买需要的费用是100×5+25（x﹣5）＝（25x+375）元， 在乙商店买需要的费用是（100×5+25x）×0.9＝（22.5x+450）元； （2）当x＝40时，甲：25×40+375＝1375（元），乙：22.5×40+450＝1350（元）， 因为1375＞1350， 所以去乙商店购买更合算． 考察代数式实际应用 22．解：∵f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|， ∴当x＝﹣2，y＝3时， f（x）+g（y）＝f（﹣2）+g（3）＝|2×（﹣2）﹣2|+|3+3|＝6+6＝12； 考察代数式的新定义问题 23．解：（1）44×46＝100×（42+4）+4×6＝2024， 51×59＝100×（52+5）+1×9＝3009； （2）（10c+a）×（10c+b）＝100（c2+c）+ab， 理由如下： （10c+a）×（10c+b）＝100c2+10bc+10ac+ab＝100c2+10c（b+a）+ab＝100c2+100c+ab ＝100（c2+c）+ab； （3）552×558＝100×（552+55）+2×8＝308016． 考察代数式的找规律问题 23 学科网（北京）股份有限公司 $