第8讲代数式的值 2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第8讲 代数式的值 目录 知识点1 代数式的值的定义 2 知识点2 代数式求值基本步骤 2 知识点3 两大核心求值方法 2 知识点4 代数式求值核心易错规则 2 知识点5 规律探究与代数式求值的关联 3 题型1 已知字母的值，求代数式的值 3 题型2 已知式子的值，求代数式的值 4 题型3 程序流程图与代数式求值 6 题型4 数字类规律探索 8 题型5 图形类规律探索 10 1. 知识目标：理解代数式的值的定义与意义，熟练掌握代数式求值的基本步骤和书写规范，掌握直接代入、整体代入两大核心求值方法，了解代数式数值随字母取值的变化规律。 2. 能力目标：能够熟练代入字母数值求解代数式，掌握整体代换求值技巧；可准确解读程序流程图完成代数式计算，具备数字、图形规律归纳并结合代数式求值的综合解题能力。 3. 素养目标：建立“一般到特殊、特殊到一般”的数学思维，养成规范代入、严谨计算、细致校验的解题习惯，提升代数运算与归纳推理核心素养。 知识点1 代数式的值的定义 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式既定的运算顺序计算，最终得到的结果，叫做代数式的值。 核心逻辑：代数式代表一般性数量关系，代入具体数值后得到特殊确定结果，实现从抽象字母到具体数值的运算转化，字母取值不同，代数式的值一般不同。 知识点2 代数式求值基本步骤 第一步：代入：将已知字母数值对应替换式中字母，负数、分数代入时必须添加括号，严禁直接裸代。 第二步：计算：严格遵循有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内部，逐层运算。 第三步：规范书写：统一标准格式：当某字母取某值时，原式＝运算过程＝最终结果，步骤完整不跳步。 知识点3 两大核心求值方法 1. 直接代入法：已知所有字母的具体取值，直接替换字母、逐步计算，适用于基础简单题型，是代数式求值的基础方法。 2. 整体代入法：初中必考重难点，无需单独求解单个字母的值，将已知完整式子视为一个整体，对所求代数式变形凑配后整体代换计算。适用于无法单独求字母、单独求解运算复杂的题型，大幅简化计算、降低出错率。 知识点4 代数式求值核心易错规则 1. 唯一性原则：同一个代数式中，一个字母只能对应一个固定数值，不可混用、错用数值。 2. 符号补全：代数式中省略的乘号，代入数字后必须补全，避免与小数点、数位混淆。 3. 括号规范：负数、分数参与乘方、乘法运算时，必须整体加括号，杜绝符号错误。 4. 取值有意义：字母取值需保证代数式有意义，分母不为0，实际问题中取值符合现实逻辑。 知识点5 规律探究与代数式求值的关联 数字、图形规律探究的核心是归纳出含正整数n的通用代数式；得到通项公式后，代入对应的n值，即可快速求出任意序号对应的数值，实现规律归纳与代数求值的结合应用。 题型1 已知字母的值，求代数式的值 解题技巧：统一使用直接代入法，遵循“代入—补号—运算—校验”四步标准流程。第一，精准对应代入，字母与数值一一匹配，不错代、不漏代；第二，规范补全符号，省略乘号全部补齐，负数、分数强制加括号；第三，严格按运算顺序计算，先乘方、再乘除、后加减，多层括号逐层拆解；第四，重点校验符号、乘方、括号三大易错点，规避基础计算失误。 高频易错点：混淆与，负数代入未加括号导致整体符号错误。 【典例1】．当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【变式1】．已知，，则______． 【变式2】．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【变式3】．已知，，且，求的值． 题型2 已知式子的值，求代数式的值 解题技巧：核心运用整体代入思想，不拆分、不单独求字母。首先观察已知式子与目标代数式的结构关联，寻找相同整体模块；其次对目标代数式进行恒等变形，通过凑项、加减常数、倍数缩放，构造出已知整体；最后直接代入整体数值计算结果，全程不求解单个字母。 核心口诀：能凑不拆、能整不孤，变形优先，简化运算。 【典例2】．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【变式1】．已知，则_____． 【变式2】．已知代数式的值为5，求的值． 【变式3】．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 题型3 程序流程图与代数式求值 解题技巧：逐框拆解、分步运算、条件判定、循环迭代。第一步通读流程图，明确输入量、固定运算规则、判断条件与输出要求；第二步根据流程逻辑，梳理并列出完整运算代数式；第三步代入初始数值，按顺序分步计算，满足循环条件则迭代运算，不满足则终止输出；第四步重点核对分支判断、循环次数、符号变化，杜绝跳步、漏算、错算。 秒杀技巧：固定不变的程序流程，可直接推导通用代数式，一次性代入求值，省去多次分步运算。 【典例3】．如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【变式1】．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【变式2】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【变式3】．如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 题型4 数字类规律探索 解题技巧：遵循“列举—归纳—验证—求值”四步解题法。首先列举n=1、n=2、n=3对应的数值，梳理数列特征；其次观察相邻数值的差值、倍数、平方变化规律，归纳出第n项通项代数式；然后代入前3组数值验证规律准确性；最后根据题干要求，代入指定n值完成求值。 常见规律模型：等差一次规律、倍数翻倍规律、平方递推规律、奇偶分段规律。 【典例4】．我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【变式2】．数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【变式3】．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 题型5 图形类规律探索 解题技巧：图形数字化、规律通用化、结果精准化。第一步数形转化，统计第1、2、3个图形对应的数量，转化为数字序列；第二步拆分规律，将图形数量拆分为“固定基础量+每次递增量”，快速推导含n的通项代数式；第三步验证规律，代入前几组图形数据核对无误；第四步代入对应序号n，求出目标图形的数量值。 适用场景：火柴棒组合、点阵排列、图形拼接、折叠变化、周长面积递推等常见题型。 【典例5】．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，……，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（     ） A．13 B．15 C．16 D．19 【变式2】．观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 【变式3】．如图，每一幅图中有若干张大小相同的小卡片，第1幅图中有1张卡片，第2幅图中有3张卡片，第3幅图中有6张卡片，第4幅图中有10张卡片，那第99幅图中有________张卡片． 1．当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 2．有一枚棋子放在图中号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到号位置；第二次跳两步，跳到号位置；第三次跳三步，又跳到号位置；……，这样一直进行下去，永远跳不到的位置序号是（     ） A．仅③ B．仅⑤ C．仅⑥ D．③或⑥ 3．烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是其前四种烷烃的分子结构模型，其中黑球代表碳原子C，白球代表氢原子H． 如图①第1种烷烃甲烷的化学式为， 如图②第2种烷烃乙烷的化学式为， 如图③第3种烷烃丙烷的化学式为， 如图④第4种烷烃丁烷的化学式为． 按照这一规律，第8种烷烃辛烷的化学式为（     ） A． B． C． D． 4．根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（     ） A．64 B．81 C．121 D．100 5．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 6．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是（     ） A． B． C． D． 7．在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第个数是（     ） A． B． C． D． 8．按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 9．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 10．已知且，我们定义，记为；，记为；……；以此类推．若将数组中的各数分别作f的变换，得到的数组记为，即，；将作f的变换，得到的数组记为；以此类推；则的值为（     ） A． B． C． D． 11．若，则=__________． 12．若，则________． 13．观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______． 14．观察下列等式． …… 依次写下去，请写出第100个等式：______． 15．在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）． （1）如果一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______厘米． （2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘米．（用含有的式子表示） 16．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 17．回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 18．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】 ①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】 (1)第5个等式为___________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 20．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 21．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 22．综合探究 【提出问题】将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次．怎样分这5个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 【分析问题】 (1)简单情况：用三个不等的非零数字，，组成一个两位数和一个一位数，每个数字仅用一次，怎样分这3个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 下边是一个两位数与一个一位数相乘的竖式图，其中，，是互不相等的正整数． 若为已知数，要使得最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故①_____； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故②______．（以上用“>”“<”填空） 因此，若最大，则，，从大到小排列应为③________． （注：表示十位数为，个位数为的两位数，即．） (2)拾阶而上：用四个不等的非零数字，，，组成两个两位数，每个数字仅用一次，怎样分这4个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 类似上面的分析过程可以知道，若使最大，则必有，，， 据此可知，满足题意的两个两位数，十位上的数字必是，，，中较大的两个数，个位数字是较小的两个数． 不妨设，下面比较与的大小． =④…… 完成上面的比较过程，从而得出：用1，2，3，4组成两个两位数，每个数字仅用一次，若这两个数乘积最大，则这两个数分别是⑤__________，__________； (3)得到结果：不妨将图中的，分别看作，，同时考虑到最大，根据上面的分析过程，我们有：若图中的最大，则五个不同的非零数字，，，，按由小到大排列应该为⑥__________． 【解决问题】 (4)根据以上分析，将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次，组成的两个数乘积的最大值为⑦__________． 【迁移应用】 (5)请利用下表所给5个不同的数字，按上面的要求，组成一个三位数和一个两位数，使这两个数的乘积最小． 五个数字 三位数 两位数 3 4 5 6 7 ⑧_____ ⑨_____ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 代数式的值 目录 知识点1 代数式的值的定义 2 知识点2 代数式求值基本步骤 2 知识点3 两大核心求值方法 2 知识点4 代数式求值核心易错规则 2 知识点5 规律探究与代数式求值的关联 3 题型1 已知字母的值，求代数式的值 3 题型2 已知式子的值，求代数式的值 4 题型3 程序流程图与代数式求值 6 题型4 数字类规律探索 8 题型5 图形类规律探索 10 1. 知识目标：理解代数式的值的定义与意义，熟练掌握代数式求值的基本步骤和书写规范，掌握直接代入、整体代入两大核心求值方法，了解代数式数值随字母取值的变化规律。 2. 能力目标：能够熟练代入字母数值求解代数式，掌握整体代换求值技巧；可准确解读程序流程图完成代数式计算，具备数字、图形规律归纳并结合代数式求值的综合解题能力。 3. 素养目标：建立“一般到特殊、特殊到一般”的数学思维，养成规范代入、严谨计算、细致校验的解题习惯，提升代数运算与归纳推理核心素养。 知识点1 代数式的值的定义 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式既定的运算顺序计算，最终得到的结果，叫做代数式的值。 核心逻辑：代数式代表一般性数量关系，代入具体数值后得到特殊确定结果，实现从抽象字母到具体数值的运算转化，字母取值不同，代数式的值一般不同。 知识点2 代数式求值基本步骤 第一步：代入：将已知字母数值对应替换式中字母，负数、分数代入时必须添加括号，严禁直接裸代。 第二步：计算：严格遵循有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号优先计算括号内部，逐层运算。 第三步：规范书写：统一标准格式：当某字母取某值时，原式＝运算过程＝最终结果，步骤完整不跳步。 知识点3 两大核心求值方法 1. 直接代入法：已知所有字母的具体取值，直接替换字母、逐步计算，适用于基础简单题型，是代数式求值的基础方法。 2. 整体代入法：初中必考重难点，无需单独求解单个字母的值，将已知完整式子视为一个整体，对所求代数式变形凑配后整体代换计算。适用于无法单独求字母、单独求解运算复杂的题型，大幅简化计算、降低出错率。 知识点4 代数式求值核心易错规则 1. 唯一性原则：同一个代数式中，一个字母只能对应一个固定数值，不可混用、错用数值。 2. 符号补全：代数式中省略的乘号，代入数字后必须补全，避免与小数点、数位混淆。 3. 括号规范：负数、分数参与乘方、乘法运算时，必须整体加括号，杜绝符号错误。 4. 取值有意义：字母取值需保证代数式有意义，分母不为0，实际问题中取值符合现实逻辑。 知识点5 规律探究与代数式求值的关联 数字、图形规律探究的核心是归纳出含正整数n的通用代数式；得到通项公式后，代入对应的n值，即可快速求出任意序号对应的数值，实现规律归纳与代数求值的结合应用。 题型1 已知字母的值，求代数式的值 解题技巧：统一使用直接代入法，遵循“代入—补号—运算—校验”四步标准流程。第一，精准对应代入，字母与数值一一匹配，不错代、不漏代；第二，规范补全符号，省略乘号全部补齐，负数、分数强制加括号；第三，严格按运算顺序计算，先乘方、再乘除、后加减，多层括号逐层拆解；第四，重点校验符号、乘方、括号三大易错点，规避基础计算失误。 高频易错点：混淆与，负数代入未加括号导致整体符号错误。 【典例1】．当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【变式1】．已知，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式2】．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）长方形的面积减去四个圆的面积即可求解，四个圆的面积的和是一个整圆的面积； （2）把，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 【变式3】．已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值意义，结合，先确定x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ，只能， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 题型2 已知式子的值，求代数式的值 解题技巧：核心运用整体代入思想，不拆分、不单独求字母。首先观察已知式子与目标代数式的结构关联，寻找相同整体模块；其次对目标代数式进行恒等变形，通过凑项、加减常数、倍数缩放，构造出已知整体；最后直接代入整体数值计算结果，全程不求解单个字母。 核心口诀：能凑不拆、能整不孤，变形优先，简化运算。 【典例2】．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】．已知，则_____． 【答案】11 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 【变式2】．已知代数式的值为5，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 【答案】或3 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的性质，先得到，，，再分两种情况代入所求式子计算出结果． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵c、d互为倒数， ∴， ∵， ∴． 将，代入原式得原式， 当时，原式， 当时，原式， 综上可知，的值为或3． 题型3 程序流程图与代数式求值 解题技巧：逐框拆解、分步运算、条件判定、循环迭代。第一步通读流程图，明确输入量、固定运算规则、判断条件与输出要求；第二步根据流程逻辑，梳理并列出完整运算代数式；第三步代入初始数值，按顺序分步计算，满足循环条件则迭代运算，不满足则终止输出；第四步重点核对分支判断、循环次数、符号变化，杜绝跳步、漏算、错算。 秒杀技巧：固定不变的程序流程，可直接推导通用代数式，一次性代入求值，省去多次分步运算。 【典例3】．如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【变式1】．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2017次输出的结果为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】根据如图的程序，分别求出前6次的输出结果各是多少，总结出规律，求出第2017次输出的结果． 【详解】解：第 1 次输出的结果为 27， 第 2 次输出的结果为 9， 第 3 次输出的结果为， 第 4 次输出的结果为， 第 5 次输出的结果为， 第 6 次输出的结果为， ， 从第 3 次开始，输出的结果以循环， ∵， ∴第2017次输出的结果为3． 【变式2】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 【变式3】．如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 题型4 数字类规律探索 解题技巧：遵循“列举—归纳—验证—求值”四步解题法。首先列举n=1、n=2、n=3对应的数值，梳理数列特征；其次观察相邻数值的差值、倍数、平方变化规律，归纳出第n项通项代数式；然后代入前3组数值验证规律准确性；最后根据题干要求，代入指定n值完成求值。 常见规律模型：等差一次规律、倍数翻倍规律、平方递推规律、奇偶分段规律。 【典例4】．我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先找出报数的循环周期，再通过计算总人数除以周期长度得到的余数，根据余数确定最后一名学生所报的数. 【详解】解：观察报数规律可得：报数按重复出现， ∴ 该规律的循环周期长度为， ∵ 总共有名学生，计算得 ， ∴ 最后一名学生对应循环周期中的第个数， ∵ 循环周期中第个数为， ∴ 最后一名学生所报的数是. 【变式1】．已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 【变式2】．数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【答案】 【分析】根据题干图形规律总结出算式 ，利用该规律分别计算两小题，第二小题需将带分数拆分为整数部分与分数部分分别求和. 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . 【变式3】．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 题型5 图形类规律探索 解题技巧：图形数字化、规律通用化、结果精准化。第一步数形转化，统计第1、2、3个图形对应的数量，转化为数字序列；第二步拆分规律，将图形数量拆分为“固定基础量+每次递增量”，快速推导含n的通项代数式；第三步验证规律，代入前几组图形数据核对无误；第四步代入对应序号n，求出目标图形的数量值。 适用场景：火柴棒组合、点阵排列、图形拼接、折叠变化、周长面积递推等常见题型。 【典例5】．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 【变式1】．按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，……，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（     ） A．13 B．15 C．16 D．19 【答案】C 【分析】根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律：第个图形中圆点的个数为，即可解决第⑥个图中圆点的个数． 【详解】解：第①个图形中圆点的个数为； 第②个图形中圆点的个数为； 第③个图形中圆点的个数为； 第④个图形中圆点的个数为； … 以此类推：第个图形中圆点的个数为； ∴第⑥个图中圆点的个数是． 【变式2】．观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 【答案】 【分析】根据所给个数，发现三个位置数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，，，，， 所以； 因为，，，，， 所以， 则， 所以， 即，的关系为． 【变式3】．如图，每一幅图中有若干张大小相同的小卡片，第1幅图中有1张卡片，第2幅图中有3张卡片，第3幅图中有6张卡片，第4幅图中有10张卡片，那第99幅图中有________张卡片． 【答案】4950 【分析】根据题意得出图形的一般规律为第n幅图中有张卡片，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1幅图中有1张卡片， 第2幅图中有张卡片， 第3幅图中有张卡片， 第4幅图中有张卡片， ……； ∴第n幅图中有张卡片， ∴第99幅图中有张卡片． 1．当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入可得， ，A选项符合题意． 2．有一枚棋子放在图中号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到号位置；第二次跳两步，跳到号位置；第三次跳三步，又跳到号位置；……，这样一直进行下去，永远跳不到的位置序号是（     ） A．仅③ B．仅⑤ C．仅⑥ D．③或⑥ 【答案】D 【分析】依次算出每次落点找出循环规律，根据落点出现情况确定永远无法跳到的序号． 【详解】解：根据题意可知，棋子每次跳的位置依次为、、、、、、、、、、、、、、，...，每次为一个周期循环， 故永远跳不到的位置序号是③或⑥． 3．烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是其前四种烷烃的分子结构模型，其中黑球代表碳原子C，白球代表氢原子H． 如图①第1种烷烃甲烷的化学式为， 如图②第2种烷烃乙烷的化学式为， 如图③第3种烷烃丙烷的化学式为， 如图④第4种烷烃丁烷的化学式为． 按照这一规律，第8种烷烃辛烷的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知化学式总结出碳、氢原子个数与序号的关系即可． 【详解】解：由题意及图形可知， 第1种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第2种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第3种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第4种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第种烷烃的化学式为． 当时，碳原子个数为8，氢原子个数为． 第8种烷烃辛烷的化学式为． 4．根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（     ） A．64 B．81 C．121 D．100 【答案】B 【分析】根据前三个图形，可得到第n个图左上角的数为n，右上角的数为，下面的数为，即可求解． 【详解】解：第1个图左上角的数为1，右上角的数为，下面的数为， 第2个图左上角的数为2，右上角的数为，下面的数为， 第3个图左上角的数为3，右上角的数为，下面的数为， ……， 以此类推可得，第n个图左上角的数为n，右上角的数为，下面的数为， ∵第n个图中的， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 5．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 6．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，，， ∴这一组数的第n个数是. 7．在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为数字规律探究题，先根据题意写出前若干个数，找出循环周期，再用目标序号除以周期，根据结果判断对应数字即可. 【详解】解：根据题意计算得： ， 从第三个数开始，每个数是前两个数之积的个位数字 ，得 ，得 ，得 ，得 ，得 ，得 ... 由此可知，这列数每个数为一个循环周期， ，刚好整除， 等于一个周期内的第个数，即 . 8．按如图所示的规律图案，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】B 【分析】根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律：第个图形中圆点的个数为，即可解决第⑧个图中圆点的个数． 【详解】解：第①个图形中圆点的个数为； 第②个图形中圆点的个数为； 第③个图形中圆点的个数为； 第④个图形中圆点的个数为； … 以此类推：第个图形中圆点的个数为； ∴第⑧个图中圆点的个数是． 9．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【答案】C 【分析】先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， 则第个图形，正三角形的个数为：, 当时，， ∴第100个图案中有个正三角形． 10．已知且，我们定义，记为；，记为；……；以此类推．若将数组中的各数分别作f的变换，得到的数组记为，即，；将作f的变换，得到的数组记为；以此类推；则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义计算前几次变换的和，可发现每3次变换为一个循环，利用循环规律计算总和即可； 【详解】解：根据题意计算得：，， ， ，， ， ，， ， ，， ， 可得规律：每3次变换为一个循环，一个循环的总和为， ， 总和． 11．若，则=__________． 【答案】 【分析】根据平方与绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数均为，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵，， 且 ， ∴，， 解得 ，， 将，代入得：. 12．若，则________． 【答案】5 【分析】由得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，且， 将代入可得． 13．观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______． 【答案】 【分析】观察数列发现，可以将分母相同的分数分成一组，即分组如下：，（ ，，），（ ，，，，），（ ，，，，，，），…，每组分别有1、3、5、7…个数；前n组共有个分数．求第150个数是多少，将150拆分成12的平方加6，即可得出第150个数是第13组的第6个数，据此得出这个分数． 【详解】解：观察数列，发现： 分母为1的分数有1个，； 分母为2的分数有3个，； 分母为3的分数有5个，； 分母为4的分数有7个，； …… 规律：分母为n的分数有个； 前n个分母的分数总个数是． 所以，数列中第150个是分母为13的第6个数，即． 14．观察下列等式． …… 依次写下去，请写出第100个等式：______． 【答案】 【分析】先观察给出的等式，分析等式两边数字和等式序号之间的规律，得出结论：第n个等式是，即可解答． 【详解】解：第1个（）：， 第2个（）：， 第3个（）：， …… 第n个：， 所以第100个等式是：． 15．在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）． （1）如果一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______厘米． （2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘米．（用含有的式子表示） 【答案】 / 【分析】（1）根据每次“生长”的图形周长比原来的图形周长多，即可求解； （2）根据题意可推出第次“生长”，得到图形的周长是厘米，即可求解． 【详解】（1）边长是厘米的等边三角形，周长是（厘米）， 第一个“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第二次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 因此一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是厘米； （2）边长为厘米的等边三角形，周长是厘米， 第一次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第二次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第三次“生长”得到图形的周长是（厘米）， ， 以此类推，第次“生长”得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米． 16．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 17．回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ． 18．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“与互为相反数”找出原点的位置即可求出的值； （2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定的值求解； （3）根据“数轴上点的位置右边点表示的数两点之间的距离”，用将的值表示出来进行求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】 ①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】 (1)第5个等式为___________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据前四个等式确定变化规律，然后确定第5个等式即可； （2）根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立． 20．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的面积公式，先由已知边长表示出一个正方形的面积；再利用绳子总长和正方形周长公式，求出另一个正方形的边长，进而表示出它的面积． （2）围绕和提出求代数式值的问题，将的具体值代入和的表达式中，计算出对应的面积值． 【详解】（1）解：， 另一段绳子的长度：，另一个正方形的边长：， ∴； （2）解：示例问题：当时，求的值． ∵，， ∴当时， ． 21．小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【答案】(1)3 (2)木地板总面积：平方米；地砖面积：平方米 (3)选方案A更省钱 【分析】（1）观察图形直接计算即可． （2）准确计算不同区域的面积即可． （3）根据面积和单价计算费用，再比较不同方案的费用高低． 【详解】（1）解：由得，解得． （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖：平方米． （3）解：因为卧室的面积为平方米，且卧室的长为米， ，解得， ∴铺设地面需要木地板：， 铺设地面需要地砖：， A种活动方案所需的费用：(元)， B种活动方案所需的费用：(元)， ， 所以小明家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用(含材料费及安装费)更低． 22．综合探究 【提出问题】将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次．怎样分这5个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 【分析问题】 (1)简单情况：用三个不等的非零数字，，组成一个两位数和一个一位数，每个数字仅用一次，怎样分这3个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 下边是一个两位数与一个一位数相乘的竖式图，其中，，是互不相等的正整数． 若为已知数，要使得最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故①_____； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故②______．（以上用“>”“<”填空） 因此，若最大，则，，从大到小排列应为③________． （注：表示十位数为，个位数为的两位数，即．） (2)拾阶而上：用四个不等的非零数字，，，组成两个两位数，每个数字仅用一次，怎样分这4个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 类似上面的分析过程可以知道，若使最大，则必有，，， 据此可知，满足题意的两个两位数，十位上的数字必是，，，中较大的两个数，个位数字是较小的两个数． 不妨设，下面比较与的大小． =④…… 完成上面的比较过程，从而得出：用1，2，3，4组成两个两位数，每个数字仅用一次，若这两个数乘积最大，则这两个数分别是⑤__________，__________； (3)得到结果：不妨将图中的，分别看作，，同时考虑到最大，根据上面的分析过程，我们有：若图中的最大，则五个不同的非零数字，，，，按由小到大排列应该为⑥__________． 【解决问题】 (4)根据以上分析，将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次，组成的两个数乘积的最大值为⑦__________． 【迁移应用】 (5)请利用下表所给5个不同的数字，按上面的要求，组成一个三位数和一个两位数，使这两个数的乘积最小． 五个数字 三位数 两位数 3 4 5 6 7 ⑧_____ ⑨_____ 【答案】(1)①<，②<，③． (2)④解： ； ∵， ∴， ∴， 即， ⑤41，32 (3)⑥ (4)22412 (5)⑧467，⑨35 【分析】（1）要使得最大，则最大，其次是，最小是，据此解答即可； （2）原式去括号，合并后再进行整理可得结论； （3）把最大的数放在两位数的十位上，第二大的放在三位数的百位上，第三大的数放在三位数的十位上，第四大的放在两位数的个位上，最小的放在三位数的个位上，故可得； （4）由（3）可得三位数和两位数，计算出乘积即可； （5）最小的两个数是3和4，分别作为三位数的百位、两位数的十位，剩下的最小的数中最小的两个数5和6 作为三位数的十位、两位数的个位，最大的数放在三位数的个位上即可． 【详解】（1）解：要使得最大，则最大，其次是，最小是， 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故． 因此，若最大，则，，从大到小排列应为． （2）解：由，可得“两个数和一定时，差越小乘积越大”； 把最大的两个数4和3放在十位，让两个数的差尽可能小，把剩下的1和2按大配小，小配大分配，即4配1，3配2，得到41和32； （3）解：若最大，则把最大的数放在两位数的十位上，第二大的放在三位数的百位上，第三大的数放在三位数的十位上，第四大的放在两位数的个位上，最小的放在三位数的个位上，故可得； （4）解：由（3）得：乘积最大的三位数和两位数为431和52， ； （5）解：最小的两个数是4和3，分别作为三位数的百位、两位数的十位，剩下的最小的数中最小的两个数5和6 作为三位数的十位、两位数的个位，最大的数放在三位数的个位上即467和35． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $