26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质，涵盖一般式概念、对称轴与顶点坐标公式、\(a,b,c\)符号意义等核心知识点。通过回顾顶点式与一般式关系，结合合作探究从\(y=ax^2\)平移入手，引导学生逐步掌握转化与性质，构建知识支架。 其亮点在于采用探究式学习，通过配方法推导、描点作图等活动培养抽象能力和推理意识，结合中考真题解析与“左同右异”等口诀总结。学生能提升运算与问题解决能力，教师可获得系统教学资源与中考衔接支持，助力高效教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 一般式基本概念 二次函数一般形式：$$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$（$$a、b、c$$为常数）。图象仍是抛物线，形状、开口大小由$$a$$决定，位置由$$a、b、c$$共同决定。所有二次函数顶点式都可展开化为一般式。 2. 对称轴与顶点坐标（必考公式） 无需配方，直接用公式求解： 对称轴直线：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点纵坐标（最值）：$$y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$ 顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$ 3. a、b、c 系数图象符号意义（选择填空高频） ① a：决定开口方向与宽窄。$$a>0$$开口向上；$$a<0$$开口向下；$$|a|$$越大开口越窄。 ② c：决定与$$y$$轴交点。交点坐标恒为$$(0,c)$$；$$c>0$$交y轴正半轴，$$c<0$$交负半轴，$$c=0$$过原点。 ③ a、b联合：决定对称轴位置（左同右异）。$$a、b$$同号，对称轴在y轴左侧；$$a、b$$异号，对称轴在y轴右侧；$$b=0$$，对称轴为y轴。 4. 增减性与最值 ① $$a>0$$，开口向上：$$x<-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而减小；$$x>-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而增大；有最小值$$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$，无最大值。 ② $$a<0$$，开口向下：$$x<-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而增大；$$x>-\dfrac{b}{2a}$$，y随x增大而减小；有最大值$$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$，无最小值。 5. 一般式转顶点式方法 配方法：提二次项系数→配方→整理，用于求顶点、平移、最值问题。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=x^2-4x+1$$的对称轴是（ ） A. 直线$$x=2$$ B. 直线$$x=-2$$ C. 直线$$x=4$$ D. 直线$$x=-4$$ 2. 抛物线$$y=-2x^2+3x-5$$的图象特征说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 开口向下 C. 经过原点 D. 对称轴为y轴 （二）填空题 3. 抛物线$$y=2x^2-8x+1$$的顶点横坐标为________。 4. 抛物线$$y=3x^2-6x$$与y轴交点坐标为________。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 用公式法求抛物线$$y=x^2-2x-3$$的对称轴、顶点坐标与最值。 6. 将一般式$$y=2x^2-8x+5$$化为顶点式，并说明图象的增减性。 四、参考答案与详细解析 1. A 解析：$$a=1,b=-4$$，对称轴$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$$。 2. B 解析：$$a=-2<0$$开口向下；$$c=-5 eq0$$不过原点；$$b eq0$$对称轴不是y轴。 3. $$2$$ 解析：$$x=-\dfrac{-8}{4}=2$$。 4. $$(0,0)$$ 解析：令$$x=0$$，得$$y=0$$，交点为原点。 5. 解：$$a=1,b=-2,c=-3$$，对称轴：直线$$x=1$$；顶点纵坐标：$$\dfrac{4\times1\times(-3)-4}{4}=-4$$；顶点坐标$$(1,-4)$$；开口向上，最小值为$$-4$$，无最大值。 6. 解：配方：$$y=2(x^2-4x)+5=2(x^2-4x+4-4)+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3$$。$$a=2>0$$，开口向上；当$$x<2$$时，y随x增大而减小；当$$x&gt;2$$时，y随x增大而增大。 五、本节易错点总结 1. 对称轴公式符号易错：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$，负号不能丢，b为负数时极易算反； 2. 看错交点：与y轴交点只看$$c$$，直接代入$$x=0$$，不要用对称轴公式； 3. 增减性必须以对称轴为分界，不能笼统判断；一般式优先套公式，避免配方出错。 4. “左同右异”是中考图象题秒杀口诀，需熟练掌握判断$$a、b$$符号关系。 学习目标 1.会用配方法或公式法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式 y = a(x − h)2 + k (a ≠ 0)；(难点） 2.会熟练求出抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标、对称轴.（重点） 3. 学习目标 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 猜想：通过组合平移 y = ax² (a≠0) 的图像能否得到 y = ax² + bx + c (a≠0) 的图像？ y = ax² 通过上下左右平移 y = a(x−h)2+k y = ax²+bx+c 是否有关系？ 回顾本章第一节问题 2，得到两年后的产量： y = 20(1 + x)2 = 20x2 + 40x + 20. 相互转化 (1) x2 − 12x + 36 = (x____)2； 填一填 (2) x2 − 12x = (x____)2 −____. − 6 36 − 6 【合作探究】 提示：可将其化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ 对于二次函数 y =x2 - 6x+ 21，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 探究1：从函数解析式研究图象和性质. 答：开口向上，对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3). (1) 你能说出 的开口方向，对称轴及 顶点坐标吗？ 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (2) 抛物线 可以看作是由 怎样 平移得到的？ y= x2 向右平移 6个单位 y= (x-6)2 向上平移 3个单位 y= (x-6)2+3 y= x2 向上平移 3个单位 y= x2+3 向右平移 6个单位 y= (x-6)2+3 方法1 方法2 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 探究2：用“描点法”法作图研究图象性质 … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解：先利用图形的对称性列表； 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图. O 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 5 10 x y 5 10 x = 6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. O 问题 结合二次函数 y = x2 - 6x + 21 的图象，说出其增减性. 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 探究：你能用上面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x + 1 的图象和性质吗? 解：配方得 y = -2x2 - 4x + 1 = -2(x + 1)2 + 3 因此，抛物线开口向下，对称轴是 x = -1， 顶点坐标是 (-1，3)，顶点是图象的最高点. = -2(x2 + 2x) + 1 = -2(x2 + 2x + 1) + 2 + 1 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 “描点法”法作图 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 当 x < -1 时，y 随 x 增大而增大； 当 x > -1 时， y 随 x 增大而减小. 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？ y = ax² + bx + c 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 【归纳总结】 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 ， . 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 . 二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式 y = ax2 + bx + c = 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 【练一练】 1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式 y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其顶点坐标． (1) y = x2 - 2x + 1； (2) y = 2x2 - 4x + 6． 解：(1) y = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2，顶点坐标为 (1，0). (2) y = 2x2 − 4x + 6 = 2(x −1)2 + 4，顶点坐标为 (1，4). 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 【归纳总结】 如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. (1) (2) x y O x y O 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5． (1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式； (2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3， ∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小． 解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4. (2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4). 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 开口方向 一般研究哪几种性质？ 顶点坐标 对称轴 增减性 a 决定 a，b 共同决定 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 c 决定什么？ 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 x y O 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___0 b1 ___0 c1 ___0 a2 ___0 b2 ___0 c2 ___0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ x = 0 时 y = c. y2 = a2x2 + b2x + c2 y1=a1x2+b1x+c1 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 x y O a3 ___ 0 b3 ___ 0 c3 ___ 0 a4 ___ 0 b4 ___ 0 c4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ x = 0时 y = c. y4 = a4x2 + b4x + c4 y3 = a3x2 + b3x + c3 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 【链接中考】 1. 如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 　C．3　　　D．4 O x = -1 1 x y 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ， ∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误； ②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0， ∴3a＜-c，故 ② 正确； ③：∵ x = -1 时，y 有最大值， ∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)， 即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b. 故 ③ 错误； O x = -1 1 x y 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 ④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点 (-3，-2)，方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根 为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点 为 (-3，-2). ∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的 另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3. ∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确． 所以正确的是 ②④. O x = -1 1 x y 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b = 0 对称轴为_____轴 a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧 c = 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 二次函数图象与 a、b、c 的关系 【归纳总结】 探究点：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 知识点1 二次函数 与 间的关系 1. 将二次函数化成 的形 式是( ) A A. B. C. D. 2.把二次函数化为 的形式， 那么 ___. 1 中考考法 25 知识点2 二次函数 的图象和性质 （第3题） 3. 二次函数 的 图象如图，则一次函数 的图象一 定不经过( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 26 4. [2025广州] 在平面直角坐标系中，两点 ， 在抛物线 上，则下列结论中 正确的是( ) A A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 中考考法 27 5. 已知二次函数 的自 变量与函数值 之间满足的数量关系如下表，则 的值为_______. 3 5 12 12 100 1 200 中考考法 28 知识点3 二次函数的图象与，， 符号间的关系 （第6题） 6. [2025安徽] 已知二次函数 的图象如图所示， 则( ) C A. B. C. D. 中考考法 29 7. [2026天津一中模拟] 如图，抛物线 经过点 ，且对 称轴是直线 ，则下列结论正确的有( ) B ； ； ③若， 是抛物线上的两点， A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ② 则当时，的取值范围是 ； ④若抛物线与轴交于点，当时，函数 的最 大值与最小值的差为6，则的值为或 . 中考考法 30 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 $