专题01 一元二次方程配方法的8大应用（解题技巧总结+8大题型）培优讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义围绕配方法构建知识体系，通过“定义-核心步骤-数学本质”梳理基础，用表格呈现5大应用场景（解方程、求最值等）的核心思路与典型问题，结合分层题型归纳知识脉络，突出重难点及内在联系。 讲义亮点是分层精练设计，从基础的配方变形求值到压轴的几何情境综合应用，如双变量双配方求最值题型，培养数学思维与模型意识。每个题型附解题技巧与变式题，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供支持。

专题01 一元二次方程配方法的8大应用 一、配方法的定义 把一个式子或式子的某一部分，通过恒等变形配成完全平方式的形式，这种解题方法叫做配方法。 二、完全平方公式回顾 三、配方法的核心步骤（"一移、二除、三配、四开"） 1.移项：将常数项移到等号右边； 2.化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1； 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.变形：左边写成完全平方式，右边合并常数。 四、配方法的数学本质 降次思想：将二次式转化为完全平方式，利用平方的非负性解决问题。 五、配方法的常见应用场景 应用类型 核心思路 典型问题 解方程 配方后直接开方降次 解一元二次方程 求最值 利用平方非负性，完全平方式为0时取最值 代数式最大值、最小值 比较大小 作差后配方，判断差的符号 两式大小关系 判定符号 配方后判断整体正负 恒正、恒负证明 几何判定 三边关系式配方，利用非负性求边长 三角形形状判定 【基础巩固题型】 【题型1】配方变形与参数求值 解题方法技巧 1.对二次三项式，先提取二次项系数，再加上并减去一次项系数一半的平方； 2.标准配方结果：； 3.已知配方后的形式求参数，对比对应项系数列方程求解。 【例题1】.（2026·河南洛阳·一模）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程配方后得，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·山西大同·期末）将一元二次方程配方后化为的形式为________ 【题型2】单变量配方法求代数式最值 解题方法技巧 1.将代数式配方为的形式； 2.当时，完全平方式非负，代数式有最小值（此时）； 3.当时，完全平方式非正，代数式有最大值（此时）； 4.易错提醒：二次项系数不为1时，先提取系数再配方，注意常数项的变化。 【例题2】.（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）代数式的最大值______． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）代数式的最大值是_____． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的最小值是______． 【题型3】配方法比较两个代数式大小 解题方法技巧 1.作差法：计算，将差进行配方变形； 2.单配方：差为单变量二次式，直接配方判断符号； 3.双配方：差含两个变量，分别对两个变量配方，利用非负性判断； 4.结论：差>0则P>Q，差<0则P<Q，差=0则P=Q。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式题3-1】.（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【培优提升题型】 【题型4】配方法判断代数式符号（恒正/恒负证明） 解题方法技巧 1.将代数式配方为完全平方式加常数的形式； 2.若配方后为"平方+正数"，则代数式恒为正； 3.若配方后为"负平方+负数"，则代数式恒为负； 4.证明题规范书写：先配方，再说明平方非负，最后得出整体符号结论。 【例题4】.（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【变式题4-1】.（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数． 试说明：无论 x 取何值时，总有． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【题型5】双变量双配方求最值 解题方法技巧 1.代数式含两个变量时，将含同一变量的项分组； 2.分别对两个变量独立配方，化为两个完全平方式加常数的形式； 3.当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最值； 4.跨学科情境：可结合物理公式、经济利润等实际问题背景。 【例题5】.（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【题型6】配方法在实数范围内分解因式 解题方法技巧 1.对二次三项式先配方，化为完全平方式减常数的形式：； 2.利用平方差公式分解：； 3.二次项系数不为1时，先提取系数再配方分解，最后还原系数； 4.注意：必须在实数范围内，被开方数非负时才能分解。 【例题6】.（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式．根据示例，在实数范围内分解因式∶________． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)已知是多项式的一个因式，则______； (3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 【压轴素养题型】 【题型7】配方法与新定义探究题 解题方法技巧 1.精读题干，理解新定义的规则（如"完美数""雅常式""对称多项式"等）； 2.将新定义条件转化为代数式的配方问题； 3.结合配方法的非负性、最值等性质求解参数或证明结论； 4.素养导向：考查阅读理解、数学抽象、逻辑推理能力，是中考新题型热点。 【例题7】.（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 【变式题7-3】.（25-26九年级上·湖北黄石·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【题型8】配方法的几何情境综合应用 解题方法技巧 1.将几何问题中的长度、面积、体积等关系转化为代数式； 2.利用配方法求几何最值（如最大面积、最短路径、最小周长等）； 3.结合动点问题：设动点坐标或运动时间，建立二次函数关系后配方； 4.跨学科融合：可结合物理运动学、工程设计等真实情境，体现数学建模素养。 【例题8】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．    素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天．    素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (3)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 一、单选题 1．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 2．当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若，则代数式的值为__________． 5．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 6．若，则的最小值为______． 三、解答题 7．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 8．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程配方法的8大应用 一、配方法的定义 把一个式子或式子的某一部分，通过恒等变形配成完全平方式的形式，这种解题方法叫做配方法。 二、完全平方公式回顾 三、配方法的核心步骤（"一移、二除、三配、四开"） 1.移项：将常数项移到等号右边； 2.化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1； 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.变形：左边写成完全平方式，右边合并常数。 四、配方法的数学本质 降次思想：将二次式转化为完全平方式，利用平方的非负性解决问题。 五、配方法的常见应用场景 应用类型 核心思路 典型问题 解方程 配方后直接开方降次 解一元二次方程 求最值 利用平方非负性，完全平方式为0时取最值 代数式最大值、最小值 比较大小 作差后配方，判断差的符号 两式大小关系 判定符号 配方后判断整体正负 恒正、恒负证明 几何判定 三边关系式配方，利用非负性求边长 三角形形状判定 【基础巩固题型】 【题型1】配方变形与参数求值 解题方法技巧 1.对二次三项式，先提取二次项系数，再加上并减去一次项系数一半的平方； 2.标准配方结果：； 3.已知配方后的形式求参数，对比对应项系数列方程求解。 【例题1】.（2026·河南洛阳·一模）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程配方后得，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的步骤．通过在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，进而确定和的值，最终计算． 【详解】解：， ， ， ， 与比较，得，， ． 故选：． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·山西大同·期末）将一元二次方程配方后化为的形式为________ 【答案】 【分析】本题主要考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键． 将常数项移项后，等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：将方程移项得： 配方得： 所以． 故答案为：． 【题型2】单变量配方法求代数式最值 解题方法技巧 1.将代数式配方为的形式； 2.当时，完全平方式非负，代数式有最小值（此时）； 3.当时，完全平方式非正，代数式有最大值（此时）； 4.易错提醒：二次项系数不为1时，先提取系数再配方，注意常数项的变化。 【例题2】.（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）代数式的最大值______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，对原式进行配方，再根据非负数的性质即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）代数式的最大值是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键． 首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即代数式的最大值是． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】通过配方法对代数式变形，再利用完全平方式的非负性即可求出的最小值． 【详解】解:对进行配方，即， 对任意实数，都有， 当时，取得最小值，即最小值为， 故答案为． 【题型3】配方法比较两个代数式大小 解题方法技巧 1.作差法：计算，将差进行配方变形； 2.单配方：差为单变量二次式，直接配方判断符号； 3.双配方：差含两个变量，分别对两个变量配方，利用非负性判断； 4.结论：差>0则P>Q，差<0则P<Q，差=0则P=Q。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根。 (2) 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 【培优提升题型】 【题型4】配方法判断代数式符号（恒正/恒负证明） 解题方法技巧 1.将代数式配方为完全平方式加常数的形式； 2.若配方后为"平方+正数"，则代数式恒为正； 3.若配方后为"负平方+负数"，则代数式恒为负； 4.证明题规范书写：先配方，再说明平方非负，最后得出整体符号结论。 【例题4】.（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法和非负数的性质（平方的非负性），熟练掌握配方法的技巧是解题的关键． 通过完成平方将代数式配方变形，利用平方的非负性证明其值恒为正． 【详解】证明： 又 对于所有实数， ， ， 因此，无论取何实数，代数式的值一定是正数． 【变式题4-1】.（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数． 试说明：无论 x 取何值时，总有． 【答案】见解析 【分析】本题考查配方法的应用，根据题意计算即可证明． 【详解】证明：∵一次函数与二次函数， ∴， ∵， ∴， ∴无论 x 取何值时，总有． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 【题型5】双变量双配方求最值 解题方法技巧 1.代数式含两个变量时，将含同一变量的项分组； 2.分别对两个变量独立配方，化为两个完全平方式加常数的形式； 3.当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最值； 4.跨学科情境：可结合物理公式、经济利润等实际问题背景。 【例题5】.（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，非负数的应用，将式子写成完全平方式，再判断式子的取值范围即可，解题的关键是将多项式分组，写成非负数的和的形式． 【详解】证明： ， ∵，， ∴，即， ∴的值是正数， 【变式题5-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【题型6】配方法在实数范围内分解因式 解题方法技巧 1.对二次三项式先配方，化为完全平方式减常数的形式：； 2.利用平方差公式分解：； 3.二次项系数不为1时，先提取系数再配方分解，最后还原系数； 4.注意：必须在实数范围内，被开方数非负时才能分解。 【例题6】.（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数范围内分解因式，解一元二次方程，令，利用求根公式求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：解方程， 使用求根公式，其中，，， 判别式， 所以， 根为，， 因此． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式．根据示例，在实数范围内分解因式∶________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、因式分解-十字相乘法及实数范围内因式分解，根据题意，求出方程的两个根即可解决问题． 【详解】解：令 ， 的根为，即，， ． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)已知是多项式的一个因式，则______； (3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了解一元二次方程． （1）利用直接求解； （2）设多项式的另一个因式为，则，再利用恒等得到，，然后解方程组即可； 先利用求根公式解方程得到，，然后利用求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，， ； 故答案为：； （2）设多项式的另一个因式为， ， 即， ，， 解得，； 故答案为：； （3）解方程， ， ， ，， ． 【压轴素养题型】 【题型7】配方法与新定义探究题 解题方法技巧 1.精读题干，理解新定义的规则（如"完美数""雅常式""对称多项式"等）； 2.将新定义条件转化为代数式的配方问题； 3.结合配方法的非负性、最值等性质求解参数或证明结论； 4.素养导向：考查阅读理解、数学抽象、逻辑推理能力，是中考新题型热点。 【例题7】.（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 【答案】（1）①③；（2）；（3）36；（4）3 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式子的平方和的形式即可求解； （4）根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）① ∴是“完美数”， ②， ∴不是“完美数”， ③， ∴是“完美数”； （2）∵， ∴， ∴； （3） ∴当时，， 则 ∴当时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·湖北黄石·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)10 (2)12 (3)25 (4)见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式，配方法的应用； （1）根据新定义逐一判定即可； （2）根据配方法得到，代入计算即可； （3）根据配方法得到，得到，计算即可； （4）令，，为整数），得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴10是“雅美数”， 故答案为：10． （2）解：； ∴， ． 故答案为：12． （3）解： ， 要使为“雅美数”，其表达式应为两个整数的平方和的形式， ∵是整数， ∴是整数， ， ∴； （4）证明：∵实数，是“雅美数”， 令，，为整数）， ∴ ∵为整数， ∴均为整数， ∴是“雅美数” 【题型8】配方法的几何情境综合应用 解题方法技巧 1.将几何问题中的长度、面积、体积等关系转化为代数式； 2.利用配方法求几何最值（如最大面积、最短路径、最小周长等）； 3.结合动点问题：设动点坐标或运动时间，建立二次函数关系后配方； 4.跨学科融合：可结合物理运动学、工程设计等真实情境，体现数学建模素养。 【例题8】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【答案】(1)3 (2)当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，则矩形的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3； （2）解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， ∴矩形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为， 当时，，此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大值为． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 【答案】(1)解：的三边长分别为，，， 且， ， ， 故． (2)①解： ， 故即； ②解：，理由是： ． ， ． ． ， ，． ． 即． ． (3)50 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）①利用平方幂的非负性，建立不等式求解即可； ②利用非负性求解即可； （3）表示出面积，利用前面的不等式结论，结合，求得面积的最大值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，． 如图， 在两邻边长分别为的矩形中，构造，其中，，． ． ， ． ．即面积的最大值为50． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．    素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天．    素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (3)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【答案】(1)米时，符合要求 (2)在第10天出售 (3)900元 【分析】（1）根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （2）设在第天出售，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设草莓存放天，总利润为，则，利用配方法可得，然后确定最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 整理可得， 解得， 又∵， ∴当时，不符合题意，当米时，符合题意， ∴米时，符合要求； （2）设在第天出售，根据题意，可得 ， 整理可得， 解得（超出最大保存期限，舍去）， ∴在第10天出售； （3）设草莓存放天，总利润为， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为900元． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 一、单选题 1．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤完成移项和配方后，和要求的形式对比即可得到，的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 对左边配方，一次项系数的一半为，两边同时加得： ， 整理得：， ∴，． 2．当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 3．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 二、填空题 4．若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 5．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 6．若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 三、解答题 7．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 8．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $