专题01一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 1.掌握一元二次方程定义，熟记三大判定条件，能辨别一元二次方程，会写出一般形式，精准识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.理解一元二次方程根的含义，掌握方程根的代入验证方法，能利用方程根求参数数值。 3.结合实际情境找寻等量关系，会列简单一元二次方程，建立方程数学建模思想。 4.熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，明晰每种解法适用题型。 5.熟记求根公式，了解公式推导过程，能套用公式规范解方程。 6.掌握配方法完整步骤，重点攻克二次项系数不为 1 的配方变形，依托等式性质完成配方。 7.会根据方程结构择优选择解法，提升解方程效率，规范解题步骤格式。 8.厘清解法易错点：忽略二次项系数不为 0、开平方漏正负号、因式分解漏解、配方时常数项出错。 9.整理参数求值、择优解方程题型错题，标记配方、含参问题重难点，课堂针对性听课突破。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程定义与判定 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的根 4.一元二次方程的解法 5.一元二次方程根的判别式 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.一元二次方程的判定 4.由一元二次方程的定义求参数 5.一元二次方程解的判定 6.由一元二次方程的解求参数 7.一元二次方程解的估算 8.直接开平法 9.配方法 10.配方法的应用 11.公式法解一元二次方程 12.因式分解法解一元二次方程 13.换元法解一元二次方程 14.判别式判断方程根的情况 15.由方程根的情况求参数 16.解分式方程 强化题型 解答题7题 知识点01:一元二次方程定义与判定条件 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等式两边都是整式的方程。 2.三大判定条件，缺一不可： ① 整式方程，分母不含未知数；② 只含 1 个未知数；③ 未知数最高次数为 2，二次项系数a≠0。 3.方程判定对比 方程 是否一元二次方程 判断理由 2x2-3x+1=0 是 整式、单未知数、最高次 2，a≠0 x2+3y=5 否 存在两个未知数 x3-2x2=0 否 未知数最高次数为 3 +2x=1 否 分母含未知数，非整式方程 3x2=0 是 b、c可为 0，仅要求a≠0 (x+1)2=x2+2 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 知识点02:一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 书写要求：所有项移至等式左侧，右侧化为 0，优先将二次项系数化为正数。 知识点03:一元二次方程的根 1.概念：能让方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.检验根标准步骤： ① 将数值分别代入方程左、右两侧； ② 分别计算两侧结果； ③ 若左边 = 右边，该数值为方程的根。 3.参数求解应用：已知根，把根代入方程，建立关于参数的等式，求出参数。 例：x=2是x2-ax+2=0的根，代入得4-2a+2=0，解得a=3。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点05:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点07:高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 忽略a≠0 认为(m-2)x2+3x=0一定是一元二次方程 m≠2时才是一元二次方程 遗忘一元二次方程定义限制 开平方漏正负号 (x-1)2=4，只写x-1=2 x-1=±2，两根x1=3,x2=-1 平方根有两个互为相反数值 配方只单边加常数 x2-4x=5，化为(x-2)2=5 两边同时加 4，(x-2)2=9 未遵守等式基本性质 求根公式代错符号 x2-3x-4=0，误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、b、c需连带前面符号 随意约去含未知数项 x2=3x直接约x，得x=3 移项x(x-3)=0，两根0、3 丢失x=0这个根 题型1.一元二次方程的定义 【典例】已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义，得到，再整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，即， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 【跟踪专练2】已知一元二次方程，则代数式的值等于___________． 【答案】3 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，求解代数式的值，由一元二次方程出发，利用代数变形求出的值，再通过完全平方公式计算． 【详解】解：由方程 ，可知 ，将方程两边除以，得 ， 即， ∴， 故答案为：3． 【跟踪专练3】下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的概念，掌握好一元二次方程的定义与注意点是解题关键． 判断一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数、未知数的最高次数为2、方程为整式方程（分母不含未知数），逐一检查每个方程是否符合条件． 【详解】解： ① ：未明确，若则不是二次方程，故不满足； ② ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ③ ：展开得 ，最高次数为3，故不满足； ④ ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ⑤ ：含两个未知数x和y，故不满足； ⑥ ：展开得 ，最高次数为4，故不满足； ⑦ ：满足一元二次方程条件，故满足； ⑧ ：满足一元二次方程条件，故满足． ∴ 只有⑦和⑧是一元二次方程，共2个． 故选：C． 题型2.化成一元二次方程的一般式 【典例】一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 【跟踪专练1】将方程化成一般形式，其一次项系数是（   ） A．5 B． C． D．1 【答案】B 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定一次项系数即可． 【详解】解： 移项整理，得一般形式， ∴该方程的一次项系数为． 【跟踪专练2】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ∴该方程的一般形式为， 故选A 【跟踪专练3】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 题型3.一元二次方程的判定 【典例】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 【跟踪专练2】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 题型4.由一元二次方程的定义求参数 【典例】若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】关于x的方程是一元二次方程，则m=_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得，即， ∴或． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练3】方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽略的知识点． 根据一元二次方程的定义得到：，且，然后求解即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ，且． 解得． 故选：B． 题型5.一元二次方程解的判定 【典例】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【跟踪专练1】下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 【跟踪专练2】若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 题型6.由一元二次方程的解求参数 【典例】已知a为方程的一个根，则代数式的值为_____． 【答案】1 【分析】将代入方程，可得到关于的等式．观察所求代数式与代入后得到的等式的关系，通过等式变形即可得到代数式的值． 【详解】解：将代入原方程得： ， 移项后直接得到， 因此代数式的值为． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 【跟踪专练2】如果是关于的一元二次方程的一个根，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，将代入一元二次方程，得到与的关系式，进而化简所求表达式并代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 题型7.一元二次方程解的估算 【典例】小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 【跟踪专练1】根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 【跟踪专练2】根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 题型8.直接开平法 【典例】方程的解是______． 【答案】， 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 【跟踪专练1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程进行解题． 【详解】解：A：，，有实数根，故该选项不合题意； B：，，，有实数根，故该选项不合题意； C：，，无实数根，故该选项符合题意； D：，，，有实数根，故该选项不合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是______． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 【跟踪专练3】淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则的值为（   ） A．1 B．或 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据题意得关于a的方程为，解方程即可，注意舍去负值． 【详解】解：由题意得：， 配方得：， 即， ∴（舍去）， 即a的值为； 故选：C． 题型9.配方法 【典例】将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 【跟踪专练1】把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 【详解】解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】用配方法解方程时，配方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得 ， 即配方后所得方程为 ． 【跟踪专练3】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤是解题关键．先通过配方法将方程转化为的形式，求出、的值，再计算． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 对比的形式，可得， ∴ 故选：D． 题型.10.配方法的应用 【典例】已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 【跟踪专练1】把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 【跟踪专练2】把方程转化为的形式，则_____． 【答案】 【分析】根据配方法解答即可． 本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵, 配方，得，即． 故． 故， 故答案为：． 【跟踪专练3】若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键． 三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 题型11.公式法解一元二次方程 【典例】用公式法解方程时，____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，关键是熟记一元二次方程的求根公式． 将原方程变形为一般式得找出的值，再将其代入即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为， 整理，得， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【跟踪专练2】定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 【跟踪专练3】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．14 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值等知识；通过求根公式求出方程的两个根，然后直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程 的根为 ， 设 , ， ∴ , ， ∴ ． 故答案为：B． 题型12.因式分解法解一元二次方程 【典例】一元二次方程的解是 ________． 【答案】 【详解】解：， 可得或， 解得． 【跟踪专练1】方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．可通过因式分解法解方程，注意不能直接约去含未知数的因式，避免漏根． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 【跟踪专练2】一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得， 【跟踪专练3】已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过求解两个二次方程得到p和q的可能值，排除的组合后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴或； 又∵， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 若，则， 若，则， ∴． 故选：C． 题型13.换元法解一元二次方程 【典例】若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故答案为：2023． 【跟踪专练1】已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 【跟踪专练2】关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 【跟踪专练3】已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 题型14.判别式判断方程根的情况 【典例】方程中，的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，能够识别系数，，的值和掌握判别式是是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，确定系数，，的值，然后计算判别式即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x的方程根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有1个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，求出方程的判别式即可判断根的情况. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴该方程没有实数根. 【跟踪专练2】实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 【答案】③ 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，， 即， ∵， ∴方程的根的情况是没有实数根． 【跟踪专练3】对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 题型15.由方程根的情况求参数 【典例】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 【跟踪专练1】已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】分与两种情况讨论，当该方程为一元二次方程，其有两个实数根的条件是判别式，据此求解的取值范围． 【详解】解：当，方程为一元一次方程，只有一个实数根，不符合题意，则； 当，若有两个实数根，则，解得， 综上，的取值范围是且． 【跟踪专练2】若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 【跟踪专练3】关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及利用端点函数值符号判断根的分布是解题的关键．本题需分两种情况讨论：一是方程有且只有一个实数根且在范围内；二是方程有两个不相等实数根，但只有一个根在范围内．通过判别式、二次函数对称轴的符号来求解的取值范围． 【详解】解：情况一：方程只有一个解且在范围时， ，即， 解得， ， ， ， 情况二：当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或 题型16.解分式方程 【典例】将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程中的去分母化简．先确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，再整理得到整式方程，最后判断选项即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的分母分别为x和，最简公分母是各分母的乘积，即， 因此，方程两边同乘，得：， 展开合并同类项得到：， 故选：D． 【跟踪专练1】用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是掌握解分式方程解法． 通过换元法，设，将原分式方程转化为关于y的整式方程． 【详解】解：∵设， ∴， 原方程化为，即， 两边乘以y得， 移项得． ∴整式方程为， 故选：A． 【跟踪专练2】分式方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验． 按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验． 【详解】解：， ， 解得：或 经检验：是增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则m的值为____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零． 【详解】由，得． 代入， 分子， 所以， 即． 两边乘以2，得． 所以， 整理得， 因式分解得， 解得或． 检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足． 故答案为：或． 解答题 1．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2．解方程 (1)； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，； （2）解：， 移项，得， 两边开方，得， 解得，． 3．计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． （3）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 4．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 5．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 6．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （4）根据解分式方程的步骤，对所给分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则， 故； （2）解：， ， ， ， 则或， 故，； （3）解：， ， ， 则或， 故； （4）解：， ， ， ， ， 则或， 所以， 当时，， 所以是原分式方程的增根； 当时，， 故是原分式方程的解． 7．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 1.掌握一元二次方程定义，熟记三大判定条件，能辨别一元二次方程，会写出一般形式，精准识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.理解一元二次方程根的含义，掌握方程根的代入验证方法，能利用方程根求参数数值。 3.结合实际情境找寻等量关系，会列简单一元二次方程，建立方程数学建模思想。 4.熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，明晰每种解法适用题型。 5.熟记求根公式，了解公式推导过程，能套用公式规范解方程。 6.掌握配方法完整步骤，重点攻克二次项系数不为 1 的配方变形，依托等式性质完成配方。 7.会根据方程结构择优选择解法，提升解方程效率，规范解题步骤格式。 8.厘清解法易错点：忽略二次项系数不为 0、开平方漏正负号、因式分解漏解、配方时常数项出错。 9.整理参数求值、择优解方程题型错题，标记配方、含参问题重难点，课堂针对性听课突破。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程定义与判定 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的根 4.一元二次方程的解法 5.一元二次方程根的判别式 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.一元二次方程的判定 4.由一元二次方程的定义求参数 5.一元二次方程解的判定 6.由一元二次方程的解求参数 7.一元二次方程解的估算 8.直接开平法 9.配方法 10.配方法的应用 11.公式法解一元二次方程 12.因式分解法解一元二次方程 13.换元法解一元二次方程 14.判别式判断方程根的情况 15.由方程根的情况求参数 16.解分式方程 强化题型 解答题7题 知识点01:一元二次方程定义与判定条件 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等式两边都是整式的方程。 2.三大判定条件，缺一不可： ① 整式方程，分母不含未知数；② 只含 1 个未知数；③ 未知数最高次数为 2，二次项系数a≠0。 3.方程判定对比 方程 是否一元二次方程 判断理由 2x2-3x+1=0 是 整式、单未知数、最高次 2，a≠0 x2+3y=5 否 存在两个未知数 x3-2x2=0 否 未知数最高次数为 3 +2x=1 否 分母含未知数，非整式方程 3x2=0 是 b、c可为 0，仅要求a≠0 (x+1)2=x2+2 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 知识点02:一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 书写要求：所有项移至等式左侧，右侧化为 0，优先将二次项系数化为正数。 知识点03:一元二次方程的根 1.概念：能让方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.检验根标准步骤： ① 将数值分别代入方程左、右两侧； ② 分别计算两侧结果； ③ 若左边 = 右边，该数值为方程的根。 3.参数求解应用：已知根，把根代入方程，建立关于参数的等式，求出参数。 例：x=2是x2-ax+2=0的根，代入得4-2a+2=0，解得a=3。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点05:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点07:高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 忽略a≠0 认为(m-2)x2+3x=0一定是一元二次方程 m≠2时才是一元二次方程 遗忘一元二次方程定义限制 开平方漏正负号 (x-1)2=4，只写x-1=2 x-1=±2，两根x1=3,x2=-1 平方根有两个互为相反数值 配方只单边加常数 x2-4x=5，化为(x-2)2=5 两边同时加 4，(x-2)2=9 未遵守等式基本性质 求根公式代错符号 x2-3x-4=0，误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、b、c需连带前面符号 随意约去含未知数项 x2=3x直接约x，得x=3 移项x(x-3)=0，两根0、3 丢失x=0这个根 题型1.一元二次方程的定义 【典例】已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【跟踪专练1】下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一元二次方程，则代数式的值等于___________． 【跟踪专练3】下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型2.化成一元二次方程的一般式 【典例】一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【跟踪专练1】将方程化成一般形式，其一次项系数是（   ） A．5 B． C． D．1 【跟踪专练2】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 题型3.一元二次方程的判定 【典例】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型4.由一元二次方程的定义求参数 【典例】若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【跟踪专练1】若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的方程是一元二次方程，则m=_______． 【跟踪专练3】方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 题型5.一元二次方程解的判定 【典例】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【跟踪专练1】下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 题型6.由一元二次方程的解求参数 【典例】已知a为方程的一个根，则代数式的值为_____． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果是关于的一元二次方程的一个根，那么______． 【跟踪专练3】如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 题型7.一元二次方程解的估算 【典例】小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【跟踪专练1】根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型8.直接开平法 【典例】方程的解是______． 【跟踪专练1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是______． 【跟踪专练3】淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则的值为（   ） A．1 B．或 C． D．1或 题型9.配方法 【典例】将方程配方成的形式，则______． 【跟踪专练1】把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 【跟踪专练2】用配方法解方程时，配方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型.10.配方法的应用 【典例】已知代数式的最小值是_________． 【跟踪专练1】把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【跟踪专练2】把方程转化为的形式，则_____． 【跟踪专练3】若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型11.公式法解一元二次方程 【典例】用公式法解方程时，____________． 【跟踪专练1】某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【跟踪专练3】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．14 D．6 题型12.因式分解法解一元二次方程 【典例】一元二次方程的解是 ________． 【跟踪专练1】方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【跟踪专练2】一元二次方程的解是_________． 【跟踪专练3】已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 题型13.换元法解一元二次方程 【典例】若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 【跟踪专练1】已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【跟踪专练3】已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 题型14.判别式判断方程根的情况 【典例】方程中，的值为___． 【跟踪专练1】关于x的方程根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有1个实数根 D．有两个不相等的实数根 【跟踪专练2】实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 【跟踪专练3】对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 题型15.由方程根的情况求参数 【典例】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【跟踪专练1】已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【跟踪专练2】若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【跟踪专练3】关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为_______． 题型16.解分式方程 【典例】将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分式方程的解是______． 【跟踪专练3】若，则m的值为____． 解答题 1．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 2．解方程 (1)； (2) ． 3．计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 4．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 5．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 6．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 7．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $