1.1 认识特殊的平行四边形 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学“认识特殊的平行四边形”同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，通过定义辨析、性质应用到动态问题，构建从概念到能力的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|特殊平行四边形定义、对称性、基本性质|填空7直接考查定义与对称性，选择2-5结合图形辨析性质，夯实概念理解| |综合层|性质与判定综合应用、折叠与坐标问题|解答15递进式探究平行四边形到正方形的判定，填空11结合折叠考查矩形性质，培养推理能力| |拔高层|动态几何、实践操作与证明|选择6菱形中动态四边形形状变化，解答17折纸活动探究三等分点，发展空间观念与创新意识|

1.1 认识特殊的平行四边形 班级： 姓名： 一、选择题： 1.小英在复习几种特殊平行四边形的关系时整理如图，处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(    ) A. 处可填 B. 处可填 C. 处可填 D. 处可填 2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 正方形 3.如图，矩形的顶点，，，则点的坐标为(    )   A. B. C. D. 4.如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则顶点的坐标是  (    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 两组对边分别相等的四边形是菱形 B. 两组对角分别相等的四边形是菱形 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 一组对边平行且相等的四边形是菱形 6.（拔高题）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，，则四边形形状的变化依次为(    ) A. 平行四边形矩形正方形菱形 B. 平行四边形矩形平行四边形菱形 C. 平行四边形正方形菱形矩形 D. 平行四边形菱形平行四边形菱形 二、填空题： 7. 特殊的平行四边形 定义 对称性 菱形 有一组邻边          的平行四边形． 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；菱形是轴对称图形，两条          所在直线都是它的对称轴． 矩形 有一个角是          的平行四边形． 矩形是轴对称图形，有          条对称轴． 正方形 有一组邻边          ，并且有一个角是          的平行四边形． 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有          条对称轴． 8.瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是放置的正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合若点的坐标为，则点的坐标可表示为          ． 9.如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下： 要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是          ，依据是：           当          时，四边形是一个矩形依据是：           要想四边形成为一个正方形，需添加条件是          ． 10.如图，正方形的边长为，，分别是对角线上的两点．过点，分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和等于          ． 11.如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点若，，则的面积为          ． 12.如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是，黄色的面积是，绿色的面积是，则正方形盒子的面积为____． 三、解答题： 13.如图，在菱形中，连接，过点作于点若，求的度数． 14.如图，在矩形中，平分交于点，且若，求的长． 15.如图，在中，，，，分别为三边上的点，若，． 证明：四边形为平行四边形． ，满足什么条件时，四边形为菱形 等于多少度时，四边形为矩形 同时满足条件时，四边形是什么特殊的平行四边形 16.（活动实践题）如图，将一个等腰直角三角形纸板剪一刀，得到两个图形把这两个图形拼在一起，能组成正方形如图，在中，借助作图工具可以作出中位线，沿着中位线一刀剪切后，用得到的和四边形可以拼接成平行四边形，剪切线与拼图过程如图所示．依照上述方法，按要求完成下列操作设计，并画出对应图形．在中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼接成           在中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼接成           在中，增加条件且，沿着一刀剪切后可以拼接成          ． 17.（拔高题）如图是课本上的折纸活动． 【重温旧知】上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图、和；有的是为了发现或证明定理，如图和；有的是计算角度，如图；有的是计算长度，如图和． 图中的的形状是          ，图的活动发现了定理“          ”注：填写定理完整的表述，图中的的长是          ． 【新的发现】图中，在第次折后，点落在点处，直接写出点的位置特点． 【换种折法】图中，在第次折后，再次折叠，如图，使点与点重合，折痕为，点落在点处，与交于点说明为的三等分点． 【继续探索】如何折叠正方形纸片得到边的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由． 1.1 认识特殊的平行四边形 参考答案和解析 1. 【解析】选项A，根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形，处可填，故该选项正确，不符合题意 选项B，根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形，处可填，故该选项正确，不符合题意 选项C，根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，处可填，故该选项正确，不符合题意 选项D，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形的对角相等，，由无法判定菱形是正方形，故该选项符合题意故选D． 2. 3. 4. 5. 6. 7.相等 对角线 直角 两 相等 直角 四 8.  9.【小题】答案不唯一 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 【小题】 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 【小题】，答案不唯一 10.  11.  12.  【解析】【分析】本题考查了长方形、正方形的面积计算，平移的应用，解题的关键是正确平移图形，明确平移后露在外面的黄色部分与露在外面的绿色部分面积相等． 先将黄色部分向左平移，露在外面的黄色部分减少的面积为露在外面的绿色部分增加的面积，即可得出平移后露在外面的黄色部分与露在外面的绿色部分面积相等，设大正方形边长为，红色部分边长为，则露在外面的黄色部分和露在外面的绿色部分的长为，宽为，可得，，从而可得，则，即可求出． 【解答】解：如图，将黄色部分向左平移， 黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积， 原来的红黄绿是三块一样大的正方形，整个盒子也为正方形， 平移后，黄色部分与绿色部分面积相等， 平移前，露在外面的黄色的面积是，露在外面的绿色的面积是， 平移后露在外面的黄色部分与露在外面的绿色部分面积为：， 设大正方形边长为，红色部分边长为， 则平移后露在外面的黄色部分和露在外面的绿色部分的长为，宽为， ，， ， ， ，即大正方形面积为． 故答案为． 13.  14.四边形是矩形，， 平分，， 在中，， 是等腰直角三角形，， 由勾股定理得， ，，即的长为． 15.【小题】证明：，，，，四边形为平行四边形． 【小题】四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形． 【小题】四边形为平行四边形，当时，四边形为矩形． 【小题】四边形为平行四边形，满足条件时是菱形，满足条件时是矩形， 同时满足条件时，四边形为正方形． 16.【小题】解：矩形，如图所示 【小题】菱形，如图所示 【小题】正方形，如图所示 17.【小题】等腰三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【小题】点在上，且是的中点． 说明：只写“是的中点”得满分，只写“点在上”得分，只写“”得分 【小题】设，，由题意，得， ，．   为直角三角形，，  ．   解得．   ，，   ．   ∽ ．  解得．   为的三等分点． 【小题】方法一 如图，为的三等分点．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕为，点落在点处，与交于点，则为的五等分点． 理由：设，在中，根据勾股定理，易得易证∽，可得所以是的五等分点． 方法二如图，为的中点．折叠正方形纸片，使得折痕为，点落在点处，再次折叠，使得折痕经过点且点落在边上，则为的五等分点． 理由：设，易证∽，且相似比为，可得，所以是的五等分点． 方法三如图，将正方形纸片对折次并展开后，可得，再次折叠，使得折痕为并且点落在上，落点记为，交于点，则为的五等分点． 理由：易证，所以是的五等分点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $