精品解析：北京市2025-2026学年上学期学业水平测试 九年级 数学 试题

北京市学业水平测试初三年级数学试题 （试卷共7页，100分．考试时长120分钟） 测试时间：2025年12月 第一部分（选择题共16分） 一、选择题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 大运河森林公园位于北京市通州区的北运河两侧，占地面积约为10700亩，公园沿水系长达8公里，分别建有潞河桃柳、月岛闻莺、明镜移舟等六大景区和长虹花雨、半山人家、皇木古渡等十八处景点．将10700用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】将10700用科学记数法表示为： 故选A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解全班同学的视力情况 B. 了解“双减”下七年级学生每天写作业的时长情况 C. 了解“神舟载人飞船”各零部件的质量情况 D. 学校招聘教师对应聘人员的面试 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是普查与抽样调查的适用场景，灵活区分两种调查方式的适用条件是解题的关键．根据普查与抽样调查的特点，结合调查对象的范围、精度要求和可操作性，判断出适合采用抽样调查的选项． 【详解】：了解全班同学的视力情况，调查范围小，适合普查； ：了解“双减”下七年级学生每天写作业的时长情况，调查范围广、人数多，适合抽样调查； ：了解“神舟载人飞船”各零部件的质量情况，事关航天安全，精度要求极高，必须普查； ：学校招聘教师对应聘人员的面试，需要全面考察每位应聘者，适合普查． 故选：． 3. 如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，已知点和直线，过点作垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（ ） A. 的长有限制，的长无限制 B. 的长无限制，的长有限制 C. ，的长均无限制 D. ，的长均有限制 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图作垂线，灵活运用圆与直线的位置关系、两圆相交的条件是解题的关键．根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【详解】1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 故选：． 5. 如图，的半径为2，是的内接三角形，半径于E，当时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据垂径定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6. 如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将绕点C顺时针旋转得到，得，，于是得到结论． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（    ） A. 的值一定是 B. 的值一定不是 C. 越大，的值越接近 D. 随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性； 故选：． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件． 8. 如图，，O是的中点，P是以点O为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接，过P作于点M．设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接PB，易证：∆PAM~∆BAP，可得：，由，，可得：AM=x-y，进而可得到，y关于x的函数解析式，即可得到答案. 【详解】连接PB， ∵P是以点O为圆心，为直径的半圆上的一个动点， ∴∠APB=90°， ∵， ∴∠AMP=∠APB=90°， ∵∠A=∠A， ∴∆PAM~∆BAP， ∴， ∵，， ∴AM=x-y， ∴， ∴（） ， 故选A 【点睛】本题主要考查圆的性质和相似三角形的综合，添加辅助线，构造母子相似三角形，并列出比例式，是解题的关键. 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得：． 10. 在中，如果，，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义得到，再根据勾股定理得到，最后根据的定义进行计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ， 由勾股定理得：， ． 11. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据2017年无害化处理能力（增长率）2019年无害化处理能力建立方程． 【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为， 故答案为：． 12. 如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，，，再利用平行线分线段成比例求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：_______． 【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线． 【解析】 【分析】由抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，此时正好与关于直线对称，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，正好与关于直线对称， ∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到的， 故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式，即可得出，求解可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程有有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次函数根的判别的应用，根据根的情况列出判别式，求解不等式即可． 15. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 16. 已知：在四边形中，，M、N分别是和上的点． 求作：点M、N，使的周长最小． 作法：如图， （1）延长，在的延长线上截取； （2）延长，在的延长线上截取； （3）连接，分别交、于点M、N．则点M、N即为所求作的点． 请回答：这种作法的依据是_____________． 【答案】①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分） ②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）； ③两点之间线段最短 【解析】 【分析】分别作出点A关于，的对称点，，连接分别交、于点M、N，此时周长最小． 【详解】解：作图的依据是：①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）， ②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质），即，； ③两点之间线段最短，即，此时的周长最小，最小值为的长． 【点睛】此题主要是利用轴对称性质求最短路径等知识，利用轴对称性质得出关键点位置是解题的关键． 三、解答题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键． 18. 如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值． 【答案】（1）证明见详解；（2）a的最小值为0． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根； （2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定a的取值范围，即可求出a的最小值． 【详解】（1）证明：依题意得： ， ， ∴ ． ∴方程总有两个实数根； （2）由， 可化为： 得 ， ∵ 方程的两个实数根都是正整数， ∴ ． ∴ ． ∴a的最小值为0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入可求得进而得出再利用待定系数法即可求出． （2）解不等式得出根据题意即可解出． 【小问1详解】 ∵一次函数与函数的图象交于点， ∴把点代入得， 把代入得， 解之得 ∴一次函数为 【小问2详解】 解不等式 ∵时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴的取值范围 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数及一次函数和不等式的关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键． 21. 生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以为圆心为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请你求出路面的宽度．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接OC,由题意知,, 于，根据勾股定理可求出CE的值,即可求出CD的值. 【详解】解：如图，连接OC． 由题意知． ． ． 由题意可知于， . 在中， ． ． 【点睛】本题考查通过建模把实际问题转化为数学模型，这充分体现了数学的实用性． 22. 一个不透明的袋中装有个红球、个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动： 活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为； 活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为． 请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．解决本题的关键是利用画树状图法分别求出和，再根据求出的结果进行比较． 【详解】解：， 活动、画树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次都是红球的有种情况， 两次都是红球的概率为； 活动、画树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次都是红球的有种情况， 两次都是红球的概率为； ， ． 23. 图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据． （1）求y关于x的函数关系式； （2）斜坡上有一棵高1.8米树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树． 【答案】（1），（2）从A喷出的水珠能越过这棵树． 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式， (2)先求出树顶离底面的高度，再求出当x=2时，二次函数的值，进行二者的大小关系，即可得到答案. 【详解】（1）∵，BC=3， ∴AC=6，即：点B坐标是：（6，3）， 把（4，4）（6，3）代入：， 得： ，解得：， ∴二次函数解析式是： （2）树顶离底面高度为：1.8+2×=1.8+2×=2.8， 当x=2，代入，得：=3>2.8， ∴从A喷出的水珠能越过这棵树． 【点睛】本题主要考查二次函数的待定系数法和二次函数的实际应用，求出二次函数的解析式，是解题的关键. 24. 如图，四边形内接于，，是对角线．点E在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）21 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质得到，结合圆周角定理得到，从而得出结论； （2）在和中，分别利用勾股定理求出、的值，再结合（1）中，根据相似三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 、， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 由（1）知， ， ． 25. 如图，是的直径，是上两点，连接，，平分，，交延长线于点． （1）求证：且是的切线； （2）若的半径为，，求的长和的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）；． 【解析】 【分析】（）先利用直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补，证明与相似，得到；再通过等腰三角形性质和角的等量代换，推出，结合是半径，证明是的切线； （）先由半径得，结合三角函数与勾股定理算出；再利用切线性质推得，证明，求出接着通过圆周角相等推出，设，列方程求解进而可得，最后结合同弧所对圆周角相等，求出． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ （两角分别相等的两个三角形相似）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，平分， ∴， ∴； ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径，的半径为， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理： ， ∵是的切线， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设， 解得：， ， ∵，， ∴， 即：． 26. 如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4． （1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积． 【答案】（1） （2）当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，BE=DF=4-x，从而得到，即可求解； （2）把函数关系式化为顶点式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°， ∵CE=CF，CE=x， ∴CF=x， ∴BE=DF=4-x， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标； （2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C． ①当a=2时，求PB+PC的值； ②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）A（－2,0），B(0,0)；（2）①14；②或a≥2. 【解析】 【分析】（1） 将a代入得到方程，解出方程的解即可得； （2） ①将a代入得到方程，解出方程的解，然后得到C的纵坐标即可得； ②先用a表示出PB＋PC，然后得到联立方程组，，即可求得其范围. 【详解】（1） 当a＝﹣1时，有y＝－x2﹣2x 令y＝0，得－x2﹣2x＝0 解得. ∵点A在点B的左侧 ∴A（－2,0），B(0,0). （2） ①当a＝2时，有y＝2x2﹣2x 令y＝0，得2x2﹣2x＝0 解得 ∵点A在点B左侧 ∴A（0,0），B(1,0) ∴PB＝2 当x＝3时，yc＝ ∴PC＝12 ∴PB＋PC＝14. ②∵x＝3时， ∴C(3，9a－6) y＝0时， x(ax－2)＝0 当即a＞0时， PB＝3－ PC＝9a－6 PB＋PC＝3－ ＋9a－6＝9a－ －3 9a－ －3＞14 9a－ 17≥ 令y1＝9a－17,y2＝ 双曲线y2＝与直线y1＝9a－17的交点为M、N，则其坐标为方程组 的解， 9a2－17a－2＝0 (9a＋1)(a－1)＝0 或a＝2 即点N的横坐标为，点M的横坐标为2， ∴9a－ 17≥的解集为：≤a＜0或a≥2 ∴a≥2 当＜0即a＜0时， B(0,0) PB＝3 PC＝－(9a－6)＝6－9a PB＋PC＝3＋6－9a＝9－9a， 9－9a≥14 综上所述, 或a≥2. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题关键是利用二次函数的性质解题. 28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． （1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围； （2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O“二分点”，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）①B、C；②或≤a≤2； （2）≤r≤1或3≤r≤9． 【解析】 【分析】（1）①计算每个点到ON的最大和最小值，可推断出结果； ②分为当最小值是1，和最大值是2两种情形； （2）当AN上的点在圆外和外内两种情形； 【小问1详解】 解：①如图1， ∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0， ∴点A不是ON的二分点， ∵OB=，BN=2， ∴BN=2OB， ∴B点是ON的二分点， ∵CD=1，OC=2， ∴点C是ON的二分点， 故答案是：B、C； ②如图2， 当OC=2是最小值时，最大值是OD=4， ∴， ∴（舍去），， 当最小值是1时，a≥， 最大值是2时， ∵OC=2， ∴a≤2， ∴≤a≤2， 综上所述：a=−或≤a≤2； 【小问2详解】 解：如图3， 当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3）， 假设M是⊙O的二分点， ∴x+r=2（x-r）， ∴x=3r， ∴1≤3r≤3， ∴≤r≤1； 如图4， 点M在⊙O内， ∴x+r=2（r-x）， ∴x=， ∴1≤≤3， ∴3≤r≤9， 综上所述：≤r≤1或3≤r≤9． 【点睛】本题考查了点到线段（上的点）的距离，及点到圆最值问题，解决问题的关键是分为点在圆外和圆内两种情形讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市学业水平测试初三年级数学试题 （试卷共7页，100分．考试时长120分钟） 测试时间：2025年12月 第一部分（选择题共16分） 一、选择题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 大运河森林公园位于北京市通州区的北运河两侧，占地面积约为10700亩，公园沿水系长达8公里，分别建有潞河桃柳、月岛闻莺、明镜移舟等六大景区和长虹花雨、半山人家、皇木古渡等十八处景点．将10700用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解全班同学的视力情况 B. 了解“双减”下七年级学生每天写作业的时长情况 C. 了解“神舟载人飞船”各零部件的质量情况 D. 学校招聘教师对应聘人员的面试 3. 如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（ ） A. 的长有限制，的长无限制 B. 的长无限制，的长有限制 C. ，的长均无限制 D. ，的长均有限制 5. 如图，半径为2，是的内接三角形，半径于E，当时，的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（    ） A. 的值一定是 B. 的值一定不是 C. 越大，的值越接近 D. 随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性 8. 如图，，O是的中点，P是以点O为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接，过P作于点M．设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 已知反比例函数图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 10. 在中，如果，，那么的值是______． 11. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为_________ 12. 如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：_______． 14. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______． 15. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 16. 已知：在四边形中，，M、N分别是和上的点． 求作：点M、N，使的周长最小． 作法：如图， （1）延长，在的延长线上截取； （2）延长，在的延长线上截取； （3）连接，分别交、于点M、N．则点M、N即为所求作的点． 请回答：这种作法的依据是_____________． 三、解答题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17 计算：． 18. 如图，相交于的点，且．求证： ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 21. 生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以为圆心为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请你求出路面的宽度．（用含的式子表示） 22. 一个不透明袋中装有个红球、个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动： 活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为； 活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为． 请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想． 23. 图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据． （1）求y关于x的函数关系式； （2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树． 24. 如图，四边形内接于，，是对角线．点E在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，是的直径，是上两点，连接，，平分，，交延长线于点． （1）求证：且是的切线； （2）若的半径为，，求的长和的值． 26. 如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4． （1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积． 27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标； （2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C． ①当a=2时，求PB+PC的值； ②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围． 28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． （1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD“二分点”，求a的取值范围； （2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $