第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元卷，覆盖基本不等式、不等式性质等核心知识点，通过基础题与实际应用题结合，培养运算能力、推理意识及应用意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|基本不等式求最值（1题）、充分必要条件（3题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多项选择|3/18|不等式性质（9题）、刹车距离应用（11题）|能力区分，结合情境分析| |填空|3/15|一元二次不等式解集（12题）、最值计算（13题）|简洁检测，强化运算| |解答|5/77|基本不等式综合应用（17题）、命题与参数范围（18题）、仓储费用优化（19题）|分层提升，突出数学建模与逻辑推理|

第二章 《一元二次函数、方程和不等式》单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 2．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．不等式的解集是___________． 13．若，则的最大值是______． 14．已知，且，则的最大值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 17．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 18．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 19．现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 一元二次函数、方程和不等式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B A A B BD AD 题号 11 答案 BC 1．C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 2．A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 3．A 【知识点】由不等式的性质证明不等式、判断命题的充分不必要条件 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 4．C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 5．B 【知识点】基本不等式求和的最小值、判断命题的必要不充分条件 【分析】分别通过基本不等式判断必要性、举反例判断充分性，即可确定两个条件的逻辑关系 【详解】设条件，条件。 已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立）， 若，则，即成立，故必要性成立； 取，满足，且，但， 即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 6．A 【知识点】等式的性质与方程的解集 【详解】本题可以用十字相乘法因式分解，也可展开选项验证： 方法一：十字相乘法因式分解 二次三项式可以使用十字相乘法如下拆分 满足一次项系数要求：， 故因式分解结果为： 方法二：对选项逐个展开验证即可. 7．A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 8．B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 9．BD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的真假、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据不等式性质及分式不等式求法逐项判断. 【详解】对于A：若，不等式两边同时乘以， 得，即，A错误； 对于B：若，则，即， 等价于，解得，B正确； 对于C：若，则，当时恒成立， 当时，得，C错误； 对于D：若，则，不等式两边同时乘以， 得，即，D正确. 10．AD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 11．BC 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 12． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 13． 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 14．5 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 15．(1) (2) 【知识点】利用不等式求值或取值范围、作差法比较代数式的大小 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 16．(1)； (2). 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 17．（1）14；（2）（i）（ii）4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 18．(1) (2)或． 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． （2）若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 19．(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $