2.2 平方根与立方根（六大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦平方根与立方根，以6类递进题型构建从概念计算到实际应用的完整训练体系，注重运算能力与几何直观的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求算术平方根|3题|直接考查定义与计算|概念基础，构建数感| |非负性应用|3题|结合方程与几何综合|性质延伸，培养推理意识| |估算取值范围|3题|确定无理数区间|数系拓展，发展抽象能力| |整数部分计算|3题|分离无理数整数与小数部分|深化理解，提升运算能力| |规律探索|3题|代数式与数表规律归纳|模型意识，激发创新思维| |实际应用|3题|结合面积与数轴表示|几何直观，强化应用意识|

2.2 平方根与立方根 题型一 求一个数的算术平方根 1．的值是（     ） A． B．4 C． D．256 【答案】B 【详解】解：∵表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，又， ∴. 2．计算：________． 【答案】2 【详解】解： 3．已知正数的两个不同平方根分别是和的算术平方根是1． (1)求和的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ， 的算术平方根是1， ， ； （2）解：，而64的立方根是4， 的立方根为4． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 4．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 5．已知，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 6．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】（1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 题型三 估算算术平方根的取值范围 7．若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 8．若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 9．已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用立方根、算术平方根的定义求出a和b的值，再通过估算无理数的大小得到它的整数部分c； （2）将的值代入求出，再根据平方根的定义计算结果即可． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是 ， 解方程，得 将代入，得， 解得 的整数部分； （2）解：将，，代入得 的平方根是． 题型四 无理数整数部分的有关计算 10．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 11．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ∴，， 的整数部分，的整数部分， 则． 12．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算得，，则，计算的算术平方根即可； （2）根据题意计算得，则，计算的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的立方根为， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 14．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 15．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 题型六 算术平方根的实际应用 16．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 17．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 18．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 平方根与立方根 题型一 求一个数的算术平方根 1．的值是（     ） A． B．4 C． D．256 2．计算：________． 3．已知正数的两个不同平方根分别是和的算术平方根是1． (1)求和的值； (2)求的立方根． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 4．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 5．已知，且，则的值为_________． 6．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 题型三 估算算术平方根的取值范围 7．若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．若，其中n为正整数，则_______． 9．已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型四 无理数整数部分的有关计算 10．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 11．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 12．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的立方根． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 14．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 15．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 题型六 算术平方根的实际应用 16．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 17．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 18．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 1 学科网（北京）股份有限公司 $