广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高一期末质量检测数学试卷

广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高一期末质量检测数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（ ） A. B. C. D. 4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则该三角形一定是（ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 5．已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（ ） A. B.2 C. D. 6．已知向量，且，则的最大值为（ ） A.7 B.8 C. D. 7．若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为（ ） A. B.2 C. D.6 8．已知在直角梯形ABCD中，，若将梯形ABCD绕CD所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是（ ） A.该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B.男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C.样本的平均数为165 D.根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 10．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A.的一个周期是 B.在上单调递增 C.的最大值为 D.方程在上有7个解 11．已知正方体的棱长为3，点是线段AB上靠近点的三等分点，是中点，则（ ） A.直线EF与CD所成角的正切值为 B.三棱柱外接球的半径为 C.平面截正方体所得截面为等腰梯形 D.点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，10，13，14，16，17，25，则这8个数据的上四分位数是___________． 13．已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则___________． 14．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，复数在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当A、B、C三点共线时，求实数的值． 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，且的面积为，求CD的长度． 17．（15分）如图1，在矩形ABCD中，是线段AD上的一动点，如图2，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面BCDM． （1）如图2，当时，点是线段PC的中点，求证：平面PBM； （2）如图2，若点在平面BCDM内的射影落在线段BC上． ①是否存在点，使得平面PCM，若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面PCD的距离． 18．（17分）已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 19．（17分）在某密码通信系统中，字母只通过符号“”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为．假设，已知字母的密码为“”，字母的密码为“”． （1）若．求字母正确接收的概率； （2）若，在字母接收的3个符号中，记“收到的个数为1”，“收到的个数为2”，试比较和的大小． 2025-2026学年第二学期高一期末质量检测 数学参考答案 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B D C D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）， ，当且仅当时取等号， 故的取值范围为． （2）由题意知， 当A、B、C三点共线时，直线AC，BC斜率相等， ，，则，则，解得． 16．（1）由及正弦定理，得， 因为，且，所以，即， 因为，所以． （2）由的面积为，得，所以①， 又，所以，故， 由正弦定理，得②， 由①②可得， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得，所以． 17．（1）取PB的中点，连接MF、NF， 因为点是线段PC的中点，所以且， 又因为且， 所以且，所以FNDM为平行四边形， 所以，又平面平面PBM， 所以平面PBM． （2）①存在点，当点与点重合，即时平面PCM； 理由如下： 当点与点重合，则，又平面平面BCD，所以， 又平面PBC， 所以平面PBC， 又平面PMC， 所以平面PMC， 所以当点与点重合，即时平面PCM； ②在矩形ABCD中作，垂足为点，延长AO交BC于点，折起后可知， 设，则， 由，所以，即，则， 所以， 要使得点的射影落在线段BC上，则，即又，解得， 在Rt中， 所以， 当且仅当，即时， 所以当时，即是BC的中点， 所以点到平面PCD的距离是点到平面PCD的距离的一半， 又由①知，当时点与点重合时平面PCM， 所以点到平面PCD的距离为． 18．（1）因为为锐角，所以， 因为为锐角，所以，. （2）因为为锐角，，所以，又，，所以． 19．（1）字母的密码为“⊙”，一共接收2个符号，2个都正确， 则字母正确接收，所以字母正确接收的概率为； （2）， 若字母接收的3个符号中，收到“”的个数为1，可分3种情况：传输为“”或“”或“”， 所以， 同理，若字母接收的3个符号中，收到“”的个数为2，可分3种情况：传输为“”或“”或“”， 所以，当时，， 所以，当时，， 所以，所以， 若，则； 若，则； 若，则． 学科网（北京）股份有限公司 $