精品解析：广东深圳市西浦教育集团外国语高中2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试题

西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期 高一年级期末考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把化成角度制是（ ） A. 75° B. 60° C. 90° D. 105° 【答案】A 【解析】 【分析】借助弧度与角度的关系计算即可得. 【详解】化成角度制是． 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解集合，利用交集的运算求解. 【详解】，， ，. 故选：A. 3. 某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（ ） A. 33家 B. 20家 C. 5家 D. 10家 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为， 所以应抽取大型商铺（家）. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求出复数，再利用复数的模的公式即可求解. 【详解】，， . 故选：A. 5. 已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 6. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则m平行于平面内的任意一条直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的性质即可判断；对于B，由答案不完备即可判断；对于C，由线面垂直的性质即可判断；对于D，直接证明即可. 【详解】对于A，若，则m平行于平面内的无数条平行直线，但不是任意一条直线，故A错误； 对于B，若，，则平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，，则，故C错误； 对于D，若，，则若，又，则. 故选：D. 7. 已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 8. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形求得，结合斜二测画法还原原图形，最后利用公式计算. 【详解】作 ，如图，，所以， 则几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为4，如图： 所以该几何体的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中计算结果等于1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由同角三角函数关系得到答案；B选项，利用特殊角的三角函数值直接计算；CD选项，利用对数运算公式和换底公式计算即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：ACD 10. 已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件判断A；比较大小判断B；利用事件关系判断C；利用概率的基本性质判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，由，得，而， 因此，D错误. 故选：BC 11. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，结合向量数量积、向量共线、向量模长的计算公式逐项计算判断即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为， 所以，即． 对于A，若，则，所以，， 所以，故A错误； 对于B，当时，，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又点在线段上，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，又，所以，即， 设， 所以，其中为锐角且， 所以当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 13. 已知，则__________. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】对所求表达式分子分母同时除以，化为的形式，由此求得所求表达式的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为单位向量，向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再根据数量积求即可； （2）可得，计算与的数量积及模长，再利用向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 ，，解得， . 【小问2详解】 ， ，， ， ， ， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. （1）估计此批棉花纤维长度的众数； （2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） （3）估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 【答案】（1） （2）下四分位数约为，中位数约为 （3） 【解析】 【分析】（1）由众数的定义即可求解； （2）由百分位数、中位数的定义即可求解； （3）由平均数的定义即可求解. 【小问1详解】 由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为； 【小问2详解】 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为， 因为前三组的频率之和，前四组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为； 【小问3详解】 估计此批棉花纤维长度的平均数为 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点， （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：若是的中点，连接，又、分别为棱的中点， 根据中位线的性质知，， 由平面，平面，则平面，同理平面， 由都在平面内，故平面平面， 又平面，所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）若是的中点，连接，根据已知易得，再由线面、面面平行的判定证明平面平面，最后由面面平行的性质证明结论； （2）利用线面、面面垂直的判定证明平面平面，即得在平面上的投影在直线上，进而确定线面角的平面角，即可求其正弦值； （3）应用等体积法求点面距离即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题设，易知为等腰直角三角形，且，则， 由题设，易知四边形为直角梯形，且，，则， 综上，，则， 由平面，平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面，而平面，且平面平面， 所以在平面上的投影在直线上，故与平面所成角为或其补角， 在中，则，故， 所以与平面所在角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）平面，平面，则，故， 由， 若点到平面的距离为，则，可得. 18. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若； （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，利用同角三角函数的关系式求解. （2）（i）（ii）由（1）的结论，利用余弦定理，借助基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 即， 整理得，而，则， 于是，整理得， 即，而，解得， 所以. 【小问2详解】 （i）由余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，而， 则，所以， 所以周长的取值范围是. （ii）由（i）知，当且仅当时取等号， 所以， 因此， 所以面积的最大值为. 19. 设函数． （1）当时， （i）求的定义域； （ii）解不等式； （2）若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据对数的运算性质，结合分式的性质进行求解即可；（ii）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解； （2）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【小问1详解】 （i）当时，， 于是有， 所以函数的定义域为； （ii）由题意，知， 由或， 由，所以， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 ，即， 因为在上是增函数，在上是减函数， 所以函数在上是增函数， 所以时，； 时，， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期 高一年级期末考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把化成角度制是（ ） A. 75° B. 60° C. 90° D. 105° 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（ ） A. 33家 B. 20家 C. 5家 D. 10家 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 4 5. 已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则m平行于平面内的任意一条直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中计算结果等于1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________． 13. 已知，则__________. 14. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为单位向量，向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角的余弦值． 16. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. （1）估计此批棉花纤维长度的众数； （2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） （3）估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 17. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点， （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若； （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 19. 设函数． （1）当时， （i）求的定义域； （ii）解不等式； （2）若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $