广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高一期末质量检测数学试卷

**基本信息** 高一期末数学试卷覆盖复数、立体几何等核心知识，通过基础题（如复数运算）、综合题（立体几何折叠）及创新情境题（密码通信概率），考查空间观念、推理能力与数据观念，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、立体几何、概率|基础巩固，如复数几何意义| |多选|3/18|统计、三角函数|能力区分，如分层抽样方差计算| |填空|3/15|统计、立体几何|空间观念，如正四面体外接球| |解答|5/77|复数、解三角形、立体几何折叠、概率应用|创新应用，如密码通信概率模型，考查推理与运算能力|

2025-2026学年第二学期高一期末质量检测 数学参考答案 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B 0 d D 马 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.16.5月 13.9 14.9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（1)zt-1+1+(1-g9）iaa2i2, +a(月a+是Ba 2,当且仅当d=2时取等号， 故|z1+z2的取值范围为[2，+0) (2)由题意知A(c-1,1),B(（1,-),C(-1,0),a0, 当A、B、C三点共线时，直线AC,BC斜率相等， e台c号-尝则-a0,则2a2,解得红4. l6.（1)由acosC+V3sinC=b+c及正弦定理，得sinAcosC+V3 sinAsinC=sinB+sinC, 因为sinB=sin(4+C)=-sinAcosC+cos4sinC,且sinC￥0，所以V3sin4=cosA+l,即sin(4-)=号， 因为0KAKπ，所以A-胃 数学参考答案第1页共3页 (2)由△4ABC的面积为20W3,得besin4-bc×5=20W3,所以bc-80O, 又cosB-片所以sinB-得、故sinC=in(A+B)=sin4cosB+cos4sinB-9x兰+片×5-45 14 2142147 由正弦定理，得a:b:c=sin4:sinB:sinC-=7:5:8②， 由①②可得=7V2,b=5V2,c=8V2, 因为BD=3DA,所以AD-2V2, 在△4CD中，由余弦定理，得CD2=(5V°+(2W)-2×5V2×2W2cos38,所以CD=√38. 17.（1)取PB的中点F,连接MF、NF, 因为点N是线段PC的中点，所以FNIIBC且N=BC, 又因为BC-2MD且BCIlMD, 所以FNIIMD且N=MD,所以FNDM为平行四边形， 所以FMIDN,又DWt平面PBM,FMC平面PBM, B 所以DW/平面PBM (2)①存在点M当点M与点D重合，即PMFV2时BP⊥平面PCM 理由如下： 当点M与点D重合，则MC⊥BC,又PE⊥平面BCD,MCC平面BCD,所以PE⊥MC, 又PEOBC=E,PE,BCC平面PBC, 所以MC⊥平面PBC, D(M 又PB⊥PM,PM∩MC=M,PM,MCC平面PMC, 所以BP⊥平面PMC, 所以当点M与点D重合，即PE√2时BP⊥平面PCM E ②在矩形ABCD中作AO⊥BM,垂足为点O,延长AO交BC于点E,折起后可知PO⊥BM, 设AEPM(0K≤V②，则BMV+r,AO-4B4- BM√1+元 由△ABk△BR,所以品语即：-华则Bg 所以OB=4AB-40-+点点 要使得点P的射影落在线段aC上.则A0>OB,即广又0，解得1KVD, 在Rt△PBE中PE=1-京 数学参考答案第2页共3页 所以WgPa=r-3aFS△BM PE=-×xx1X1-月 0÷ (M) 当且仅当1-=，即xV2时(Wg-Paaa 所以当2时PE厂9BE=8C5即B是5C的中点， 所以点E到平面PCD的距离是点B到平面PCD的距离的一半， 又由①知，当PM仁√2时点M与点D重合时BPL平面PCM, 所以点E到平面PCD的距离为PB= 18.（1)因为a为锐，角所以0a营sna-cosa-VI-sind- 10 因为B为锐角，所以0K2B<,cos2f=},sin26=√T-cos22F-年， sin(a-28)-sinacos2B-cosasin2 50 (2)因为f为锐角，cos20=1-2sinB=所以sin-5,又sin26=2sim0cosf-g,cos6=5, cosa+0=o-×25-e9=90ca+Bs,所以a+f=月 10 、5105 19.(1)字母A的密码为⊙@”，一共接收2个符号，2个都正确， 则字母A正确接收，所以字母A正确接收的概率为p0.6×0.8-0.48: (2)r-maxil-p.1-i-pp<g (-gpzg 若字母G接收的3个符号中，收到⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为⊙⑧⑧”或⑧⊙⑧” 或⑧⑧⊙”， 所以P(B)=(1-q)(1-r)(1-p)+q(1-q)+qp=pq(1-r）+pg+pp-pqrpq2， 同理，若字母G接收的3个符号中，收到⊙”的个数为2，可分3种情况：传输为“⊙⊙⑧” 或“⊙8⊙”或g⊙⊙”， 所以P(C)=(1-q)r·+(1-q0(1-r)p+q(1-q)(1-r),当p2q时，=1-p, 所以P(C)=p3+p2+qppD2+pq+q)=ppp叶q)+q]=pp+),当p~q时，r=1-pq, 所以P(C)-qp+p3+p2Fp2+pq+q)=pp+q),所以P(B)P(C)=pqp2(p), 若p,则P(B)=P(C): 若p>q,则P(B)<P(C): 若p<q,则P(B)>P(C) 数学参考答案第3页共3页20252026学年第二学期高一期末质量检测 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数=满足=(3-41)=(12-5i),则非=（) A音 B.号 c.号 p.号 2.己知m,n为两条不同的直线，α，阝为两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若mlla,nlB,olB,则mllm B.若mlla,mβ，anB=n,则mlln C.若lla,nlB,则oB D.若mlln,nCo,则ma 3.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超 过8的概率为() A B. c. D. 4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若2ac0子号=a+c,则该三角形一定是 () A.正三角形 B,直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 5.已知函数)=2sn(o到+1(w>0),若存在互不相同的，3∈0，可，使得)+)=2， 则o的最小值是() A日 B.2 C. D.￥ 6.已知向量，且二(2,2.匠=4，则问的最大值为（) A.7 B.8 C.2V2+4 D.√10+5 高一数学试卷第1页共4页 7.若样本数据0,3,4，a,7的平均数为4，则其方差为() A.V万 B.2 C.6 D.6 8.己知在直角梯形ABCD中，ADIIBC,AB⊥AD,AB=AD=2,∠BCD=45°，若将梯形ABCD绕 CD所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为( A.25a B. 3 C.l32 D.l42 3 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采 用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身 高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是() A.该校每一名高一学生被抽到的概率为01 B.男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C.样本的平均数为165 D.根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 10.已知函数x)=coss1n,则下列结论正确的有( A.)的一个周期是2元 B.)在[昏上单调递增 C.x)的最大值为2瓦 D.方程x)1=0在2π2上有7个解 11.己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，F 是A1D中点，则() A.直线F与CD所成角的正切值为39 B.三棱柱ABCA18C外接球的半径为9 C.平面B1EF截正方体所得截面为等腰梯形 D.点F到平面4BC的距离为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6,9,10,13,14,16,17,25，则 这8个数据的上四分位数是 13.己知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为S,其内切球表面积为S2, 则S:S= 14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，点A到平面A1BD的距离为 高一数学试卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知a∈R,复数1=1+i,=1-2,3=1在复平面上对应的点分别为 A、B、C,O为坐标原点. (1)求51+2的取值范围： (2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值. 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC4V3 asinc-计c (1)求A的值： (Q)若B元-3D,coB共且△ABC的面积为20V5,求cD的长度 17.(15分)如图1，在矩形ABCD中，AB=1,BCV2,M是线段AD上的一动点，如图2， 将△ABM沿着BM折起，使点A到达点P的位置，满足点P平面BCDM. D E 图1 图2 (1)如图2，当BC二2MD时，点N是线段PC的中点，求证：DWW平面PBM: (2)如图2，若点P在平面BCDM内的射影E落在线段BC上. ①是否存在点M,使得BP⊥平面PCMM,若存在，求PM的长：若不存在，请说明理由： ②当三棱锥E-PBM的体积最大值时，求点E到平面PCD的距离. 高一数学试卷第3页共4页 18.(17分)已知锐角aB满足ana=侣，c0s2上号 (1)求sin(a-2β)的值： (2)求a+B的值 19.（17分)在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“⑧”传输，每个符号（⊙或©） 的传输可能出错，传输结果相互独立.系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一 位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p,错误接收的概率为1-p:当发送“©” 时，正确接收的概率为q,错误接收的概率为1-q.模式2：若前一位传输错误，则当前位 错误概率变为，=max{1-2,1-q}.假设p,g,r∈(0,1)，已知字母A的密码为“⊙8”，字母G 的密码为“。⑧⊙”. (1)若p=0.6,q=0.8.求字母A正确接收的概率： (2)若+qF1,在字母G接收的3个符号中，记B=“收到⊙的个数为1”，C-“收到⊙的个数为 2”,试比较P(B)和P(C)的大小. 高一数学试卷第4页共4页2025-2026学年第二学期高一期末质量检测 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数满足，则（     ） 高一数学试卷 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若m//α，n//β，α//β，则m//n B．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n C．若n//α，n//β，则α//β D．若m//n，n⊂α，则m//α 3．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（     ） A． B． C． D． 4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（     ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（     ） A． B．2 C． D． 6．已知向量，且，则的最大值为（     ） A．7 B．8 C． D． 7．若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为（     ） A． B． C． D． 8．已知在直角梯形中，，若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是（     ） A．该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B．男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C．样本的平均数为165 D．根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 10．已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．的一个周期是 B．在上单调递增 C．的最大值为 D．方程在上有个解 11．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（     ） A．直线与所成角的正切值为 B．三棱柱外接球的半径为 C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．点到平面的距离为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 13．已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则_____． 14．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 16．（15分）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，，且的面积为，求的长度. 17．（15分）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面． (1)如图2，当时，点是线段的中点，求证：平面； (2)如图2，若点在平面内的射影落在线段上． ①是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离． 18．（17分）已知锐角满足. (1)求的值； (2)求的值. 19．（17分）在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“ ⊙”． (1)若，．求字母A正确接收的概率； (2)若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小． 高一数学试卷 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $