2.1 认识实数（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本练习以“认识实数”为核心，通过A、B、C组及拓展分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|无理数认识、估算、实数与数轴、大小比较|单选/填空/解答题结合，强化抽象能力与运算能力| |B组|数轴表示无理数、综合比较大小|情境题与作图题，发展几何直观与推理意识| |C组|规律探究、几何代数综合|探究性问题，培养创新意识| |拓展|中考题型|真题对接，提升应用意识|

可学科网·上好课 www zxxk.com 分层作业 2.1认识实数 A组 巩固过关 颗型01 认识无理数 一、单选题 1.D2.C3.B 二、填空题 4② (答案不唯一)5.2 三、解答题 6.(1)解：如图，线段AB为所作的线段. 图① 理由如下： AB=V22+42=2√5 (2)解：如图，△ABC即为所作的三角形. 图② 理由如下： 试卷第1页，共3页 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com AC=+-.BC=3=34B=25 AC2+BC2=(2)+(32=20,AB2=(25=20, 即AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC为直角三角形，且三边长均为无理数. 颗型02 无理数的估算 一、单选题 1.B2.C 3.C 二、填空题 4.45. > 三、解答题 6(解：5<V5 2>-V5 （2)5>1.7,2>14 3-V2<1.6 3>3-V2 )人-=15-14H=060 W5>34 35; (4)（-7-(-2.45)}=7-6.0025=0.9975>0 V7<-2.45 7.（1解，4<5<5，即2<5c3 试卷第2页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com :-3<-5<-2 ~9<io<Vi6.n3<0<4 ”,即 5和 -2,-1,0,1,2,3 之间的整数有 2)V56<47<V49 :6<47<7 小于47 ,2,3,4,5,6 的正整数有 3).i<5<4.<5<2 :-2<-V2<-1 i<5<4即K5<2 ∴满足V5sxsV5 -1,0,1 的x的整数值有： (4V4=2,=3 大于2且小于3的一个无理数为： 5(容案不唯一）· 8.解：设长方形的长是3x,宽是x,则 (3x+x2-(440, 解得x=V44(负值舍去)， :56<V4<V4 ∴.6<44<7， .V43.56<V44<√44.22 ,6.6<V44<6.65 试卷第3页，共3页 上好每一堂课 丽学科网·上好课 www.zxxk.com .x≈6.6,3x≈19.8 答：这个长方形的宽是6.6米，长是198米. 颗型03 实数与数轴 一、单选题 1.B2.A3.B 二、填空题 43 三、解答题 5.(1)解：，点A表示的数是2， .OA=2, ,AB=1,AB⊥OA」 OB=VO+AB2=2+=5 ,以点O为圆心，以OB为半径画弧，与数轴正半轴交于点C, OC=OB=5 ∴点C表示的数为5 (2)解：OA=3,AB=1,AB⊥OA, OB=VO+AB2=3+=10 点P即为所求。 6.(1)解：00'=2π×1=2π (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, AB=VAC2+BC2=22+=5 (3)解：如图，正方形ABCD即为所求， 试卷第4页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 图3 (4)解：如图，连接AC 图4 根据勾股定理可得AC2=BC2=1P+32=10 AC+BC2=B .△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=45° 题型04 实数的大小比较 一、单选题 1.C2.D 二、填空题 5-2 3. -V7 > 4 三、解答题 √5-1-1=5-2 5.(1)解： 4<5<5 2x5<3 www zxxk.com AB2=22+42=20, > 试卷第5页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :5-20 5-1>1 (2)解： V17+1-7=V17-6 i6<i7<25 :4<7<5 .17-6<0 7+1<7 6.(1)解：根据前4个式子可得： N35-6=V35-36=36-35=6-v35 这是第35个等式. (2②)解：由前4个等式可得第u个等式为Nn-n+可=n+1-n 24-11-24-1_424-5-4-25<0 (3)解：.4 444 4 24-1<1 .4 B组 能力进阶 一、单选题 1.A2.B3.C4.D5.D6.B7.D8.C 二、填空题 9.2310.411.912.2506 三、解答题 13.(1)解：AB=V42+F=7 试卷第6页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com (2)略 AC,AC2 (3)解：如图，连接 :5.慨=3x4-)x1x3-x1×4-×2x3=12-3-2-3=1 2 2 2 2: m=2x411-×2x3x4=8}3-2 2 2 2 2 14.(解：V4<V57<6 7<V57<8 : 的整数部分是？：小数部分是V57-7。 (2)解：9<i<6 :3<i<4 11-3 的小数部分为： 4<7<vg :2s7<3 :今 的整数部分为：2， .la-b+而 =1-3-2+而 =5-√11+V11 试卷第7页，共3页 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5. (3)解：V4<5<Vg :2<6<3 :3<-5<-2 :9-3<9-5<-2+9 6<9-5<7 整理得： 9-5=+”其中是整数，且0 20<y<1 .x=6, :y=9-5-6=3-5 :x-y=6-(3-5)=3+V5 x-J .的相反数为： -3-V5 15.(1)解：4个小正方形的总面积是4×1×1=4，阴影正方形的面积等于4个小正方形面积的一半， 回5mx4=2 根据勾股定理，正方形边长D=VP+P=V反 以原点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点E,因此点E表示的数为V2: (2)解：以原点为圆心，正方形ABCD的边长为√2为半径画弧，交数轴负半轴于点F,即可得到答案： -6-5-4-3-21D0123456 (3)解：由题意可得： EF=√2-(-√2)=2√2 试卷第8页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com :EF=EG,数轴正半轴上的点G表示的数为m, ..EG=m-2=22 .m=2W2+√2=3√2 C组 思维拔高 一、单选题 1.C 二、填空题 2.75或5 三、解答题 3.（1)V5≈2.236.V10≈3.162.2.236+1>3.162 :.V5+1>V10 故答案为：>， (2)∠C=90°，BC=3,BD=AC=1, ∴CD=2AD2=AC2+CD2=22+12=5AB2=AC2+BC2=12+32=10 .AD=V5AB=√1O :AD+BD=5+1 两点之间，线段最短， :AD+BD>AB :V5+1>1o 4解：(1)由定义可得，7=2.5-=2 5-√7}=3-√7 试卷第9页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2,3-V7 (2) [x]=1 <2,即0<<4 整数x的值为1、2、3. 故答案为：1、2、3. ()=0,即风=-1=0 六可设历= ,且是自然数， .Yo 是符合条件的所有数中的最大数， y6=256 ∴片=[V%]=[16]=16 2=[V%]=[4]=4 ⅓=[Vy2]=[2]=2 y4=[Vy]=[V2]=1 即n=4, 故答案为：256,4. 5.(1)解：由勾股定理得： m=V2+P=5,如图，M点表示的数为5 M -5-4-3-2-10125345 (2)由图可知，点B,B到1的距离为V2, 点B表示的数 为+5，点8表示的数为：1万 试卷第10页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V2+11-√2 故答案为： (3点4表示05，点B表示3+5，表示数05和3+5的点如图所示： B 药432901205-3+5 ④由(1)，得=-3+5b=5-V2 原式=3-5-0.5-2+5-V2 5-432-N0 231 试卷第11页，共3页 分层作业 2.1 认识实数 目 录 A组 巩固过关 题型01 认识无理数 题型02无理数的估算 题型03 实数与数轴 题型04 实数的大小比较 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 认识无理数题型01 一、单选题 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 3．在，，，，中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 5．在，，，，，中，无理数有________个． 三、解答题 6．在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 无理数的估算题型02 一、单选题 1．下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 3．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知（为整数），则的值是__________． 5．比较大小：______．______． 三、解答题 6．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 7．分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 8．一个长方形的长是宽的3倍，它的对角线长为米，求这个长方形的宽．（结果精确到0.1米，并写出估算过程） 实数与数轴题型03 一、单选题 1．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，为数轴原点，点表示的数为，过点作数轴的垂线，在垂线上取点，使得，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为________． 三、解答题 5．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图中认识一下无理数. (1)如图1，半径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是______. (2)如图2，在中，，，，根据勾股定理可以求得______. (3)你能在5×6的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），以格点为顶点画一个面积为5的正方形吗？如果能，请在图中表示出来. (4)如图4，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数. 实数的大小比较题型04 一、单选题 1．计算（     ） A． B． C． D． 2．在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．的相反数是_________，的绝对值等于_________，比较大小： _________． 4．比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 三、解答题 5．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 6．观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 一、单选题 1．下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 2．如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 3．数轴上表示数1和的点分别为A和B，若A为的中点，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 5．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 7．如图，有一边重合的两直角三角形放在数轴上，点表示数，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 10．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 11．如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 12．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 三、解答题 13．如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 14．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 15．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 一、单选题 1．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 二、填空题 2．已知数轴上，两点，且这两点间的距离为，若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______． 三、解答题 3．阅读材料，并解答问题： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． (1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“” (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小． 4．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 5．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 认识实数 目 录 A组 巩固过关 题型01 认识无理数 题型02无理数的估算 题型03 实数与数轴 题型04 实数的大小比较 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 认识无理数题型01 一、单选题 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 、是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意； 、是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 2．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 【答案】C 【分析】有限小数和无限循环小数都是有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可判定选项． 【详解】解：∵是分数，属于有理数； 3.1415926是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 3．在，，，，中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简可开方的二次根式，再根据无理数的定义判断，数出无理数个数即可． 【详解】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数）逐个判断： 是开方开不尽的数，是无理数； 是整数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 无理数共有个． 二、填空题 4．若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先计算和的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数. 【详解】解：，， ，， 是无理数，且，即， 的值可以是（答案不唯一）. 5．在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 三、解答题 6．在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段为所作的线段． 理由如下： ． （2）解：如图，即为所作的三角形． 理由如下： ∵， ∴， 即， ∴为直角三角形，且三边长均为无理数． 无理数的估算题型02 一、单选题 1．下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过比较平方数确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 因此下列整数中与最接近的是． 2．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可解答． 【详解】解：由数轴得：， A．，点A表示的数大于，故该选项说法错误，不符合题意； B．，点B表示的数在0和1之间，故该选项说法错误，不符合题意； C．，点C表示的数在2和3之间，故该选项说法正确，符合题意； D．，点D表示的数在3和4之间，故该选项说法错误，不符合题意． 3．已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 二、填空题 4．已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 5．比较大小：______．______． 【答案】 【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可． 【详解】解：①，，， ∴． ， ∴， ∴． 三、解答题 6．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】题目主要考查无理数的大小估算，实数的大小比较，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据实数的大小比较方法即可求解； （2）根据题意得，，即可求解； （3）先平方，再利用作差法比较即可； （4）先平方，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 7．分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【分析】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法得出，，即可求解； （2）根据无理数得估算得出，即可求解； （3）根据无理数得估算得出，，即可求解； （4）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； ∵，即， ∴和之间的整数有； （2）∵， ∴， ∴小于的正整数有； （3）∵，即， ∴； ∵，即， ∴满足的x的整数值有：； （4）∵， ∴大于2且小于3的一个无理数为：（答案不唯一）． 8．一个长方形的长是宽的3倍，它的对角线长为米，求这个长方形的宽．（结果精确到0.1米，并写出估算过程） 【答案】这个长方形的长是6.6米，宽是19.8米 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，由对角线长为，根据勾股定理得到方程是解题的关键． 可设长方形的长是，宽是x，由对角线长为，根据勾股定理可得方程，解方程求出x的值，然后估算即可． 【详解】解：设长方形的长是，宽是x，则 ， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：这个长方形的宽是6.6米，长是19.8米． 实数与数轴题型03 一、单选题 1．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根可得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数为，且点在点右侧， 点表示的数为， 点 表示的数的 相反数为 ． 2．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 3．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴点C表示的数是． 二、填空题 4．如图，为数轴原点，点表示的数为，过点作数轴的垂线，在垂线上取点，使得，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的坐标确定直角边的长，利用勾股定理求出斜边的长，再根据圆的半径相等确定的长，从而得出点表示的数． 【详解】解：点表示的数为， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 以原点为圆心，为半径作弧， ， 点在数轴的正半轴上， 点表示的数为． 三、解答题 5．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图中认识一下无理数. (1)如图1，半径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是______. (2)如图2，在中，，，，根据勾股定理可以求得______. (3)你能在5×6的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），以格点为顶点画一个面积为5的正方形吗？如果能，请在图中表示出来. (4)如图4，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数. 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）由的长度就等于圆的周长，即可求解； （2）直接运用勾股定理求出即可； （3）根据，结合勾股定理解决问题即可． （4）连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：在中，，，， ∴ （3）解：如图，正方形即为所求， （4）解：如图，连接 根据勾股定理可得，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 实数的大小比较题型04 一、单选题 1．计算（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用绝对值、立方根化简，然后再比较即可． 【详解】解：，，， ，即， 最小的数是． 二、填空题 3．的相反数是_________，的绝对值等于_________，比较大小： _________． 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数；先判断的正负，再根据绝对值的性质求解；利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较和的大小． 【详解】解：依题意，的相反数是， ，， ， 即， ∴的绝对值等于； ③ ， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得． 4．比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先通过被开方数的大小关系判断无理数的大小，再根据实数的大小比较法则比较即可求解． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 即， ． 三、解答题 5．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 一、单选题 1．下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 2．如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【答案】B 【分析】先估算的大小，再估算的大小，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数表示的点会落在点和之间． 3．数轴上表示数1和的点分别为A和B，若A为的中点，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点C表示的数，根据中点对应数为两端点对应数的平均值列方程即可求解． 【详解】解：设点表示的数为 ∵点是的中点，点表示，点表示 ∴根据中点性质可得 解得： 4．如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求得，由点A表示的数即可得到点D表示的数． 【详解】解：由题意知， ∵与数轴垂直，且， ∴， 设点D表示的数为d，则， ∴， 即点D表示的数为． 5．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，，，，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， 故A、B、C错误，不符合题意； 由数轴可知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故D正确，符合题意． 6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得出半径，以及直角边，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由图可知，网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ． 7．如图，有一边重合的两直角三角形放在数轴上，点表示数，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用勾股定理得出，，再结合，即得出点表示的数． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴， 则， 即， ∴点表示的数是． 8．如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，进而求出，最后求出即可． 【详解】解：∵的直角边，， ∴， 又∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 即点D所表示的数为：． 二、填空题 9．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 10．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定它相邻的两个整数，比较到两个整数的距离大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， ，，， ，故在数轴上更靠近4， 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为． 11．如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可知：，由勾股定理可得，则，然后由图象可得，即可得到答案． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点， ∴， 由图象可知，， ∴由勾股定理可得：， ， ， ． 12．如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 【详解】解：，以此类推，可得 ． 三、解答题 13．如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 【答案】(1) (2)解：如图，即为所求 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）取格点，结合勾股定理满足即可； （3）连接，再利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：． （2）略 （3）解：如图，连接， ∴； ． 14．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 15．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）解：以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 一、单选题 1．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 二、填空题 2．已知数轴上，两点，且这两点间的距离为，若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为______． 【答案】或 【分析】设点表示的数为，由、两点之间的距离为，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点表示的数为，由题意，得， 则，或， 所以或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键． 三、解答题 3．阅读材料，并解答问题： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． (1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“” (2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小． 【答案】(1)> (2) 【分析】（1）根据实数大小的比较法则可得答案； （2）根据直角三角形的性质、勾股定理及两点之间，线段最短可得答案． 【详解】（1），， ； 故答案为：． （2），，， ，，， ，， ， 两点之间，线段最短， ， ． 【点睛】此题考查的是实数的估数及勾股定理，掌握两点之间线段最短是解决此题的关键． 4．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 5．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，是解题的关键． （1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可； （2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离即可得出结果； （3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较即可； （4）将的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； （2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； （3）点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． （4）由（1），得，， 原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $